第5章 5.3.3 最大值与最小值（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数最大值与最小值核心知识点，前承极值概念，通过对比极值（局部性质）与最值（整体性质），明确闭区间连续函数最值在极值点或端点取得，开区间需特殊分析，构建从局部到整体的知识支架。 特色在于以“群山”比喻创设情境，培养数学眼光，通过图象分析与问题链引导推理发展数学思维，结合无盖铁皮箱等实例让学生用数学语言建模解决实际问题，课中助教师引导探究，课后通过分层练习帮学生巩固提升。

5.3.3　最大值与最小值 学习目标　1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题. 导语 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值. 一、极值与最值的关系 问题1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在. 问题2　开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图. 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到. 知识梳理　极值与最值的关系 (1)最值在极值点或区间端点处取得. (2)开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得. 注意点： (1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值. (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件. 例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b). 反思感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的整个定义区间(即整体)而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值至多有一个. (3)函数f(x)的极值点为定义区间内的点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 跟踪训练1　设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 答案　C 解析　根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确. 二、求函数的最值 求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 例2　(课本例7)求f(x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值. 解　f'(x)＝＋cos x.令f'(x)＝0，解得x1＝，x2＝. 列表如表所示. x 0 2π f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 ↗ ↘ ↗ π 从上表可知，函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值是π，最小值是0. 例2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]； (2)f(x)＝x＋cos x，x∈[0，2π]. 解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]， 所以f'(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f'(x)＝0， 解得x＝－或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8， 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)因为f(x)＝x＋cos x，x∈[0，2π]， 所以f'(x)＝－sin x，x∈[0，2π]， 令f'(x)＝0，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1， f ，f . 所以当x＝2π时，f(x)取得最大值π＋1， 当x＝时，f(x)取得最小值. 反思感悟　求函数最值的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求出定义域内的每一个极值与端点值. (3)比较所求的每一个极值与端点值. (4)得出结论. 跟踪训练2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝. 解　(1)f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f'(x)＝0，解得x＝0或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， 所以当x＝4时，f(x)取得最大值35. 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. 即f(x)的最大值为35，最小值为－37. (2)函数f(x)＝的定义域为R. f'(x)＝， 令f'(x)＝0，解得x＝2， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示 x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ↘ 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)取得最大值， f(x)max＝f(2)＝. 三、用导数解决实际问题 例3　(课本例8)在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解　设箱底边长为x cm，则箱高为h＝(0<x<60)， 箱子的容积为V(x)＝x2h＝30x2－x3(0<x<60). V'(x)＝60x－x2，令V'(x)＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝40. 当x∈(0，40)时，V'(x)>0；当x∈(40，60)时，V'(x)<0. 所以函数V(x)在x＝40处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值，即V(40)＝30×402－×403＝16 000. 答　当箱子底边长等于40 cm时，箱子容积最大，最大值为16 000 cm3. 例3　如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解　∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x， ∴EG＝(60－2x)， ∴V(x)＝(x)2×(60－2x)× ＝x2×(60－2x) ＝－2x3＋60x2(0<x<30). ∴V'(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20). 令V'(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝20. ∵当0<x<20时，V'(x)>0； 当20<x<30时，V'(x)<0. ∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值. ∴包装盒的底面边长为x＝20(cm)， 高为(30－x)＝10(cm)， ∴当x＝20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为. 延伸探究　本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ 解　∵AE＝x，∴HE＝x. ∵EF＝60－2x， ∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x). ∴S＝4×HE×EG＝4×x×(30－x) ＝8x(30－x)＝－8x2＋240x ＝－8(x－15)2＋8×152 ＝－8(x－15)2＋1 800(0<x<30). ∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2. 反思感悟　解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域. (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点. 跟踪训练3　已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量C(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)在40~100 km/h的函数关系为C(v)＝ln v＋0.5v＋－40.假设电价是1元/kW·h. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用＝电费＋司机的工资＋－5 700，甲地到乙地的距离为100 km，最经济的车速是94 km/h，则司机每小时的工资为多少元？ 解　(1)由C(v)＝ln v＋0.5v＋－40， 有C'(v)＝，令C'(v)＝0，得v＝44或v＝－46(舍去)， 当v∈(40，44)时，C'(v)<0，C(v)单调递减， 当v∈(44，100)时，C'(v)>0，C(v)单调递增， 所以当车速为44 km/h时，车辆每千米的耗电量最低. (2)设司机每小时的工资为a元，则行车的总费用为 F(v)＝100a＋－5 700， F'(v)＝，由题意知当v＝94 km/h时，F'(v)＝0， 即0.5×942＋94－4 362－a＝0， 解得a＝150，经验证a＝150时，符合题意，即司机每小时的工资为150元. 1.知识清单： (1)函数最值的概念. (2)求函数最值. (3)用导数解决实际问题中的最值. 2.方法归纳：转化思想、分类讨论思想. 3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系. 1.下列结论正确的是(　　) A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 答案　D 解析　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值. 2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　) A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值 C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值 答案　C 解析　f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(－1，1)时，f'(x)<0， 所以f(x)在(－1，1)上是减函数， 无最大值和最小值，也无极值. 3.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 答案　B 解析　设圆锥的高为h cm，0<h<20， ∴V＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h ∴V'＝π(400－3h2)，令V'＝0，解得h＝， 当h∈时，V'>0，当h∈时，V'<0，故当h＝时，体积最大. 4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是　　　　.  答案　－ 解析　f(x)＝(x＋1)ex，则f'(x)＝(x＋2)ex，令f'(x)＝0，解得x＝－2， 当x>－2时，f'(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，当x<－2时，f'(x)<0，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'(x)(　　) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 答案　A 解析　因为M＝m，所以f(x)为常函数， 故f'(x)＝0. 2.函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　) A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 答案　C 解析　y'＝1－cos x，当x∈时，y'>0， 则函数在区间上单调递增， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 3.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是(　　) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 答案　C 解析　f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令f'(x)＝0，解得x＝±1. 又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1， f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1[－3，0]. 所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17. 4.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　) A.函数f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数f(x)有最大值，没有最小值 C.函数f(x)没有最大值，有最小值 D.函数f(x)有最大值，也有最小值 答案　C 解析　由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1， 即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值. 5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 答案　D 解析　设毛利润为L(P). 则L(P)＝PQ－20Q ＝(8 300－170P－P2)(P－20) ＝－P3－150P2＋11 700P－166 000， 所以L'(P)＝－3P2－300P＋11 700. 令L'(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去). 此时，L(30)＝23 000. 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元. 6.(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A.f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B.f(－)是极小值，f()是极大值 C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 答案　ABD 解析　由f(x)>0，解得0<x<2，故A正确； f'(x)＝(2－x2)ex， 令f'(x)＝0，解得x＝±， 当x<－或x>时，f'(x)<0， 当－<x<时，f'(x)>0， 所以当x＝－时，f(x)取得极小值， 当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确； 当x→－∞时，f(x)<0， 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 且f()>0， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确. 7.(5分)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为　　　.  答案　 解析　f'(x)＝ex(sin x＋cos x). 因为x∈，所以f'(x)>0. 所以f(x)在上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f . 8.(5分)已知e为自然对数的底数，若函数y＝ln x＋ax的最大值与函数y＝ex－x的最小值相等，则实数a的值是　　　　　.  答案　－ 解析　对于y＝ex－x，有y'＝ex－1， 当x<0时，y'＝ex－1<0，即y＝ex－x在(－∞，0)上单调递减， 当x>0时，y'＝ex－1>0，即y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时，y＝ex－x取得最小值为1，故y＝ln x＋ax的最大值为1， 对于y＝ln x＋ax，x>0，有y'＝＋a＝， 因为y＝ln x＋ax有最大值，故a<0， 当0<x<－时，y'＝>0，即y＝ln x＋ax在上单调递增， 当x>－时，y'＝<0，即y＝ln x＋ax在上单调递减， 所以当x＝－时，y＝ln x＋ax取得最大值为ln－1＝1，则a＝－. 9.(10分)求下列函数的最值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；(5分) (2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0，2].(5分) 解　(1)f'(x)＝cos x－sin x. 令f'(x)＝0，即tan x＝1，且x∈， 所以x＝. 又因为f ， f ＝－1，f ＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为 f ，最小值为f ＝－1. (2)f'(x)＝x， 令x＝0，化简为x2＋x－2＝0， 解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当1<x≤2时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值. 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2). 所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0，2]上的最小值， f(1)＝ln 2－为函数在[0，2]上的最大值. 10.(12分)如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元. (1)将总运费y表示为x的函数；(4分) (2)如何选点M才能使总运费最少？(8分) 解　(1)依题意，铁路AM上的运费为2(80－x)元， 公路MC上的运费为4元， 则由A地到C地的总运费 y＝2(80－x)＋4(0≤x≤80). (2)由(1)可知，y'＝－2＋(0≤x≤80)， 令y'＝0，解得x＝或x＝－(舍去). 当0≤x≤时，y'≤0； 当≤x≤80时，y'≥0. 故当x＝时，y取得最小值，即当在距离点B为公里的点M处修筑公路至C时总运费最少. 11.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)<g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a) 答案　A 解析　令F(x)＝f(x)－g(x)， ∵f'(x)<g'(x)， ∴F'(x)＝f'(x)－g'(x)<0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a). 12.已知函数f(x)＝存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－e2] B.(－e2，＋∞) C.(－∞，e－2] D.(e－2，＋∞) 答案　C 解析　当x<2时，函数f(x)＝e－x单调递减，f(x)>e－2，无最小值； 当x≥2时，函数f(x)＝(x－1)(x－2)2＋a， f'(x)＝(x－2)2＋2(x－2)(x－1)＝(x－2)(3x－4)， 所以当x∈[2，＋∞)时，f'(x)≥0，f(x)单调递增，当x＝2时，f(x)min＝(2－1)(2－2)2＋a＝a， 要使函数f(x)存在最小值，即a≤e－2. 13.(5分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋1，若函数f(x)在(2a－2，2a＋3)上存在最小值，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　f(x)＝x3＋x2－2x＋1，f'(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 当－2<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x<－2或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)在x＝1处取得极小值，在x＝－2处取得极大值. 令f(x)＝f(1)，解得x＝1或x＝－， 又∵函数f(x)在(2a－2，2a＋3)上存在最小值，且(2a－2，2a＋3)为开区间， ∴－≤2a－2<1<2a＋3，解得－≤a<. 14.(5分)如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为　　　　时，其容积最大. 答案　 解析　设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V'＝(12x2－8x＋1)，令V'＝0，解得x＝(舍去)或x＝，当x∈时，V'>0，当x∈时，V'<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为. 15.若函数f(x)的导数f'(x)＝x－sin x，f(x)的最小值为－1，则函数y＝f(x)－cos x的零点为(　　) A.0 B.± C.±2 D.2kπ(k∈Z) 答案　C 解析　因为函数f(x)的导数f'(x)＝x－sin x，所以f(x)＝x2＋cos x＋C，C为常数， 设g(x)＝f'(x)＝x－sin x，则g'(x)＝1－cos x≥0恒成立，g(x)在R上单调递增， 即f'(x)＝x－sin x在R上单调递增，又f'(0)＝0， 故当x∈(－∞，0)时，f'(x)<0，即f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，即f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝0处取得最小值，即f(x)min＝f(0)＝1＋C＝－1，所以C＝－2， 所以f(x)＝x2＋cos x－2，由y＝f(x)－cos x＝x2－2， 令x2－2＝0，解得x＝±2，所以y＝f(x)－cos x的零点为±2. 16.(12分)已知函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝x3＋x2－x. (1)若m＝3，求f(x)的极值；(4分) (2)若对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当m＝3时，f(x)＝＋ln x， ∴f'(x)＝－. 令f'(x)＝0，解得x＝3. 当x∈(3，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(0，3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∴f(x)的极小值为f(3)＝1＋ln 3，无极大值. (2)g(x)＝x3＋x2－x， ∴g'(x)＝3x2＋2x－1， 当x∈时，g'(x)>0， ∴g(x)在上单调递增，g(x)max＝g(2)＝10. 对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)恒成立，即对任意x∈，f(x)＝＋ln x≥1恒成立，即m≥x－xln x恒成立. 令h(x)＝x－xln x，则h'(x)＝1－ln x－1＝－ln x， ∴当x>1时，h'(x)<0，当0<x<1时，h'(x)>0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴当x∈时，h(x)的最大值为h(1)＝1， ∴m≥1， 即m的取值范围是[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $