第5章 习题课 含参数的函数的最大(小)值（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦含参数的函数最值这一核心知识点，通过“利用导数求最值、根据最值求参数、探究性问题”的递进脉络，构建从基础求解到逆向推理再到创新探究的学习支架，系统梳理分类讨论等解题方法。 资料以典型实例为载体，通过分类讨论培养学生严谨的数学思维，结合反思感悟与跟踪训练帮助学生用数学眼光洞察问题本质，规范的解题步骤提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

习题课　含参数的函数的最大(小)值 学习目标　1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题. 一、求含参数的函数的最值 例1　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值. 解　f'(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f'(x)＝0，解得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增. 所以f(x)min＝f a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 延伸探究　当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值. 解　f'(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)， 令f'(x)＝0，解得x1＝－，x2＝a. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2a]上单调递增. 因为f(－a)＝－a3，f a3，f(a)＝－a3， f(2a)＝2a3. 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. 反思感悟　含参数的函数的最值问题大体有两类 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝aln x＋x－a，a∈R，讨论函数f(x)的最值. 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝， 当a≥0时，f'(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最值； 当a<0时，令f'(x)<0，得0<x<－2a，所以f(x)在(0，－2a)上单调递减； 令f'(x)>0，得x>－2a，所以f(x)在(－2a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(－2a)＝aln(－2a)－2a，无最大值. 综上，当a≥0时，f(x)无最值；当a<0时，f(x)的最小值为aln(－2a)－2a，无最大值. 二、由最值求参数的值或范围 例2　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值. 解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f'(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去). ①当a>0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f'(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值， ∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29， 解得a＝2. ②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值， ∴f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 跟踪训练2　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h'(x)＝3x2＋6x－9. 令h'(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) h'(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ ∴当x＝－3时，h(x)取极大值28； 当x＝1时，h(x)取极小值－4. 而h(2)＝3<h(－3)＝28， ∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤－3. ∴k的取值范围为(－∞，－3]. 三、与最值有关的探究性问题 例3　已知f(x)＝ax－ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x， 则f'(x)＝1－， ∴所求切线的斜率为f'(2)＝，f(2)＝2－ln 2， 故切点为(2，2－ln 2)， ∴所求切线的方程为y－(2－ln 2)＝(x－2)， 即x－2y＋2－2ln 2＝0. (2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3， f'(x)＝a－. ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a； ②当0<<e，即a>时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件； ③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上是减函数，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a. 综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3. 反思感悟　与最值有关的探究性问题的解题思路 对于形式为“是否存在……，使得……”的探究性问题，一般先假设存在，把假设当条件去求参数的取值或范围，若能求出，则存在；否则不存在. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由. 解　(1)f'(x)＝6x2－2ax＝6x. 令f'(x)＝6x＝0，解得x＝0或x＝. 当a＝0时，f'(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)是增函数； 当a>0时，令f'(x)>0，解得x>或x<0， 令f'(x)<0，解得0<x<， 即函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减； 当a<0时，令f'(x)>0，解得x>0或x<， 令f'(x)<0，解得<x<0， 即函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当a＝0时，函数f(x)是增函数； 当a>0时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减； 当a<0时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减. (2)存在，理由如下： 由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0，1]上单调递增. 则最小值为f＝1，不符合题意； 当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上单调递减， f(x)的最大值为f＝1，最小值为f＝2－a＋1＝－1， 解得a＝4，满足题意； 当0<<1，即0<a<3时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， f(x)的最小值为f ＝2×－a×＋1＝－1， 化为－＝－2， 解得a＝3>3，不符合题意. 综上可得，a的值为4. 1.知识清单： (1)求含参的函数的最值. (2)由最值求参数的值或取值范围. (3)与最值有关的探究性问题. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 1.函数f(x)＝的最大值为(　　) A.a B.e C.e1－a D.ea－1 答案　D 解析　f(x)＝，则f'(x)＝， 所以当x<1－a时，f'(x)>0，当x>1－a时，f'(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增， 在(1－a，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f＝ea－1. 2.已知函数f(x)＝ax3＋c，且f'＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为(　　) A.1 B.4 C.－1 D.0 答案　B 解析　由题意得，f'(x)＝3ax2，则f'(1)＝3a＝6，解得a＝2， 所以f'(x)＝6x2≥0， 故f(x)在[1，2]上单调递增，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4. 3.已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　) A.－1 B. C. D.＋1 答案　A 解析　由f(x)＝，得f'(x)＝， 当a>1时，若x>，则f'(x)<0，f(x)单调递减， 若1<x<，则f'(x)>0，f(x)单调递增， 故当x＝时，函数f(x)有最大值， 解得a＝<1，不符合题意. 当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意. 当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减.此时最大值为f(1)＝， 解得a＝－1，符合题意. 故a的值为－1. 4.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为　　　　， f(x)在[－2，2]上的最大值为　　　　.  答案　3　3 解析　f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 由f'(x)＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f'(x) ＋ 0 － 0 f(x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a 所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3. 所以当x＝0时，f(x)取得最大值3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　∵f(x)在x＝处有最值， ∴x＝是函数f(x)的极值点. 又f'(x)＝acos x＋cos 3x， ∴f'＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2. 2.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1) C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1] 答案　A 解析　f'(x)＝ex－1，令f'(x)>0，解得x>0，令f'(x)<0，解得x<0， 故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a. 若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1. 3.若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　C 解析　y'＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－1<x<0时，y'<0，当－2<x<－1或0<x<1时，y'>0， 所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋，解得m＝2. 4.函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为(　　) A.[1，] B.[1，＋∞) C.(1，] D.(1，＋∞) 答案　A 解析　∵f(x)＝3x－x3， ∴f'(x)＝3－3x2 ＝3(1＋x)(1－x)， 令f'(x)＝0， 解得x＝1或x＝－1(舍去)， 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2， ∴1≤m≤. 5.已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.e D. 答案　D 解析　∵f'(x)＝－a，x>0， ∴当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a>0时，令f'(x)＝0，解得x＝， ∴当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)max＝f ＝ln－1＝0，解得a＝. 6.(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的值可以为(　　) A.0 B. C. D.1 答案　BC 解析　∵f'(x)＝3x2－3a， 且f'(x)＝0有解，∴a＝x2. 又∵x∈(0，1)，∴0<a<1. 7.(5分)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为　　　　.  答案　－71 解析　f'(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f'(x)＝0，解得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，解得k＝5， 所以f(x)min＝k－76＝－71. 8.(5分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为　　　　.  答案　－4 解析　f'(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f'(2)＝0. 即－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4. f'(x)＝－3x2＋6x，令f'(x)＝0，解得x＝0或x＝2，所以f(x)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4. 9.(10分)已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值. 解　f'(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a). 若a≤0，则f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0. 若a>0，则令f'(x)＝0，解得x＝±. 因为x∈[0，1]， 所以只考虑x＝的情况. ①若0<<1，即0<a<1，则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a；(如下表所示) x 0 (0，) (，1) 1 f'(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1 ②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1. 综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0； 当0<a<1，x＝时，f(x)有最大值2a； 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1. 10.(12分)已知函数f(x)＝2ex(x＋1). (1)求函数f(x)的极值；(4分) (2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值.(8分) 解　(1)f'(x)＝2ex(x＋2)， 由f'(x)>0，解得x>－2； 由f'(x)<0，解得x<－2. ∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减. ∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2，无极大值. (2)由(1)知，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 在(－∞，－2)上单调递减. ∵t>－3，∴t＋1>－2. ①当－3<t<－2时，f(x)在[t，－2)上单调递减，在(－2，t＋1]上单调递增， ∴f(x)min＝f(－2)＝－2. ②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， ∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1). 综上所述，f(x)min＝ 11.若存在x∈，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为(　　) A.＋3e－2 B.＋e＋2 C.4 D.e2－1 答案　A 解析　∵2xln x＋x2－mx＋3≥0， ∴m≤2ln x＋x＋， 设h(x)＝2ln x＋x＋， 则h'(x)＝＋1－， 当≤x<1时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 当1<x≤e时，h'(x)>0，h(x)单调递增. ∵存在x∈，m≤2ln x＋x＋成立， ∴m≤h(x)max， ∵h＝－2＋＋3e，h＝2＋e＋， ∴h>h. ∴m≤＋3e－2，m的最大值为＋3e－2. 12.已知函数f(x)＝sin－mx在上单调递减，则实数m的最小值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　D 解析　由f(x)＝sin－mx在上单调递减， 得f'(x)＝2cos－x－m≤0， 即2cos－x≤m， 令g(x)＝2cos－x， 则g'(x)＝－4sin－1， 当x∈时，≤2x＋≤ ， 则2≤4sin≤4， 所以－5≤－4sin－1≤－3，即g'(x)<0， 所以g(x)在x∈上单调递减， g(x)max＝g(0)＝， 所以m≥，m的最小值为. 13.已知函数f(x)＝若∃x∈R使得f＝f成立，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可得，存在实数x≠0， 使得f＝f成立， 假设x>0，则－x<0， 所以有－kx＝ln x， 则k＝－， 令h(x)＝－， 则h'(x)＝， 令h'(x)>0，即ln x>1，解得x>e， 令h'(x)<0，即ln x<1，解得0<x<e， 则h(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以h(x)≥h(x)min＝h＝－＝－， 所以k≥－. 14.(5分)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为　　　　.  答案　1 解析　由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1. 令f'(x)＝－a＝0，解得x＝， 当0<x<时，f'(x)>0； 当<x<2时，f'(x)<0. 所以f(x)max＝f ＝－ln a－1＝－1. 解得a＝1. 15.设f(x)＝若函数f(x)的最小值为a2，则实数a的取值范围为(　　) A.[－2，1] B.[0，1] C.(0，1] D.[1，＋∞) 答案　B 解析　若a<0，当x>0时，f(x)＝x－aln x单调递增，且f(x)∈(－∞，＋∞)，不符合题意； 若a＝0，f(x)＝最小值为f(0)＝0＝a2，符合题意； 若a>0，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a2， 当x>0时，f'(x)＝， 若0<x<a，则f'(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减， 若x>a，则f'(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 故f(x)的最小值为f(a)＝a(1－ln a). 则得1－ln a≥a，则a＋ln a－1≤0. 设g(x)＝x＋ln x－1，则g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0， 所以a＋ln a－1≤0的解是0<a≤1，故0<a≤1. 综上，a的取值范围为[0，1]. 16.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x＋b的图象关于点(0，2)中心对称. (1)求a，b的值；(4分) (2)是否存在一个正实数m，使得当x∈[0，m]时，f(x)的最小值为2－m，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.(8分) 解　(1)依题意，f(x)＋f(－x)＝4， 即x3＋ax2－3x＋b＋(－x)3＋a(－x)2＋3x＋b＝2ax2＋2b＝4， 所以所以a＝0，b＝2. (2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x＋2，则f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 所以当x∈[0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 若0<m≤1，则f(x)在区间[0，m]内的最小值为f(m)＝m3－3m＋2＝2－m， 即m(m－)(m＋)＝0，解得m＝±或0，均不符合题意； 若m>1，则f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，m]上单调递增， 则f(x)在区间[0，m]内的最小值为f(1)＝0＝2－m，解得m＝2，符合题意. 综上，m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $