第5章 5.2.3 简单复合函数的导数（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“简单复合函数的导数”核心知识点，承接上节课函数和差积商求导法则，通过问题引导构建复合函数概念，系统梳理“y'_x = y'_u · u'_x”求导法则及几何应用，形成从基本函数到复合函数的求导学习支架。 资料以问题驱动学生用数学眼光观察复合函数构成，通过分层求导、变量回代等步骤培养数学思维，结合切线方程求解等实例强化数学语言表达。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后提供跟踪训练与对点练，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

5.2.3　简单复合函数的导数 学习目标　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，进行一些复合函数的求导. 导语 上节课，我们学习了函数的和、差、积、商的求导法则，今天我们将继续研究复合函数及其求导法则. 一、复合函数概念的理解 问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，令f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成. 知识梳理　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 注意点： 复合函数的内、外层函数通常为基本初等函数. 例1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2 C.y＝esin x D.y＝sin 答案　BCD 解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数. 反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数. 跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A.y＝log2(2x＋1) B.y＝2x2－ C.y＝2ln x D.y＝cos 答案　ACD 二、复合函数的导数 问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知y'＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y'＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u'＝2，发现y'x＝y'u·u'x. 知识梳理　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x.特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y'x＝y'u·u'x，即y'x＝y'u·a. 注意点： (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构. (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则. (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 例2　(1)(课本例4)求下列函数的导数： ①y＝(2x－3)3；②y＝ln(5x＋1). 解　①y＝(2x－3)3可由y＝u3和u＝2x－3复合而成， 所以y'x＝y'u×2＝(u3)'×2＝3u2×2＝6u2＝6(2x－3)2. ②y＝ln(5x＋1)可由y＝ln u及u＝5x＋1复合而成， 所以y'x＝y'u×5＝(ln u)'×5＝×5＝. (2)(课本例5)求下列函数的导数： ①y＝；②y＝cos(1－2x). 解　①y＝可由y＝及u＝3x－1复合而成， 所以y'x＝y'u×3＝'×3＝－×3 ＝－. ②y＝cos(1－2x)可由y＝cos u及u＝1－2x复合而成， 所以y'x＝y'u×(－2)＝(cos u)'×(－2)＝(－sin u)×(－2)＝2sin(1－2x). 例2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3. 所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝. (2)令u＝2x＋，则y＝cos u， 所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2＝－2sin. (3)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'x＝y'u·u'x＝. (4)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y'x＝(eu)'·(3x＋2)'＝3eu＝3e3x＋2. 反思感悟　求复合函数的导数的步骤 (1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数. (2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数. (3)相乘：把上述求导的结果相乘. (4)变量回代：把中间变量回代. 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝5log2(1－x)； (3)y＝sin. 解　(1)y＝(1－2x， 令y＝，u＝1－2x， 则y'x＝()'(1－2x)'＝·(－2) ＝(1－2x. (2)令y＝5log2u，u＝1－x， 则y'x＝y'u·u'x＝5(log2u)'·(1－x)' ＝. (3)令y＝sin u，u＝4x＋， 则y'x＝(sin u)''＝cos u·4 ＝4cos. 三、复合函数的导数的应用 例3　已知曲线f(x)＝e3ax在点(0，1)处的切线方程为3x＋y＋b＝0，求a，b的值. 解　∵f(x)＝e3ax， ∴f'(x)＝3ae3ax， ∴f'(0)＝3a＝－3， ∴a＝－1， 将点(0，1)代入切线方程3x＋y＋b＝0，得 1＋b＝0，即b＝－1， 综上，a＝－1，b＝－1. 反思感悟　复合函数的导数的几何意义也是曲线在某点处切线的斜率，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 跟踪训练3　已知曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与直线l的距离为，求直线l的方程. 解　y＝f(x)＝e2x·cos 3x，其导数为f'(x)＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)，则曲线在点(0，1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，此时切线方程为2x－y＋1＝0， 设直线l：2x－y＋t＝0(t≠1)，由d＝， 解得t＝6或t＝－4. 则直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果未化简. 1.函数y＝cos＋4的导数是(　　) A.2xsin(1＋x2) B.－sin(1＋x2) C.2cos(1＋x2) D.－2xsin(1＋x2) 答案　D 解析　y'＝－sin(1＋x2)(1＋x2)' ＝－2xsin(1＋x2). 2.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f'(0)等于(　　) A.1 B. C.－1 D.－2 答案　B 解析　f'(x)＝－6x，故f'(0)＝－0＝. 3.已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f'(x)，且f'(2)＝2，则实数a的值为(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　f'(x)＝，则f'(2)＝＝2， 解得a＝. 4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　　　　.  答案　2 解析　易知y'＝aeax，k＝ae0＝a， 故a×＝－1，则a＝2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A.y＝－x3－＋1 B.y＝cos C.y＝ D.y＝(2x＋3)4 答案　BCD 解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数， 其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成； C由y＝，u＝ln x复合而成； D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成. 2.设f(x)＝log3(x－1)，则f'(2)等于(　　) A.ln 3 B.－ln 3 C. D.－ 答案　C 解析　f'(x)＝，故f'(2)＝. 3.函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　) A.ln(2x＋5)－ B.ln(2x＋5)＋ C.2xln(2x＋5) D. 答案　B 解析　∵y＝xln(2x＋5)， ∴y'＝ln(2x＋5)＋. 4.曲线y＝2xex－2在点(2，4)处切线的斜率等于(　　) A.2e B.e C.6 D.2 答案　C 解析　∵y＝2xex－2，∴y'＝2ex－2＋2xex－2， ∴k＝2e0＋4e0＝6. 5.函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f'(2)＝5，则a等于(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　A 解析　y'＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f'(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去). 6.(多选)下列结论中不正确的是(　　) A.若y＝cos，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x 答案　ACD 解析　对于A，y＝cos，则y'＝sin，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误. 7.(5分)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f'(0)＝　　　　.  答案　－ 解析　由f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x可得f'(x)＝－2sin 2x，所以f'(0)＝－2sin 0＝－. 8.(5分)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为　　　　.  答案　2 解析　设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)， 又曲线的导数为y'＝， ∴k＝＝1，即x0＋a＝1. ∴y0＝ln(x0＋a)＝0， ∴x0＝－1， ∴a＝2. 9.(10分)求下列函数的导数： (1)y＝ln(ex＋x2)；(2分) (2)y＝102x＋3；(2分) (3)y＝；(3分) (4)y＝sin 2xcos 3x.(3分) 解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u. ∴y'x＝y'u·u'x＝·(ex＋x2)'＝·(ex＋2x)＝. (2)令u＝2x＋3， 则y＝10u， ∴y'x＝y'u·u'x＝10u·ln 10·(2x＋3)' ＝2ln 10·102x＋3. (3)设y＝，u＝1－x2， 则y'x＝'(1－x2)' ＝－·(－2x)＝x(1－x2. (4)∵y＝sin 2xcos 3x， ∴y'＝(sin 2x)'cos 3x＋sin 2x(cos 3x)' ＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. 10.(10分)已知曲线y＝e2x＋1在点处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 解　因为y＝e2x＋1，所以y'＝2e2x＋1，所以曲线在点处的切线斜率k＝2，故曲线在点处的切线方程为2x－y＋2＝0，设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，由得，m＝7或－3，所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0. 11.设函数f(x)＝ln(x2＋1)＋sin x＋1，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为f(x)＝ln(x2＋1)＋sin x＋1， 所以f'(x)＝＋cos x， 则f'(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1. 令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－1，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 12.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B.2 C.3 D.0 答案　A 解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行. ∵y'＝， ∴k＝＝2， 解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0). ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 13.(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　因为y＝， 所以y'＝. 因为ex>0， 所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)， 所以y'∈[－1，0)， 所以tan α∈[－1，0). 又因为α∈[0，π)， 所以α∈. 14.(5分)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f'(x)是奇函数，则φ＝　　　　.  答案　 解析　∵f'(x)＝－sin(x＋φ)， ∴f(x)＋f'(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， 令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， ∵g(x)为奇函数， ∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0， ∴tan φ＝， 又0<φ<π，∴φ＝. 15.若函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率为(　　) A.－ B.0 C. D. 答案　B 解析　由f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数， 可得f(－x)＝f(x)， 所以－f'(－x)＝f'(x)， 令x＝0，可得 －f'(－0)＝f'(0)， 所以f'(0)＝0， 即曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率为0. 16.(12分)我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为y＝[u(x)]v(x)(u(x)>0).对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数y＝xx，有y'＝(xx)'＝[(eln x)x]'＝(exln x)'＝exln x(ln x＋1). 已知f(x)＝(x>0)， (1)求y＝f(x)的导函数；(6分) (2)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程.(6分) 解　(1)因为f(x)＝＝(eln x， 所以 f'(x)＝·. (2)由(1)知，f'(1)＝3，又f(1)＝1， 所以所求切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $