第5章 5.3.1 第2课时 含参数的函数单调性问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦含参数的函数单调性问题核心知识点，通过导数与单调性的关系，分导函数为二次型、基本初等型、非基本初等型三类展开，结合例题解析、反思感悟及跟踪训练构建学习支架，系统梳理分类讨论思想的应用脉络。 该资料以层次化分类讨论为设计亮点，例题与跟踪训练对应，反思感悟提炼方法，培养学生数学思维的推理能力与严谨性，数学语言的符号表达与逻辑梳理。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺，深化对函数单调性问题的理解与应用。

第2课时　含参数的函数单调性问题 学习目标　1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题. 一、导函数是含参数的二次型函数 例1　求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间. 解　f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R， f'(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1). (1)当a＝0时，f'(x)＝－1<0⇒f(x)是减函数， f(x)的减区间为(－∞，＋∞)，无增区间. (2)当a≠0时，3a2>0，f'(x)是开口向上的二次函数， 令f'(x)＝0得x1＝，x2＝－(a≠0)，因此可知(结合f'(x)的图象)， ①当a>0时，x1>x2， 令f'(x)>0，解得x<－或x>；令f'(x)<0，解得－<x<. 此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为. ②当a<0时，x1<x2，令f'(x)>0，解得x<或x>－；令f'(x)<0，解得<x<－. 此时，f(x)的增区间为和； f(x)的减区间为. 反思感悟　(1)若导函数的二次项系数含参： ①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性. (2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解. 跟踪训练1　求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间. 解　f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f'(x)＝6x2＋2mx. (1)当m＝0时，f'(x)＝6x2≥0，f(x)是增函数，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)，无减区间. (2)当m≠0时，f'(x)是开口向上的二次函数， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝0，因此可知(结合f'(x)的图象)， ①当m<0时，x1>x2， 当x∈∪时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0， 此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为. ②当m>0时，x1<x2， 当x∈∪时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0， 此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为. 二、导函数是含参数的基本初等型函数 例2　已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R，讨论函数f(x)的单调性. 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝－a＝. (1)当a≤0时， f'(x)>0，f(x)是增函数. (2)当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝. ①在区间上，f'(x)>0，f(x)单调递增； ②在区间上，f'(x)<0，f(x)单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)是增函数； 当a>0时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 反思感悟　确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏. 跟踪训练2　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间. 解　f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－a. 若a≤0，则f'(x)>0， 所以f(x)是增函数. 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f'(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f'(x)>0. 所以f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减， 在区间(ln a，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a>0时，f(x)的增区间为(ln a，＋∞)，减区间为(－∞，ln a). 三、导函数是非基本初等函数 例3　设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在区间(－∞，0)上单调递减；在区间(0，＋∞)上单调递增. 证明　方法一　f'(x)＝m(emx－1)＋2x. 若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f'(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f'(x)>0. 若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f'(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f'(x)>0. 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增. 方法二　f'(x)＝m(emx－1)＋2x， 令g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝m2emx＋2>0恒成立，所以y＝f'(x)是增函数，又f'(0)＝0， 所以当x∈(－∞，0)时，f'(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增. 反思感悟　在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝ae2x＋ex－x，讨论f(x)的单调性. 解　f(x)的定义域为R，f'(x)＝2ae2x＋ex－1＝(2ex＋1).若a≤0，则f'(x)<0恒成立，故f(x)是减函数； 若a>0，则当x<－ln a时，f'(x)<0， 当x>－ln a时，f'(x)>0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减， 综上，当a≤0时，f(x)是减函数； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. 1.知识清单： (1)导函数是含参数的二次型函数的单调性问题. (2)导函数是含参数的基本初等型函数的单调性问题. (3)导函数是非基本初等函数的单调性问题. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：分类讨论时不能做到“不重不漏”；在讨论参数的取值范围时，忽略函数的定义域. 课时对点练 [分值：50分] 1.(12分)已知函数f(x)＝a(x＋a)－ln(x＋1)，a∈R，讨论函数f(x)的单调性. 解　由题意可知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f'(x)＝a－， 若a≤0，则f'(x)<0，可知f(x)是减函数； 若a>0，令f'(x)<0，解得－1<x<－1； 令f'(x)>0，解得x>－1， 可知f(x)在上单调递减，在上单调递增； 综上， 当a≤0时，f(x)是减函数； 当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增. 2.(12分)已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性. 解　因为f(x)＝ex，所以f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex＋ex＝ex. 当a≥2时，f'(x)≥0，则f(x)是增函数； 当a<2时，f'(x)＝ex ＝ex， 令f'(x)>0，解得x<－或x>； 令f'(x)<0，解得－<x<， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间和上单调递增. 综上，当a≥2时，f(x)是增函数；当a<2时，f(x)在区间(－，)上单调递减，在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增. 3.(13分)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性. 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝2x－2a－1＋， 当a>时，令f'(x)>0，解得0<x<或x>a， 令f'(x)<0，解得<x<a， 则函数f(x)在，(a，＋∞)上单调递增，在上单调递减； 当a＝时，f'(x)≥0，f(x)是增函数； 当0<a<时，令f'(x)>0，解得0<x<a或x>， 令f'(x)<0，解得a<x<， 则函数f(x)在(0，a)，上单调递增，在上单调递减； 当a≤0时，令f'(x)>0，解得x>， 令f'(x)<0，解得0<x<， 则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 综上，当a>时，函数f(x)在区间，(a，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减； 当a＝时，函数f(x)是增函数； 当0<a<时，函数f(x)在区间(0，a)，上单调递增，在区间上单调递减； 当a≤0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 4.(13分)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2－1(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性. 解　函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)， (1)当a≤0时，ex－2a>0恒成立，令f'(x)＝0，则x＝0， 若f'(x)>0，解得x>0，若f'(x)<0，解得x<0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a>0时，f'(x)＝x(ex－2a)＝x[ex－eln(2a)]， 令f'(x)＝0，则x＝0或x＝ln(2a)， ①当ln(2a)<0，即0<a<时， 若f'(x)>0，解得x<ln(2a)或x>0；若f'(x)<0，解得ln(2a)<x<0， 所以f(x)在(－∞，ln(2a))上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. ②当ln(2a)＝0，即a＝时，f'(x)≥0恒成立，f(x)是增函数. ③当ln(2a)>0，即a>时，若f'(x)>0，解得x<0或x>ln(2a)； 若f'(x)<0，解得0<x<ln(2a)， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a<时，f(x)在(－∞，ln(2a))上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a＝时，f(x)是增函数； 当a>时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $