5.3.1 单调性-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦导数与函数单调性的核心知识点，从函数与导函数图象互判切入，逐步展开利用导数判断证明单调性、求单调区间，进而延伸到含参函数单调性讨论及应用，构建递进式学习支架。 以股票曲线情境导入培养数学眼光，通过例、跟踪训练、检测等分层设计发展逻辑推理与运算能力，体现数学思维，构造函数解不等式强化数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后分层检测助力学生查漏补缺。

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 单调性 新课导入 研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势（走高或走低），以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？ 学习目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数及含参函数的单调性. 3.会求函数的单调区间. 4.会利用函数的单调性求不等式. 第1课时 函数的单调性 新知学习 探究 一 函数图象与导函数图象的关系 ［知识梳理］ 根据以直代曲思想,函数在某一点附近的图象可近似看作直线,我们可以用直线的斜率来刻画函数图象经过该点时上升或下降的变化趋势. ［例1］ （1） 已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. （2） 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 由题意可知，当 和 时，导函数，函数 单调递减；当 时，导函数，函数 单调递增，故函数 的图象如图D． （2） 由函数 的图象，知当 时，是单调递减的， 所以； 当 时，先单调递减，后单调递增，最后单调递减，所以 先负后正，最后为负． 故选． 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是导函数图象. ［跟踪训练1］．已知是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题图可知，当 时，，即函数 单调递增；当 时，，即函数 单调递减；当 时，，即函数 单调递增．结合选项易知 正确． 二 利用导数判断或证明函数的单调性的思路 思考．“在某区间内”是否是“函数在此区间上单调递增（减）”的充要条件？ 提示 “在某区间内”是“函数 在此区间上单调递增（减）”的充分条件，而不是必要条件.如果出现个别点使，不会影响函数 在包含该点的某个区间上的单调性. ［知识梳理］ 对于函数，如果在某区间上： 的正负 的单调性 函数在该区间上单调递增 函数在该区间上单调递减 ［例2］ （1） 判断函数在区间上的单调性. （2） 求证：函数在上单调递减． 【答案】 （1） 【解】由于， 所以. 由于，所以，. 故. 所以函数 在区间 上单调递增. （2） 证明：由于， 并且当 时，，， 因此， 所以， 故函数 在 上单调递减． 利用导数判断或证明函数的单调性的思路 ［跟踪训练2］． （1） 证明函数在上是增函数. （2） 判断函数在上的单调性． 【答案】（1） 证明：由题意知，,所以 在 上是增函数. （2） 解：， 因为当 时，， 所以，当且仅当 时等号成立， 所以 在 上单调递增． 三 求函数的单调区间 ［例3］ （对接教材例1）确定下列函数的单调区间： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】 （1） 【解】设，，因为 时，恒成立， 则当，即 时，，此时函数 单调递增， 当，即 时，，此时函数 单调递减， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 设，， 令，解得 或， 则当 或 时，，此时 在,上单调递增； 当 时，，此时 在 上单调递减； 则 的单调递增区间为,，单调递减区间为. （3） 函数的定义域为,, 令，得，所以函数 在 上单调递增； 令，得，所以函数 在 上单调递减，则函数 的单调递减区间是，单调递增区间是． 求可导函数 的单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导函数; （3）解不等式（或），并写出解集； （4）根据（3）的结果确定函数的单调区间. ［跟踪训练3］． （1） 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. （2） 函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选．由题意，函数 的定义域为，且， 因为，可得， 令， 即，解得， 所以函数 的单调递减区间为. （2） 易知函数的定义域为. ， 令，则， 所以 的单调递增区间为． 课堂巩固 自测 1．若函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题中 的图象可知，在区间 上，，单调递增，在区间 上，，单调递减，可排除，； 在 处，，即在 处，的切线的斜率为0，可排除． 2．（多选）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.由题意得，当 时，，所以函数 在 上单调递增，因为，所以，选项正确; 当 时，，所以函数 在 上单调递减， 因为，所以，选项正确.故选. 3．函数在上的单调递减区间是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令， 即， 又,得， 即函数 在 上的单调递减区间是. 4．判断下列函数的单调性. （1） ； （2） . 【答案】 （1） 解：的定义域为，， 令,得,在，上单调递减； 令,得,在，上单调递增. （2） 的定义域为， ， 令，得 且，所以 在区间 和 上单调递减； 令，得，所以 在区间 上单调递增. 1.已学习：导数与函数的单调性的关系. 2.须贯通：（1）证明单调性的方法. （2）利用导数求函数的单调区间的一般步骤. 3.应注意：讨论函数单调性时不要忽略定义域. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.从题中导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，当 时最大，所以函数 的图象的变化率也先增大后减小，在 时变化率最大，故 符合，中在 时变化率最小，故 不符合；中变化率是越来越大的，故 不符合；中变化率是越来越小的，故 不符合．故选． 2．函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选．函数 的定义域为， 因为， 令，则，解得， 所以函数 的单调递增区间是. 3．函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选．，， 令,解得， 所以函数 的单调递增区间是. 4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,则, 因为函数 在区间 上单调递增， 则对任意的,恒成立，则. 因此，实数 的取值范围是. 5．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在上，单调递增 B. 在上，单调递增 C. 在上，单调递增 D. 在上，单调递增 【答案】BC 【解析】选.由题图知，当 时,的符号有正有负，则 在 上不单调，故 错误，当，时，，所以在，上，单调递增，故，正确，当 时，，所以在 上，单调递减，故 错误. 6．（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，错误；选项，定义域为，，令，解得，所以 的单调递增区间为，正确；选项，定义域为，，令，解得 或，所以 的单调递增区间为，，错误；选项，定义域为，，令，解得，故 的单调递增区间为，正确.故选． 7．函数，的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由已知，，令，即，解得，所以函数 的单调递减区间为． 8．函数的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 的定义域为，，令，解得，故 的单调递增区间是. 9．函数的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】 的定义域是， ， 由 得 或， 故函数 的单调递增区间是,. 10．（13分）已知函数，判断的单调性，并说明理由. 解：函数 在其定义域上单调递增.由 且，得，即 的定义域为， 所以， 令， 则, 所以 在区间 上单调递增， 所以，而 在区间 上恒成立， 所以 在区间 上恒成立， 所以 在 上单调递增. B 能力提升 11．函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.当 时，，排除选项，；又，当 时，，函数 单调递增，当 时，，函数 单调递减，所以 正确，错误． 12．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为函数 的图象在点 处的切线方程为， 所以 即 所以 所以， 由，可得，所以函数 的单调递增区间为. 13．（13分）函数，若曲线在点处的切线方程为. （1） 求,的值；（4分） （2） 求函数的单调区间.（9分） 【答案】 （1） 解：因为， 所以， 由题意可知 解得 （2） 由（1）可得,， 所以， 令，解得 或，令 ，解得， 故函数 的单调递增区间为，，单调递减区间为. 14．（15分）已知函数，其图象在处的切线过点. （1） 求的值；（5分） （2） 讨论的单调性.（10分） 【答案】 （1） 解：因为函数， 所以，， 则， 所以函数图象在 处的切线方程为 ， 又因为切线过点， 所以， 即，解得. （2） 由（1）知，，则 的定义域为， ， 令，则， 当 时，；当 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，画出 的图象（图略），易知， 即当 时，；当 时， ， 所以 在 和 上单调递增. C 素养拓展 15．（多选）若函数（ 是自然对数的底数）在的定义域上是增函数，则称函数具有性质，则下列函数中具有性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.设,对于，在定义域 上是增函数，故 正确；对于，,,所以 在定义域 上是增函数，故 正确；对于，在定义域 上是减函数，故 不正确；对于，,则,在定义域 上不恒成立，故 不正确. 第2课时 函数的单调性及简单应用 新知学习 探究 一 含参数函数的单调性 ［例1］ （对接教材例2）已知函数，讨论的单调性． 【解】 的定义域为，．若，则 恒成立， 故 是减函数； 若， 则当 时，， 当 时，， 故 在 上单调递增， 在 上单调递减， 综上，当 时， 是减函数； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． （1）含参函数的单调性，主要以两种形式呈现，即判断单调性与求函数的单调区间（含有参数），实质上这两种形式是一致的，只不过是换了一种说法. （2）利用导数处理含参函数的单调性常用的技巧，一般是根据导函数的特点，通过因式分解的形式，对参数进行分类讨论，分层处理. ［跟踪训练1］．求函数的单调递减区间. 解：易得函数 的定义域是，. ①当 时，在 上恒成立，故 在 上单调递减. ②当 时，若， 则；若，则， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上可知，当 时，的单调递减区间为，当 时，的单调递减区间为. 二 根据函数的单调性求参数值（范围） ［例2］ （1） 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） A 【解析】 （1） 易得. 因为函数 在区间 上单调递增，等价于 对任意 恒成立， 所以 对任意 恒成立. 因为，所以，当且仅当 时等号成立，所以. （2） 易得 . 根据题意，得 在 上有解. 令， 则只需 或， 解得.故选． 已知在区间上的单调性，求参数范围的方法： （1）利用集合的包含关系处理在上单调递增（减）的问题，则区间是相应单调区间的子集； （2）利用不等式恒成立处理在上单调递增（减）的问题，则在内恒成立，注意验证等号不能恒成立. ［跟踪训练2］． （1） 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在这样的实数 （2） 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（答案不唯一） 【答案】（1） B （2） 1（答案不唯一） 【解析】 （1） 选．由题意得，在区间 上至少有一个实数根.又 的根为，且 在 或 两侧导数异号，而区间 的区间长度为2，故只有2或 在区间 内，所以 或，解得 或.故选. （2） 由题意知，，因为 恰好有三个单调区间，所以 有两个零点，即，解得，故可填 中的任意一个值. 三 函数单调性的应用 ［例3］ （1） 已知，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. （2） 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 由， 所以当 时，， 当 时，， 所以 在,上单调递减，在 上单调递增， 因为，所以； 因为，， 所以，所以.故选. （2） 构造函数，， 则，所以函数 在 上单调递减. 又因为， 所以， 所以 解得. 所以不等式 的解集是.故选． 母题探究．把例中的条件“”换为“”，解不等式. 解：设， 则. 因为，所以， 故 在 上是增函数. 由 得， 即， 所以 解得， 故所求不等式的解集为. 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： （1）对于，构造. （2）对于，构造. （3）对于，构造. （4）对于，构造. （5）对于，构造. （6）对于，构造. ［跟踪训练3］． （1） 若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知为定义域上函数的导函数，且，，且，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选．令，则， 由于 的正负不确定，所以 的正负不确定，不能判断 的单调性，故，错误；令，由，则，所以 为 上的减函数，因为，所以，即，故 错误,正确.故选. （2） 由，整理可得，则函数 关于 成中心对称， 所以 关于直线 成轴对称， 当 时，，由，则， 由函数 的导函数为， 则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减， 当 时，；当 时，， 所以不等式 的解集为. 课堂巩固 自测 1．若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.，由于函数 有三个单调区间，所以 有两个不相等的实数根，所以.故选. 2．（多选）已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为函数，所以.因为函数 在 上单调递增，所以 对于任意的 恒成立，所以 恒成立，故 正确；但 大小不确定，故 错误；对于方程，有，即，故 正确，错误.故选. 3．已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】记， 则， 因为，所以， 所以 在 上单调递增， 又， 所以， 所以， 所以，不等式 的解集为. 4．已知函数，，讨论函数的单调性． 解：的定义域为，. （1）当 时，，是增函数． （2）当 时，令，得. ①在区间 上，，单调递增； ②在区间 上，，单调递减． 综上所述，当 时，是增函数； 当 时，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 1.已学习：含参函数的单调性，函数单调性的简单应用. 2.须贯通：（1）分类讨论的思想解决含参函数的单调性问题. （2）利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解. 3.应注意：由函数单调性求参数范围时，函数单调递增，函数单调递减，不要忽略“等号”. 课后达标 检测 A 基础达标 1．设函数，则（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】选．，故 是 上的增函数，故. 2．若的单调递减区间是，则正数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】选．，令，由于，故解得，故，即. 3．若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选．因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，因为 在 上单调递增，所以，解得，所以实数 的取值范围为.故选． 4．已知函数，当时，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选．由题意得，当 时，，所以 在 上单调递增.又，所以.由 在 上单调递增，可知当 时，，所以.综上. 5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选．依题意可得，， ，设，则，当 时，，单调递减， 又，所以，即，即.故选． 6．（多选）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.令， 则， 故 在 上单调递减，而，， 故，， 即，， 所以，. 7．函数的单调递减区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，令，得，故 的单调递减区间是. 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 又函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 令，对称轴为直线， 所以函数 在 上单调递减， 所以， 所以， 即实数 的取值范围为. 9．若对任意的,，且当时，都有，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题设，即， 令，则函数 在 且 上单调递增，而， 所以，即 在 上恒成立，故. 10．（13分）已知函数. （1） 若，求曲线在点处的切线方程；（5分） （2） 若，求函数的单调区间.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，所以， 所以，所以. 又， 所以切点坐标为， 所以所求切线方程为， 即. （2） 的定义域为，， 由 得 或. 又，故由，得， 由，得 或， 故 的单调递减区间为，单调递增区间为 和. B 能力提升 11．[（2025·南京期中）]已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设,则,因为 在 上单调，所以 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立, 若,则,所以; 若,则,所以. 设,则 在 上单调递减. 由 在 上恒成立,所以,,所以,且. 综上可知，. 12．已知函数.若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选．由题意知，函数 的定义域为.由 成立， 可得. 设，则存在，使得 成立，即.又,当且仅当, 即 时取等号，所以.故选. 13．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】函数 定义域为，导函数. 因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 恒成立， 所以. 令. 因为， 所以 在 上单调递增， 所以， 所以. 14．（15分）已知函数. （1） 若，求在处的切线方程；（5分） （2） 讨论函数的单调区间.（10分） 【答案】 （1） 解：当 时，， 所以， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2） 因为， 所以， 令,，对称轴为直线. ①当，即 时，， 即， 所以函数 的单调递增区间为，无单调递减区间. ②当，即 或 时， 若，则，即， 所以函数 的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，令，得,， 由，即，得 或； 由，即，得； 所以函数 的单调递增区间为,，单调递减区间为. 综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当 时，函数 的单调递增区间为,， 单调递减区间为,. C 素养拓展 15．（15分）已知函数，. （1） 若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（6分） （2） 若函数在上单调递减，求实数的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：因为， ，所以. 由于 在 上存在单调递减区间， 所以当 时，有解， 即 有解. 设，所以只要 即可. 而,所以. 所以实数 的取值范围是. （2） 由（1）及 在 上单调递减得当 时，恒成立，即 恒成立. 所以，而, 因为，所以， 所以 此时， 所以，即实数 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $