第5章 5.1.2 第1课时 曲线上一点处的切线（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦“曲线上一点处的切线”核心知识点，通过割线无限逼近过程构建切线概念，梳理从割线斜率（Δy/Δx）到切线斜率（Δx趋近0时的极限）的脉络，为导数概念学习搭建阶梯。 以刘徽割圆术为情境渗透“以直代曲”思想，通过问题链引导学生用数学眼光观察逼近现象，例题与跟踪训练结合培养数学思维中的推理能力，课时对点练分层设计助力课后查漏补缺，提升知识应用与迁移能力。

5.1.2　瞬时变化率——导数 第1课时　曲线上一点处的切线 学习目标　1.体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求曲线在某点处的切线. 导语 “天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，这一思想也被广泛应用到古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质. 一、曲线的割线和切线 问题1　如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线C的割线，那么当Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？ 提示　割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线. 知识梳理 名称 割线 切线 斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率 例1　已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是　　　；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是　　　.  答案　5　4.1 解析　当Δx＝1时，割线AB的斜率 k1＝＝5； 当Δx＝0.1时，割线AB的斜率 k2＝＝4.1. 反思感悟　一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线. 跟踪训练1　写出曲线f(x)＝x－x2过点P(2，－2)，Q(2＋h，f(2＋h))的割线的斜率，再让点Q沿曲线趋近于点P，求出曲线在点P处切线的斜率. 解　因为f(2＋h)＝(2＋h)－(2＋h)2 ＝－h2－3h－2， 所以kPQ＝＝－h－3， 当点Q沿曲线趋近于点P时，即h趋近于0时，该曲线在点P处切线的斜率为－3. 二、曲线在某点处的切线 例2　(课本例5)已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率. 解　设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝4＋Δx. 当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线y＝f(x)在点P(2，4)处的切线斜率为4. 例2　已知曲线y＝x3＋.求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解　∵点P(2，4)在曲线y＝x3＋上， ＝＝4＋2Δx＋(Δx)2， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4， ∴在点P(2，4)处的切线的斜率为4， ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 反思感悟　根据曲线上某点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，关键是求出切线的斜率，即在该点处，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于的那个常数. 跟踪训练2　(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为　　　　.  答案　(3，30) 解析　设点P的坐标为(x0，y0)， 则 ＝4x0＋4＋2Δx. 当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P的坐标为(3，30). (2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程. 解　设B(1＋Δx，f(1＋Δx))， 则kAB＝＝5＋3Δx， 当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5， 所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5. 切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0. 1.知识清单： (1)曲线的割线和切线. (2)曲线在某点处的切线. 2.方法归纳：无限逼近的思想. 3.常见误区：不能正确理解用割线研究切线的思想. 1.函数f(x)＝在x＝1处的切线斜率为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　B 解析　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝， 所以＝－， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－1. 故函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－1. 2.抛物线y＝x2在点M处的切线的倾斜角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　B 解析　∵点M在抛物线y＝x2上， ＝1＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1， ∴在点M处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°. 3.已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　 ＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2， 因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2， 所以曲线在点(2，8)处的切线斜率k＝12， 所以12a＝12，即a＝1. 4.已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为　　　　.  答案　－ 解析　方法一　由函数的解析式有 Δy＝ ＝， 则. 当Δx＝1时，割线AB的斜率k＝＝－. 方法二　当Δx＝1时，Δy＝＝－， ∴割线AB的斜率k＝＝－. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2，2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为(　　) A.f(2) B.f(2＋Δx) C. D.f(x0) 答案　C 解析　由两点割线的斜率，当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在A点处的切线斜率近似为. 2.已知抛物线y＝x2，抛物线上有一点P，Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当x＝1＋Δx时，y＝(1＋Δx)2. 3.已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则割线AB的斜率为(　　) A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1 答案　B 解析　f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. ∴kAB＝＝2.3. 4.已知某产品供应量Q与时间t具有函数关系，则在以下四种供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是(　　) 答案　B 解析　单位时间的供应量逐步提高对应供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是下凹的. 5.已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于0，则曲线在点P处的切线方程为(　　) A.y＝－1 B.y＝1 C.x＝－1 D.x＝1 答案　B 解析　根据题意，可知曲线在点P处切线的斜率为0， 所以曲线在点P处的切线方程为y－1＝0(x＋1)，整理可得y＝1. 6.曲线y＝－在点处的切线方程是(　　) A.y＝x－2 B.y＝x－ C.y＝4x－4 D.y＝4x－2 答案　C 解析　因为Δy＝－， 所以， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，所以函数在点处的切线斜率k＝4， 所以切线方程为y＋2＝4， 即y＝4x－4. 7.(5分)过曲线y＝上两点A(1，1)和B(1＋Δx，1＋Δy)作割线，当Δx＝0.21时，割线AB的斜率为　　　　.  答案　 解析　kAB＝，所以当Δx＝0.21时，割线AB的斜率为. 8.(5分)当h无限趋近于0时，无限趋近于　　　　，无限趋近于　　　　.  答案　8　 解析　＝8＋h， 当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8. ， 当h无限趋近于0时，无限趋近于. 9.(10分)分别求曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率. 解　设P(x0，)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2)， 割线PQ的斜率kPQ＝＝2x0＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0， 故曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率分别为0，－4，6. 10.(12分)求曲线y＝x＋在点(2，3)处的切线方程. 解　∵Δy＝2＋Δx＋－3＝， ∴， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于， ∴曲线在点(2，3)处切线的斜率为， ∴切线方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0. 11.已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案　A 解析　k1＝＝4－1＝3， k2＝＝9－4＝5， k3＝＝16－9＝7， ∴k1<k2<k3. 12.若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a等于(　　) A.－1 B.1 C.－1或1 D.－或1 答案　A 解析　根据题意得＝2a2＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于2a2＝2， ∴a＝±1， 当a＝1时，y＝x2，切点是(1，1)， 切线的斜率k＝2， 故切线方程是y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0，此时与直线2x－y－1＝0重合， 故a＝－1. 13.若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为(　　) A.(2，2) B.(2，－2) C.(－2，2) D.(－2，－2) 答案　B 解析　设切点坐标为(x0，y0)， ＝＝Δx＋2x0－3， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0－3， 即k＝2x0－3＝1， 解得x0＝2，y0＝－3x0＝4－6＝－2. 故切点坐标为(2，－2). 14.(5分)在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为　　　　　　　　.  答案　3x－y－11＝0 解析　设切点为P(x0，y0)，曲线在点P处的切线斜率为k， ＝ ＝3＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx， 当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于3＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3. 所以k＝3(x0＋1)2＋3. 当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)， 其切线方程为3x－y－11＝0. 15.(5分)若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝　　　　.  答案　 解析　根据题意， ＝＝2ax＋aΔx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2ax， 设切点为(x0，y0)， 则2ax0＝1，且y0＝a＋1，y0＝x0，解得a＝. 16.(13分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(7分) (2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积.(6分) 解　(1) ＝2x＋1＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＋1， ∴直线l1的斜率k1＝3， ∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，＋x0－2)， 则直线l2的方程为 y－(＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0). ∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－. ∴直线l2的方程为y＝－x－， 即3x＋9y＋22＝0. (2)解方程组 得 又∵直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，， ∴所求三角形的面积为S＝××. 学科网（北京）股份有限公司 $