第5章 5.1.2 第2课时 瞬时速度与瞬时加速度（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学中瞬时速度与瞬时加速度核心知识点，承接上节课“无限逼近”思想（从割线斜率到切线斜率），通过物理运动实例（如测速探头）引入，构建平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念体系，形成从平均变化率到瞬时变化率的学习支架。 该资料以物理情境为载体（如高台跳水、汽车加速），引导学生用数学眼光观察运动现象，通过“无限逼近”推导过程培养数学思维（推理能力），用运动方程、平均变化率等数学语言表达物理量。课中例题与延伸探究助力教师引导学生理解，课后跟踪训练和课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　瞬时速度与瞬时加速度 学习目标　1.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.2.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度. 导语 同学们，上节课我们利用“无限逼近”思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，比如测速探头，就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今天我们就来具体研究这一现象. 一、平均速度 问题1　试说明平均速率和平均速度的区别与联系. 提示　平均速率不是平均速度.平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，它是标量.例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，所用的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0. 知识梳理　平均速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. 注意点： (1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应. (2)平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同. 例1　一质点的运动方程是S＝3t－t2，则在时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A.－t－Δt B.1＋Δt C.－1＋Δt D.1－Δt 答案　D 解析　＝1－Δt. 反思感悟　在变速直线运动中，平均速度的大小与选定的时间段和位移有关，不同时间段内或不同位移上的平均速度一般不同，必须指明所求平均速度是对应哪个时间段或哪段位移的平均速度，不指明对应过程的平均速度是没有意义的. 跟踪训练1　某质点的运动方程是f(x)＝x2－1，其在区间上的平均速度为3，则实数m的值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　D 解析　根据题意，该质点在区间[1，m]上的平均速度为＝m＋1， 则有m＋1＝3，解得m＝2. 二、瞬时速度 问题2　试说明瞬时速率与瞬时速度的区别. 提示　瞬时速率是标量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是矢量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在运动轨迹上的切线的方向. 知识梳理　瞬时速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 例2　某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数S(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1时的瞬时速度. 解　在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度 ＝＝3＋Δt， ∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3， ∴S(t)在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1时的瞬时速度为3 m/s. 延伸探究1　若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. ∵ ＝ ＝1＋Δt， ∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1， ∴S(t)在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s. 延伸探究2　若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s？ 解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又 ＝2t0＋1＋Δt. ∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t0＋1. 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0). (2)求平均速度. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度. 跟踪训练2　(1)高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为　　　　米/秒.  答案　6.5 解析　 ＝－4.9Δt＋6.5， ∵当Δt无限趋近于0时， －4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒. (2)如果一个物体的运动方程S(t)＝试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度. 解　当t＝1时，S(t)＝t2＋2， 则 ＝2＋Δt， 当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2， ∴该物体在t＝1时的瞬时速度为2； 当t＝4时， S(t)＝11＋3(t－3)2＝3t2－18t＋38， ∴ ＝＝3Δt＋6， ∴当Δt无限趋近于0时，3Δt＋6无限趋近于6， ∴该物体在t＝4时的瞬时速度为6. 三、瞬时加速度 瞬时加速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率. 注意点： 瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率. 例3　一质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示(　　) A.t＝1时的速度 B.t＝1时的加速度 C.t＝1时的位移 D.t＝1时的平均速度 答案　B 解析　当Δt无限趋近于0时，表示t＝1时刻的加速度. 反思感悟　瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化快慢的物理量. 跟踪训练3　一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且前5秒的速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝－t2＋10t，0<t≤5，则汽车在t＝1时的加速度为(　　) A.10 m/s2 B.9 m/s2 C.8 m/s2 D.7 m/s2 答案　C 解析　由题意得， ＝－2t＋10－Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－2t＋10，则汽车在t＝1时的加速度为8 m/s2. 1.知识清单： (1)平均速度. (2)瞬时速度. (3)瞬时加速度. 2.方法归纳：无限逼近的思想. 3.常见误区：不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率. 1.质点运动规律S＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]中，质点的平均速度等于(　　) A.6＋Δt B.6＋Δt＋ C.3＋Δt D.9＋Δt 答案　A 解析　平均速度为＝6＋Δt. 2.如果质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为(　　) A.6 B.18 C.54 D.81 答案　C 解析　∵＝2(Δt)2＋18Δt＋54， ∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于54. 故该质点在t＝3时的瞬时速度为54. 3.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的瞬时加速度为(　　) A.2 B.－2 C.8 D.－8 答案　C 解析　由题意知，＝4t＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4t，则该物体在t＝2时的瞬时加速度为8. 4.一物体的运动方程为S＝3t2－2，则其在t＝　　　时瞬时速度为1.  答案　 解析　＝6t＋3Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6t， 因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　) A.－4 B.－8 C.6 D.－6 答案　D 解析　由题意得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝－6. 2.一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案　D 解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6， 即质点在t＝1时的瞬时速度是－6. 3.一物体的运动方程为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的瞬时加速度为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　A 解析　因为＝2t＋Δt. 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t. 所以t＝2时物体的瞬时加速度为4. 4.某物体做直线运动，其运动规律是S＝t2＋(时间的单位是秒，位移的单位是米)，则它在t＝4的瞬时速度等于(　　) A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.0米/秒 答案　A 解析　因为 ＝＝Δt＋8－， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于. 故它在t＝4时的瞬时速度为米/秒 5.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2＋2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝2时的瞬时速度为v2，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　v1＝＝7， ∵＝6＋Δt， ∴当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于6， 所以v2＝6，则. 6.(多选)甲、乙的速度v与时间t的关系如图，a(t0)是在t＝t0时的加速度，S(t0)是从t＝0到t＝t0的路程，则下列说法正确的是(　　) A.a甲(t0)>a乙(t0) B.a甲(t0)<a乙(t0) C.S甲(t0)>S乙(t0) D.S甲(t0)<S乙(t0) 答案　BC 解析　加速度是速度对时间的函数的切线斜率，由图可得在t＝t0处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在t＝t0处的加速度小于乙在t＝t0处的加速度；由图知，从t＝0到t＝t0，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝t0的路程大于乙从t＝0到t＝t0的路程. 7.(5分)质点的运动方程是S＝t＋(S的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3时的瞬时速度为　　　　m/s.  答案　 解析　 ＝＝1－， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于， 所以质点在t＝3时的瞬时速度为m/s. 8.(5分)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为　　　　　.(由小到大排列) 答案　<< 解析　∵＝kOA，＝kAB，＝kBC， 又∵由图象得kOA<kAB<kBC，∴<<. 9.(10分)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位：m，t的单位：s). (1)求t＝0到t＝2时的平均速度；(3分) (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度.(7分) 解　(1)＝1(m/s). (2) ＝＝－Δt－1. 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，所以t＝2时的瞬时速度为－1 m/s. 10.(12分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度. 解　因为ΔS＝a(t0＋Δt)2－a ＝at0(Δt)＋a(Δt)2， 所以＝at0＋a(Δt)， 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0， 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以at0＝8×102＝800(m/s)， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 11.若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　) A.>v2 B.<v2 C.＝v2 D.不能确定 答案　C 解析　平均速度为＝2g. ＝gΔt＋2g， ∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2g， ∴v2＝2g，∴＝v2. 12.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.6t2＋0.4t，则火车加速度为2.8米/秒2时，刚好开出了(　　) A.秒 B.2秒 C.秒 D.秒 答案　B 解析　由题意可知， ＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t＝2.8，得t＝2秒. 13.(5分)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为　　　　.  答案　2 解析　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，即4a＝8，解得a＝2. 14.(5分)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s末时的瞬时速度为　　　　　　rad/s.  答案　8π 解析　设车轮旋转角度θ(单位：rad)关于时间t(单位：s)的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π， 故θ(t)＝2πt2. 则＝2πΔt＋8π， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于8π， 即车轮转动开始后第2 s末时的瞬时速度为8π rad/s. 15.(5分)如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入空容器内，则注入水的高度在第 分钟末时的瞬时速度为　　　　分米/分钟.(注：π≈3.1) 答案　9 解析　由题意知，圆锥的轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h分米，则水面的半径为h分米，在第t分钟末时，容器内水的体积为9.3t升， 因为9.3t＝π·h， 所以h3＝27t，所以h＝3. 因为 ＝ ＝， 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于9， 即h(t)在第 分钟末时的瞬时速度为9分米/分钟. 16.(12分)某一运动物体，离开出发点的距离(单位：m)和时间x(单位：s)函数关系式为f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1 s内的平均速度；(3分) (2)求在第1 s末的瞬时速度；(4分) (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s？(5分) 解　(1)因为f(1)＝＋1＋2＝，f(0)＝0，所以物体在第1 s内的平均速度为(m/s). (2) ＝ ＝6＋3Δx＋(Δx)2， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于6， 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s. (3)设经过x s该物体的运动速度达到14 m/s，则 ＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍去)， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $