第5章 §5.2 5.2.3 简单复合函数的导数（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦简单复合函数的导数这一核心知识点，承接上节课函数和差积商的求导法则，系统构建复合函数概念、求导法则及应用的知识体系，为学生后续复杂函数求导提供学习支架。 资料以问题驱动概念理解，通过实例解析复合函数构成与求导步骤，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。课中助力教师分层授课，课后知识清单与练习帮助学生查漏补缺，提升自主学习效果。

5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，进行一些复合函数的求导． 导语 上节课，我们学习了函数的和、差、积、商的求导法则，今天我们将继续研究复合函数及其求导法则． 一、复合函数概念的理解 问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，令f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成． 知识梳理 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 注意点：复合函数的内、外层函数通常为基本初等函数． 例1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2 C．y＝esin x D．y＝sin 答案　BCD 解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数． 反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数． 跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－ C．y＝2ln x D．y＝cos 答案　ACD 二、复合函数的导数 问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 知识梳理 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 例2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝2x＋，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin. (3)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝＝. (4)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 反思感悟　求复合函数的导数的步骤 (1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数． (2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数． (3)相乘：把上述求导的结果相乘． (4)变量回代：把中间变量回代． 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝5log2(1－x)； (3)y＝sin. 解　(1)y＝， 令y＝，u＝1－2x， 则y′x＝ ＝. (2)令y＝5log2u，u＝1－x， 则y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝＝. (3)令y＝sin u，u＝4x＋， 则y′x＝(sin u)′′＝cos u·4 ＝4cos. 三、复合函数的导数的应用 例3　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值． 解　∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′ ＝2ax－， ∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)， 即2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝相切， ∴圆心(0,0)到直线l的距离为， ∴＝，解得a＝. 反思感悟　复合函数的导数的几何意义也是曲线在某点处切线的斜率，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． 跟踪训练3　已知曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与直线l的距离为，求直线l的方程． 解　y＝f(x)＝e2x·cos 3x，其导数为f′(x)＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)，则曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，此时切线方程为2x－y＋1＝0， 设直线l：2x－y＋t＝0(t≠1)，由d＝＝， 解得t＝6或t＝－4. 则直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 1.知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． (3)复合函数的导数的应用． 2.方法归纳：转化法． 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果未化简． 1．函数y＝cos＋4的导数是(　　) A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2) C．2cos(1＋x2) D．－2xsin(1＋x2) 答案　D 解析　y′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′ ＝－2xsin(1＋x2)． 2．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　) A．1 B. C．－1 D．－2 答案　B 解析　f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝. 3．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　f′(x)＝，则f′(2)＝＝2， 解得a＝. 4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案　2 解析　易知y′＝aeax，k＝ae0＝a， 故a×＝－1，则a＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案　BCD 解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数， 其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成； C由y＝，u＝ln x复合而成； D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成． 2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于(　　) A．ln 3 B．－ln 3 C. D．－ 答案　C 解析　f′(x)＝，故f′(2)＝. 3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D. 答案　B 解析　∵y＝xln(2x＋5)， ∴y′＝ln(2x＋5)＋. 4．曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．6 D．2 答案　C 解析　∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2， ∴k＝2e0＋4e0＝6. 5．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　A 解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去)． 6．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 答案　ACD 解析　对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误． 7．(5分)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 答案　－ 解析　由f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x可得f′(x)＝－2sin 2x，所以f′(0)＝－2sin 0＝－. 8．(5分)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________． 答案　2 解析　设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)， 又曲线的导数为y′＝， ∴k＝＝1，即x0＋a＝1. ∴y0＝ln(x0＋a)＝0， ∴x0＝－1， ∴a＝2. 9．(12分)求下列函数的导数： (1)y＝ln(ex＋x2)；(3分) (2)y＝102x＋3；(3分) (3)y＝；(3分) (4)y＝sin 2xcos 3x.(3分) 解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u. ∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝. (2)令u＝2x＋3， 则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′ ＝2ln 10·102x＋3. (3)设，u＝1－x2， 则y′x＝ (4)∵y＝sin 2xcos 3x， ∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′ ＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. 10．(10分)已知曲线y＝e2x＋1在点处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解　因为y＝e2x＋1，所以y′＝2e2x＋1，所以曲线在点处的切线斜率k＝2，故曲线在点处的切线方程为2x－y＋2＝0，设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，由＝得，m＝7或－3，所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0. 11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x， 在点(0,2)处的切线斜率k＝－2e－2×0＝－2. 所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x， 即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示． 因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与y＝0的交点坐标是(1,0)， 所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝. 12．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B．2 C．3 D．0 答案　A 解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝， ∴k＝＝2， 解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 13．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　因为y＝， 所以y′＝＝＝. 因为ex>0， 所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)， 所以y′∈[－1,0)， 所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)， 所以α∈. 14．(5分)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 答案　 解析　∵f′(x)＝－sin(x＋φ)， ∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， 令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， ∵g(x)为奇函数， ∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0， ∴tan φ＝， 又0<φ<π，∴φ＝. 15．若曲线y＝sin 2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为(　　) A. B. C. D．π 答案　B 解析　∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋×＝sin＋， ∴y′＝cos， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直， 故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A点处切线的斜率为1，在B点处切线的斜率为－1， 则有2x1＋＝2k1π(k1∈Z)，2x2＋＝2k2π＋π(k2∈Z)， 则可得x1－x2＝(k1－k2)π－＝kπ－(k∈Z)， 所以|x1－x2|min＝. 16．(10分)(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；(4分) (2)在曲线y＝上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程．(6分) 解　(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx)． ∴f′＝＝. (2)设切点坐标为P(x0，y0)， 由题意可知k＝0. 又y′＝， ∴k＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $