5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 能利用导数的四则运算法则,求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　导数的运算法则 　　设两个函数分别为f(x)和g(x),则 (1)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x); (2)(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x); (3)(Cf(x))'=Cf'(x)(C为常数); (4)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (5)'=(g(x)≠0). |微|点|助|解| 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则(f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x))'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). 2.结构特征 积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)'=ex. (　　) (2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). (　　) (3)当g(x≠0)时,'=. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.设y=-2exsin x,则y'等于 (　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 解析:选D　∵y=-2exsin x,∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x). 3.函数y=的导数是 (　　) A.- B.-sin x C.- D.- 解析:选C　y'='===-. 4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=　　　　.  解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=. 答案: 题型(一)　利用导数四则运算法则求函数的导数 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　求下列函数的导数: (1)y=+; (2)y=x3·10x; (3)y=cos x·ln x. 解:(1)y=+=2x-2+3x-3, y'=-4x-3-9x-4. (2)y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10. (3)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+. |思|维|建|模| 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 　　[针对训练] 1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,求a的值. 解: ∵f(x)=,∴f(a)=,又∵f'(x)='=,∴f'(a)=.由题意知f(a)+f'(a)=0,∴+=0, ∴2a-1=0,∴a=. 故a的值为. 2.求下列函数的导数: (1)y=x5+x3;(2)y=3x+lg x; (3)y=3x2+xcos x;(4)y=;(5)y=xtan x. 解:(1)y'='='+'=x4+4x2. (2)y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+. (3)y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x. (4)y'='===. (5)因为y=xtan x=,所以y'=' = ==. 题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知f(x)=ln x+x2. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程; (2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ln x+x2,∴f'(x)=+x,当x=1时,f'(1)=,f(1)=,∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1),即10x-8y-9=0. (2)由题意x>0,f(x)=ln x+x2, ∴f'(x)=+x≥2=1,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1,∴tan α≥1,又0≤α<π, ∴≤α<,即倾斜角α的取值范围为. |思|维|建|模| 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 　　[针对训练] 3.曲线y=x3+bx2+c在点M(1,0)处的切线与直线x-y-2=0垂直,则c的值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　由f(x)=x3+bx2+c,则f'(x)=3x2+2bx,直线x-y-2=0的斜率为1,由题意可得解得故选C. 4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为f'(x)=,所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A. 5.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为　　　　.  解析:f'(x)=4x-(x>0),令f'(x)=4x-=1,解得x=1或x=-(舍去),又f(1)=2,可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1,2),所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. 答案: 题型(三)　导数运算法则的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100). 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%;(2)98%. 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)=' = ==. (1)因为c'(90)==52.84,所以净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. (2)因为c'(98)==1 321, 所以净化到纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨. |思|维|建|模| 　　明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫. 　　[针对训练] 6.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. (1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率; (2)求L'(2)并解释它的实际意义. 解:(1)收入R=qp=q=25q-q2, 利润L=R-C=-(100+4q) =-q2+21q-100(0<q<200). = ==20.5. 所以q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率为20.5. (2)L'=-q+21, L'(2)=21-=20.5. L'(2)表示产量为2时,产量每增加一个单位,利润增加20.5元. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.[多选]下列求导运算错误的是 (　　) A.'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x 答案:ACD 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时,该质点的瞬时速度为 (　　) A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s 解析:选C　因为s'=60-gt,所以当t=5 s时,s'=60-5g=10 m/s.故选C. 3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　　) A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x 解析:选A　因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]',所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6,所以切线方程为y=-6x. 4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b= (　　) A.2 B.e C.3 D.2e 解析:选A　根据导数的运算公式y'==,当x=0时,y'=2-a,∴2-a=1,即a=1.∵(0,1)在切线y=x+b上,即b=1,∴a+b=2.故选A. 5.已知f(x)=ax2+ln x,且=6.若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直,则a+b= (　　) A. B. C. D.0 解析:选A　依题意,=2×=2f'(1)=6,f'(1)=3,则-×3=-1,a=3b.又f(x)=ax2+ln x,f'(x)=2ax+,f'(1)=2a+1=3,a=1,所以b=,所以a+b=.故选A. 6.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:===ex=e0=1,则= (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　由题意得====,故选B. 7.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 解析:选B　函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在(0,+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2). 8.(5分)已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)=　　　　.  解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99),可得f'(x)=2x-197,所以f'(99)=2×99-197=1. 答案:1 9.(5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'=　　　　.  解析:∵f(x)=f'cos x+2x,∴f'(x)=-f'sin x+2,∴f'=-f'sin+2,∴f'=1. 答案:1 10.(5分)已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为　　　　.  解析:由题意得,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,所以f'(x0)=f'(e)=+1. 答案:+1 11.(5分)已知函数f(x)=ln x+x2,则曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为　　　　.  解析:由f(x)=ln x+x2,得f'(x)=+x(x>0),又+x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线的斜率k=2,切点为,所以切线方程为y-=2(x-1),整理可得4x-2y-3=0. 答案:4x-2y-3=0 12.(5分)现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为　　　　m/s.  解析:设注入水后水面高度为h,水面所在圆的半径为r,=,即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt,即h=4,h'(t)=4×,所以当t=1时,h'(1)=.即水面上升的速度为 m/s. 答案: 13.(10分)求下列函数的导数: (1)y=-ln x;(2分) (2)y=(x2+1)(x-1);(2分) (3)y=;(3分) (4)y=.(3分) 解:(1)y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-. (2)y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1. (3)y'==. (4)y'= =. 14.(10分)已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4. (1)求a的值;(5分) (2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.(5分) 解:(1)由f(x)=ln x+ax2+x,得f'(x)=+2ax+1,又f'(1)=4,所以1+2a+1=4,解得a=1. (2)由a=1,得f(x)=ln x+x2+x,所以f(2)=ln 2+6,即切点为(2,ln 2+6), 又切线的斜率为k=f'(2)=,所以函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2),即11x-2y+2ln 2-10=0. 15.(15分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题: (1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;(5分) (2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.(10分) 解:(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6, ∴令f″(x)=6x-6=0,得x=1. 有f(1)=1-3+2-2=-2,∴“拐点”A为(1,-2). (2)证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2. P(x0,y0)关于“拐点”A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0). 把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2, ∴左边=右边, ∴点P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)关于“拐点”A对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$