5.2.3 简单复合函数的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

5.2.3 简单复合函数的导数 新课导入 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积（单位：）与油膜的半径（单位：）的函数解析式为.油膜的半径随着时间（单位：）的增加而扩大，假设关于的函数解析式为.油膜的面积关于时间的瞬时变化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数. 学习目标 1.了解复合函数的复合过程． 2.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 3.会用复合函数的导数求解相关问题． 新知学习 探究 一 复合函数的概念 思考．我们常说为“正弦函数”，而为“正弦型函数”，那么是由哪些初等函数构成的？ 提示 记,则 可以看作正弦函数 和 两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成. ［知识梳理］ 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成关于的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. ［例1］ （1） （多选）下列函数是复合函数的是（ ） A. B. C. D. （2） 下列函数不是复合函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） BCD （2） A 【解析】 （1） 不是复合函数；，，是复合函数. （2） 选项 不是复合函数; 选项 由，复合而成； 选项 由，复合而成； 选项 由，复合而成． 若与均为基本初等函数，则函数或函数均为复合函数，而,不是复合函数. ［跟踪训练1］．（多选）下列函数是复合函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.由复合函数的概念可知 选项中的函数为复合函数，选项中的函数不是复合函数. 二 复合函数的求导法则 思考．如何求函数的导数？ 提示 ，由两个函数相乘的求导法则可知，；从整体上来看，外层函数是，它的导数，内层函数是，它的导数，发现. ［知识梳理］ 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数,的导数间的关系为. 特别地，若,,则①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例2］ 求下列函数的导数. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 （1） 【解】， ，. （2） ， . （3） ， . （4） ， ． （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点 ①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. ［跟踪训练2］． （1） 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 1 （2） 函数的导数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 ［跟踪训练2］ ， 设，， 所以 . （1） 选.因为， 所以， 又，所以，因为，所以，所以. 三 复合函数导数的应用 角度1 综合应用 ［例3］ 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】设曲线 在点 处的切线与直线 平行. 因为，所以，解得， 所以，即切点坐标为. 所以切点 到直线 的距离为， 即曲线 上的点到直线 的最短距离是.故选. 母题探究．本例变为“曲线上的点到直线的最短距离为，求实数的值”. 解：由题意可知，设切点， 则， 所以，即切点， 所以，解得 或. 当 时，直线 与曲线 有交点， 则曲线上的点到直线 的最短距离为0，故 舍去.经检验实数 的值为8. 角度2 实际应用 ［例4］ 已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系 （1） 求，并解释其实际意义； （2） 已知摄氏度与华氏度（单位：）满足函数关系，求关于的导数，并解释其实际意义. 【答案】 （1） 【解】由，求导得 ， 所以，在第 时，汽水温度的瞬时变化率为， 说明在第 附近，汽水温度大约以 的速率下降. （2） 依题意，，求导得， 所以 关于 的导数为，在第 时，汽水温度的瞬时变化率为， 说明在第 附近，汽水温度大约以 的速率下降. 正确地求出复合函数的导数是解答此类题目的关键，审题时注意所给点是否为切点，挖掘题目中的隐含条件，求出参数.解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. ［跟踪训练3］． （1） 已知函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知某港口一天内潮水的深度（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系,.分别求上午6时与下午6时潮水涨（落）的速度. 【答案】（1） （2） 解：由题意可得， 上午6时，即，， 即上午6时潮水涨（落）的速度为， 即落潮速度为. 下午6时，即， ， 即下午6时潮水涨（落）的速度为，即涨潮速度为. 【解析】 （1） ， 则，得， 所以， 故. 课堂巩固 自测 1．函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选..故选. 2．函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.. 3．已知函数的导函数为，且满足，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 得. 4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题意知. 1.已学习：复合函数的求导法则. 2.须贯通：求复合函数的导数时，先理解函数的复合特征，再逐层求导. 3.应注意：求复合函数的导数时要正确分解函数；求导时分清是对哪个变量求导. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选．． 2．设函数，则（ ） A. 6 072 B. C. 2 024 D. 【答案】B 【解析】选.， 则. 3．函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为， 所以. 4．函数,且,则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】选.， ， 即， 解得. 5．曲线在 处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.令, ， ， 所以曲线 在 处的切线斜率为. 6．（多选）下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】选.对于，，则，故 错误； 对于，，则，故 正确； 对于，，则，故 正确； 对于，，则，故 错误. 7．设,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】, 则.即. 8．已知直线与曲线相切，则实数_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】设切点坐标为, 依题意有 解得 9．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，（单位：）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】由， 得， 所以小球在 时的瞬时速度为 . 10．（13分）求下列函数的导数： （1） ；（6分） （2） .（7分） 【答案】 （1） 解： . （2） 因为 ， 所以. B 能力提升 11．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系,其中为初始时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ） A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天 【答案】D 【解析】选.由， 得， 因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率为， 即， 解得. 则， 由，得， 即,所以. 得. 12．设，且，为常数，曲线与直线在点处相切，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由曲线 过 点， 可得，故. 由， 得， 则， 此即为曲线 在点 处的切线的斜率. 由题意得，，故. 所以，.故. 13．（13分）已知函数. （1） 求的解析式；（5分） （2） 求曲线在点,处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.（8分） 【答案】（1） 解：. （2） 由（1）知，， 得切线方程为， 当 时，，当 时， , 所以所围成的三角形的面积 . 14．（15分）已知函数，设曲线在点处的切线为，若直线与圆相交，求的取值范围. 解：因为，所以， 所以， 所以， 所以切线 的方程为，即， 因为直线 与圆 相交， 所以圆心 到直线 的距离小于半径， 即，解得， 所以 的取值范围是,. C 素养拓展 15．记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.若函数与存在“点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.函数，，其中， 则，， 设 为 与 的“点”， 由 可得 解得 因此.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $