第5章 5.1.2 第3课时 导 数（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学导数核心知识点，从瞬时变化率的几何与数学意义切入导数概念，通过问题驱动理解其几何意义为切线斜率，再以定义法（求Δy、平均变化率、极限）展开求某点处导数的步骤，最终延伸至导函数，构建从具体到一般的学习支架。 该资料以历史情境（数学家贡献）导入培养数学眼光，通过问题链（如“能否研究函数整体变化”）引导数学思维，结合例题（如切线斜率与割线斜率比较）和跟踪训练强化推理能力，融入边际成本等实际问题提升数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过对点练帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

第3课时　导　数 学习目标　1.正确理解导数的概念及其几何意义.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数. 导语 同学们，我们如何从数学的角度来衡量时代的进步呢？那就是对函数的精细化研究.400年前法国数学家首次提出了导数的概念，数学家牛顿和莱布尼茨推动了导数研究，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来取得更惊人的成就. 一、导数的概念 问题1　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数. 知识梳理 1.导数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f'(x0).f'(x0)＝A＝. 2.导数的几何意义 导数f'(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 例1　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)－f(2) B.0<f'(2)≤f(3)－f(2)<f'(3) C.0<f(3)－f(2)<f'(2)<f'(3) D.0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2) 答案　D 解析　割线AB的斜率为 ＝f(3)－f(2)， f'(2)为函数图象在点B(2，f(2))处切线的斜率， f'(3)为函数图象在点A(3，f(3))处切线的斜率， 结合图象可得0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2). (2)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f'等于(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案　A 解析　由题意知 ＝×f'＝1， 所以f'. 反思感悟　利用定义求函数在某点处的导数，注意函数值增量与自变量增量前后要保持一致. 跟踪训练1　(1)曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于(　　) A.45° B.60° C.135° D.120° 答案　C 解析　f'(3)＝ ＝9＝－9＝－1， 又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°， 所以所求倾斜角为135°. (2)已知函数f(x)可导，则等于(　　) A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2) 答案　B 解析　由f(x)在x＝x0处的导数为 f'(x0)＝知， ＝f'(2). 二、求函数在某一点处的导数 例2　(课本例7)已知f(x)＝x2＋2. (1)求f(x)在x＝1处的导数f'(1)； (2)求f(x)在x＝a处的导数f'(a). 解　(1)因为＝2＋Δx， 所以当Δx→0时，2＋Δx→2， 即(2＋Δx)＝2. 故f(x)在x＝1处的导数等于2，即f'(1)＝2. (2)因为＝2a＋Δx， 所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a， 即(2a＋Δx)＝2a， 故f(x)在x＝a处的导数等于2a，即f'(a)＝2a. 例2　求函数y＝x－在x＝1处的导数. 解　∵Δy＝(1＋Δx)－ ＝Δx＋， ∴＝1＋， ∴＝2. 从而f'(1)＝2. 反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)求平均变化率. (3)求导数f'(x0)＝. 跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 答案　B 解析　 ＝(2＋Δx)＝2. (2)已知f(x)＝，且f'(m)＝－，则m的值等于(　　) A.－4 B.2 C.－2 D.±2 答案　D 解析　因为 ＝， 所以f'(m)＝＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 三、导函数 问题2　以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以得到函数在该点附近的变化情况，能否通过求导研究函数的整体变化？ 提示　这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)＝可知 f'(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数. 知识梳理　导函数的定义 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f'(x). 注意点： (1)f'(x0)是具体的值，是数值. (2)f'(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数. 例3　求函数y＝(x>－1)的导函数. 解　令f(x)＝，则 ＝ ＝ ＝. ∴f'(x)＝. 反思感悟　对于无理式函数，运算时要注意通过分子有理化进行化简. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－x.求f'(x). 解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， ∴＝2x＋Δx－， ∴f'(x)＝＝2x－. 1.知识清单： (1)导数的概念及几何意义. (2)求函数在某点处的导数. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系. 1.若＝x2，则f(x)的导函数f'(x)等于(　　) A.2x B.x3 C.x2 D.3x2 答案　C 解析　由导函数的定义可知， f'(x)＝＝x2. 2.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f'(1)等于(　　) A.4 B.－4 C.－2 D.2 答案　D 解析　由导数的几何意义知f'(1)＝2. 3.若函数f(x)可导，则等于(　　) A.－2f'(1) B.f'(1) C.－f'(1) D.f' 答案　C 解析　 ＝－＝－f'(1). 4.已知函数f(x)＝，则f'(1)＝　　　　.  答案　 解析　f'(1)＝ ＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.设f'(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A.与y轴平行 B.与y轴垂直 C.与x轴垂直 D.与x轴平行 答案　B 解析　因为f'(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，故切线与y轴垂直，也可以说与x轴平行或重合. 2.已知某质点的运动方程为S＝2t2－t，则S'等于(　　) A.3 B.5 C.7 D.9 答案　C 解析　S' ＝ ＝(7＋2Δt)＝7. 3.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f'(0)等于(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 答案　C 解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f'(0)＝＝－1. 4.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值(　　) A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 答案　AD 解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关. 5.已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　D 解析　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx， ∴＝x＋Δx＋1， ∴f'(x)＝ ＝x＋1. 设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝x0＋1＝3， ∴x0＝2. 6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A.(0，0) B.(1，－1) C.(－1，1) D.(1，1) 答案　BC 解析　设切点坐标为(x0，y0)，则 f'(x0)＝ ＝3－2＝tan＝1， 所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1. 7.(5分)已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f'(2)＝　　　　.  答案　3 解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f'(2)＝3. 8.(5分)设函数f(x)＝ax＋3，若f'(1)＝3，则a＝　　　　.  答案　3 解析　因为f'(1)＝ ＝＝a， 所以a＝3. 9.(10分)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝2Δx＋16. ∴f'(3)＝(2Δx＋16)＝16. 10.(10分)在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作C＝f(Q)，称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在Q0处的导数f'(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示，即MC(Q0)＝f'(Q0).已知某产品的总成本函数为C＝Q2＋2Q，求边际成本MC(500)，并说明它的实际意义. 解　设当Q＝500时，产量的改变量为ΔQ， ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝(ΔQ＋1 002)＝1 002，即产量为500时的边际成本为1 002，其实际意义是：此时产量每增加1，成本要增加1 002. 11.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A.f'(a)<f'(b)<f'(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a) C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b) 答案　A 解析　如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f'(a)＝k1，f'(b)＝k2，f'(c)＝k3， 所以f'(a)<f'(b)<f'(c). 12.设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx，a，b，c为常数，则f'(x0)等于(　　) A.0 B.a C.b D.c 答案　D 解析　在f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx中用－Δx替换Δx，知f(x0)－f(x0＋Δx)＝－a(Δx)3＋b(Δx)2－cΔx. 所以f(x0＋Δx)－f(x0)＝a(Δx)3－b(Δx)2＋cΔx. 故f'(x0)＝ ＝ ＝[a(Δx)2－bΔx＋c]＝c. 13.若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，1) C.(－∞，1) D.(1，＋∞) 答案　C 解析　y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝f'(x0) ＝ ＝ ＝1－<1. 即k<1. 14.(5分)若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为　　　　.  答案　 解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2， 设y＝f(x)＝x2， 由导数的几何意义知 y'＝f'(x)＝＝2x＝1， 解得x＝，所以P， 故点P到直线y＝x－2的最小距离为 d＝. 15.(5分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f'(x)，已知f'(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为　　　　.  答案　2 解析　由导数的定义，得f'(0)＝ ＝ ＝[a(Δx)＋b]＝b>0. 又 ∴ac≥， ∴c>0. ∴≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立. 16.(13分)点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标. 解　设P(x0，y0)， 则y0＝＋1， f'(x0)＝＝2x0， 所以点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以直线y＝2x0x＋1－与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝4－8(2－)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $