5.1.2 瞬时变化率——导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“瞬时变化率——导数”核心内容，系统梳理割线与切线的关系、平均速度与瞬时速度的转化、导数的概念及几何意义。通过从具体实例（如曲线切线、运动速度）到抽象概念（导数定义）的认知脉络，搭建“观察-探究-抽象”的学习支架，帮助学生逐步理解极限思想下的瞬时变化率。 资料以生活情境（区间测速）和文化素材（《庄子》极限思想）导入，激发学习兴趣。新知学习采用“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”结构，如用割线逼近法推导切线斜率，体现“用数学的思维思考现实世界”。分层达标检测（A、B、C级）适配不同学生，课中助力教师系统授课，课后辅助学生查漏补缺，培养数学眼光与应用意识。

5.1.2 瞬时变化率——导数 第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度 新课导入 你有过这样的生活体验吗？当你和家人乘车行驶在公路上时，导航提示：前方500米有测速！在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，它的工作原理是利用车辆经过两个测速监控点的时间差，计算出这段距离之内的平均速度.有意思的是，区间测速并不能准确反映汽车在某一时刻有没有超速，大家有没有更好的主意呢？ 学习目标 1.会求函数在某点处的切线方程． 2.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念. 3.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度． 新知学习 探究 一 曲线的割线 思考．曲线割线的斜率和平均变化率有什么关系？ 提示 曲线 上过两点，的割线的斜率就是函数 在区间 上的平均变化率. ［知识梳理］ 设曲线上一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为. ［例1］ 已知曲线上两点，，当时，割线的斜率是_ _ _ _ ；当时，割线的斜率是_ _ ． 【答案】5； 4.1 【解析】当 时，割线 的斜率； 当 时，割线 的斜率. 一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线.平均变化率的几何意义就是曲线的割线的斜率. ［跟踪训练1］．曲线过点，的割线的斜率为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以. 二 曲线的切线 ［知识梳理］ 如图，设为曲线上不同于的一点，这时，直线称为曲线的①_ _ ．随着点沿曲线向点运动，割线在点附近越来越②_ _ 曲线.当点③_ _ _ _ _ _ _ _ 点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点处的④_ _ ． 【答案】割线； 逼近； 无限逼近； 切线 点拨 （1）当 时，割线 的斜率称为曲线在点 处的切线的斜率，这样就提供了求曲线上在某点处的切线斜率的一种方法. （2）曲线在某点处的切线：①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线.③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点. ［例2］ （对接教材例5）用割线逼近切线的方法，求曲线在处的切线斜率． 【解】 设，，则割线 的斜率为.当 无限趋近于0时，无限趋近于常数，从而曲线 在 处的切线斜率为. 用割线逼近法求曲线在某点处的切线斜率的步骤 （1）取点附近一点; （2）求割线的斜率； （3）当时，求趋近于某一个常数,即为曲线在点处的切线斜率. ［跟踪训练2］．用割线逼近切线的方法，求曲线在处切线的斜率. 解：设，，,,则割线 的斜率为. 当 无限趋近于0时，无限趋近于常数, 从而曲线 在 处切线的斜率为. 三 平均速度与瞬时速度 ［知识梳理］ 1．平均速度 在物理学中，运动物体的位移与①_ _ _ _ _ _ _ _ 的比称为平均速度． 【答案】所用时间 点拨 （1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应． （2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同． 2．瞬时速度 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率无限趋近于②_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ 称为物体在④_ _ _ _ _ _ _ _ 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】一个常数； 这个常数； ； 瞬时变化率 点拨 瞬时速率是标量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是矢量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在运动轨迹上的切线的方向． ［例3］ 物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，求物体在时的瞬时速度． 【解】 在 到 的时间内，物体的平均速度 ，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于3， 所以 在 处的瞬时变化率为3. 即物体在 时的瞬时速度为. 求运动物体瞬时速度的步骤 （1）求时间改变量和位移改变量; （2）求平均速度; （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于常数，即为运动物体在时刻的瞬时速度. ［跟踪训练3］． （1） 某质点的运动方程是，其在区间上的平均速度为3，则实数的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 （2） 一质点按运动方程做直线运动位移单位：，时间单位:，若质点在时的瞬时速度为，求常数的值. 【答案】（1） D （2） 解：质点 在 时的瞬时速度即为函数在 处的瞬时变化率. 因为质点 在 附近的平均变化率为, 所以当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以， 解得. 【解析】 （1） 选.根据题意，该质点在区间 上的平均速度为，则有，解得. 四 瞬时加速度 ［知识梳理］ 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】瞬时变化率 点拨 瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率． ［例4］ 一质点的运动速度单位： 是时间单位：的函数，且，则当无限趋近于0时，表示（ ） A. 时的速度 B. 时的加速度 C. 时的位移 D. 时的平均速度 【答案】B 【解析】当 无限趋近于0时，表示 时的加速度． 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化快慢的物理量． ［跟踪训练4］．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且前5秒内的速度单位：与时间单位：的关系可近似地表示为，则汽车在时的瞬时加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意得， ， 当 无限趋近于0时，无限趋近于, 则汽车在 时的瞬时加速度为. 课堂巩固 自测 1．已知曲线上一点，，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为点 在曲线 上， 所以，当 无限趋近于0时，无限趋近于1，即曲线在点 处的切线的斜率为1，故倾斜角为 . 2．某物体的运动速度与时间的关系为，则该物体在时的加速度为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】选.由题意知，，当 无限趋近于0时，无限趋近于，则该物体在 时的加速度为8. 3．已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】选 ， 因为当 无限趋近于0时，无限趋近于， 所以曲线在点 处的切线斜率， 所以，即. 4．某物体的运动路程单位:与时间单位：的关系可用函数表示，则物体在_ _ _ _ _ _ _ _ 时的瞬时速度为. 【答案】 【解析】设物体在 时的瞬时速度为， 又， ， 则,所以， 则物体在 时的瞬时速度为. 1.已学习：（1）曲线的割线和切线.（2）平均速度.（3）瞬时速度与瞬时加速度. 2.须贯通：用无限逼近的思想求在一点处的切线、及瞬时速度和瞬时加速度. 3.应注意：瞬时速度、瞬时加速度的物理意义. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知曲线上两点，，，，则割线的斜率为（ ） A. 2 B. 2.3 C. 2.09 D. 2.1 【答案】B 【解析】选.，. 所以. 2．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 2 【答案】C 【解析】选.对于曲线， . 对于曲线， . 由，得， 所以 或.故选. 3．某质点沿某曲线运动的方程为表示时间，表示位移），则该质点从到的平均速度为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】选.由题意得该质点从 到 的平均速度为. 4．一木块沿一斜面下滑，下滑时木块的速度为，则时木块的加速度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】选.因为，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于.所以 时木块的加速度为4. 5．一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.， 因为，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于6，所以,则. 6．（多选）若曲线在处的切线与直线平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AB 【解析】选.根据题意得 ， 当 无限趋近于0时， 无限趋近于，所以， 当 时，，切点是，此时切线方程为， 当 时，，切点是，此时切线方程为，都符合题意.故选. 7．一物体的运动方程为，则其在_ _ _ _ _ _ 时瞬时速度为1. 【答案】 【解析】. 当 无限趋近于0时，无限趋近于， 因为瞬时速度为1，故，即. 8．一个物体做直线运动，位移单位：与时间单位：之间的函数关系为,且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】由已知，得 ,解得. 9．曲线在点处的切线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以， 当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以函数在点 处的切线斜率， 所以切线方程为，即. 10．（13分）分别求曲线在，，处的切线斜率． 解：设，， 割线 的斜率， 当 无限趋近于0时，无限趋近于， 故曲线 在，，处的切线斜率分别为0，,6. B 能力提升 11．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.， ， ， 所以. 12．若小球自由落体的运动方程为为重力加速度，该小球在到内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】选.平均速度. , 因为当 无限趋近于0时， 无限趋近于， 所以，所以. 13．在曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】设切点为，曲线在点 处的切线斜率为， ， 当 无限趋近于0时， 无限趋近于.所以. 当 时，有最小值3，此时点 的坐标为， 其切线方程为. 14．（13分）一作直线运动的物体，其位移单位：与时间单位：的关系是． （1） 求到时的平均速度；（5分） （2） 求此物体在时的瞬时速度．（8分） 【答案】（1） 解：. （2） . 当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以 时的瞬时速度为. C 素养拓展 15．（15分）某一运动物体，在单位：时离开出发点的距离单位：是.求： （1） 该物体在第末的瞬时速度；（5分） （2） 经过多少时间该物体的运动速度达到?（10分） 【答案】 （1） 解： 当无限趋近于0时，无限趋近于6， 所以物体在第末的瞬时速度为. （2） 设经过，该物体的运动速度达到，即第末的瞬时速度为, , 则当 无限趋近于0时，无限趋近于, 令，解得 或（舍去）， 即经过 该物体的运动速度达到. 第2课时 导 数 新课导入 庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”；刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.这些都是很典型的极限概念.那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数. 学习目标 1.理解导数及导函数的概念. 2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数． 新知学习 探究 一 导数的概念 思考．瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数. ［知识梳理］ 设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 无限趋近于一个②_ _ ，则称在处③_ _ ，并称该④_ _ 为函数在处的⑤_ _ ，记作． 【答案】； 常数； 可导； 常数； 导数 ［例1］ （1） 已知函数在处的导数为12，则（ ） A. B. 4 C. D. 36 （2） 已知函数，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 根据题意可知，， 则 . （2） . 由导数的定义求函数 在 处的导数的步骤 （1）求函数的增量; （2）求平均变化率; （3）由，得导数. ［跟踪训练1］． （1） 已知且,则的值为（ ） A. B. 2 C. D. （2） 函数在处的导数为_ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 4 【解析】 （1） 选.因为,所以, 所以,即,解得.故选. （2） 因为 . 所以函数 在 处的导数为4. 二 导函数 思考．导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？ 提示 （1）是具体的值，是数值；是函数 在某区间 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． （2）是导函数 在 时的函数值. ［知识梳理］ 若对于区间内任一点都可导，则在各点处的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数，记作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例2］ 求函数的导函数. 【解】 令,， 则 . 即函数 的导函数为. 求导函数的一般步骤 （1）; （2）; （3）求. ［跟踪训练2］．已知函数,求. 解：因为 , 所以. 所以. 三 导数的几何意义 ［知识梳理］ 导数的几何意义就是曲线在点①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 处切线的②_ _ . 【答案】； 斜率 ［例3］ （1） 已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 （2） 曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 由导数的几何意义知，，分别是曲线 在点，处切线的斜率，由图象可知. （2） . 则曲线在点 处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即. （1）求过曲线上已知点的切线方程的思路： 求出函数在该点处的导数（切线斜率），根据点斜式写出切线方程并化简； （2）若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程. ［跟踪训练3］．曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】曲线在点 处切线的斜率 , 由直线的点斜式方程可得切线方程为 ，即. 课堂巩固 自测 1．若，则的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选．由导数的定义可知，. 2．（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 叫作函数值的增量 B. 叫作函数在上的平均变化率 C. 在处的导数记为 D. 在处的导数记为 【答案】ABD 【解析】选 中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，正确；中，称为函数 在 到 之间的平均变化率，正确；由导数的定义知函数 在 处的导数记为，故 错误，正确.故选. 3．曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，所以，即. 所以所求切线方程为． 4．已知函数，其中，，为常数，求该函数在和处的导数. 解：由题知 ， 则， 当 时，瞬时变化率为，即函数的导数为， 当 时，瞬时变化率为，即函数的导数为， 所以， . 1.已学习：（1）导数的概念及几何意义． （2）求函数在某点处的导数． （3）导函数的概念. 2.须贯通：（1）导数的求法. （2）求切线方程的方法. （3）切线的斜率与导数的关系. 3.应注意：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若可导函数的图象过原点，且满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】选．因为 的图象过原点，所以， 所以 . 2．已知某质点的运动方程为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】选． . 3．设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】选.因为，所以. 4．已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】选.设切点为，，得. 5．（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处切线的倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设切点为， 由导数的几何意义得 ， 解得.当 时，； 当 时，. 故切点为 或. 6．（多选）若函数在处存在导数，则的值（ ） A. 与有关 B. 与有关 C. 与无关 D. 与无关 【答案】AD 【解析】选．由导数的定义可知，函数 在 处的导数与 有关，与 无关． 7．已知曲线在点处的切线与直线平行，则_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为直线 的斜率为3，所以由导数的几何意义可知. 8．设函数，若，则_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为 ， 所以. 9．已知直线是曲线在点处的切线，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ . 【答案】5； 3 【解析】由题意知，. 因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为.由，得，所以，，. 10．（13分）若点是抛物线上任意一点，求点到直线的最小距离. 解：由题意得，当点 到直线 的距离最小时，点 为抛物线 的一条切线的切点，且该切线平行于直线,设，由导数的几何意义知， 解得,所以点,,故点 到直线 的最小距离为. B 能力提升 11．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选．设切点为， 因为. 由题意可知，切线 的斜率， 即，所以. 所以切点坐标为，切线方程为，即. 12．若曲线上任意一点处的切线斜率为,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设点，则. 即. 13．已知函数在上有导函数，的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选．如图，分别作曲线在，，三处的切线，，，设切线的斜率分别为，，，易知，又，，，所以． 14．（15分）某铜管厂生产铜管的利润函数为，其中为工厂每月生产该铜管的根数，利润的单位是元． （1） 求边际利润函数时的值；（10分） （2） 解释（1）中的实际意义．（5分） 【答案】 （1） 解：因为， 所以. 则. 所以. 由， 即， 解得 或（舍去）． 即当边际利润函数 时，的值为450. （2） 当 时，的值为450表示的实际意义是当工厂每月生产450根铜管时，利润增加量为零． C 素养拓展 15．（15分）点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标． 解：设，则， ， 所以点 处的切线方程为 ，即， 而此直线与曲线 相切， 所以直线 与曲线 只有一个公共点， 联立两方程 得，则， 解得，则， 所以点 的坐标为 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $