第3章 3.2.1 第1课时 双曲线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦双曲线的标准方程这一核心知识点，承接椭圆学习基础，通过拉链实验探究双曲线定义，类比椭圆方程推导过程得出焦点在x轴、y轴的标准方程，明确a,b,c关系，并结合炮弹爆炸点轨迹等实例实现知识应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以实验探究（如拉链画双曲线）引导学生用数学眼光观察曲线形成，通过类比椭圆推导方程培养数学思维，借助救援中心信号传播等问题强化数学语言表达。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后课时对点练及综合题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.2.1　双曲线的标准方程 第1课时　双曲线的标准方程 学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题. 导语 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实生活中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容. 一、双曲线的定义 问题1　(1)取一条拉链，拉开一部分； (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线. 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示　双曲线.曲线上的点满足条件：|MF1－MF2|＝常数，且常数小于F1F2. 知识梳理　双曲线定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 例1　已知A(0，－5)，B(0，5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，点P的轨迹分别为(　　) A.双曲线，一条直线 B.双曲线，两条直线 C.双曲线一支，一条直线 D.双曲线一支，一条射线 答案　D 解析　 当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10， ∴点P的轨迹是以B为端点的一条射线. 反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 跟踪训练1　已知点F1(0，－2)，F2(0，2)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是(　　) A.|PF1－PF2|＝5 B.|PF1－PF2|＝3 C.|PF1－PF2|＝4 D.PF1－PF2＝4 答案　B 二、双曲线的标准方程 问题2　类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(2c>2a).以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，设P(x，y)是双曲线上任意一点，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a， 即||＝2a， 化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2). 因为c2－a2>0，所以可设c2－a2＝b2(b>0)，得b2x2－a2y2＝a2b2.两边同除以a2b2，得＝1(a>0，b>0). 问题3　设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示　＝1(a>0，b>0). 知识梳理　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 例2　(课本例2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，b＝4，焦点在x轴上； (2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上. 解　(1)依题意a＝3，b＝4，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为＝1. (2)因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 由a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，可得 解得b2＝16. 因此，所求双曲线的标准方程为＝1. 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6). 解　(1)因为焦点在x轴上，且c＝， 所以设双曲线的标准方程为＝1，0<a2<6. 又因为过点(－5，2)，所以＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去). 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)方法一　由已知得c＝6，且焦点在y轴上. 因为点A(－5，6)在双曲线上， 所以2a＝ ＝13－5＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是＝1. 方法二　因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为＝1.由题意知 解得a2＝16，b2＝20. 所以所求双曲线的标准方程为＝1. 反思感悟　求双曲线的标准方程 利用定义求双曲线的标准方程时，应先确定焦点的位置，再确定a，b，c的值，即先定位，后定量.若焦点位置不确定，应分类讨论求解. 跟踪训练2　(1)若双曲线的一个焦点坐标为(－3，0)，且经过点(－5，4)，则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　因为双曲线的一个焦点坐标为(－3，0)，且经过点(－5，4)， 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 所以 解得 所以双曲线的标准方程为＝1. (2)若双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点在y 轴上，a＝2，且经过点A(2，－5)，则双曲线的标准方程为　　　　　　.  答案　＝1 解析　由a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，得解得所以所求双曲线的标准方程为＝1. 三、双曲线在生活中的应用 例3　(课本例3)已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s. (1)爆炸点在什么曲线上？ (2)求这条曲线的方程. 解　(1)设M为爆炸点，由题意得 MA－MB＝340×2＝680. 因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上(如图). (2)如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.设M(x，y)为曲线上任一点. 由MA－MB＝680，得2a＝680，即a＝340. 由AB＝800，得2c＝800，即c＝400， 所以b2＝c2－a2＝44 400. 因为MA－MB＝680>0，所以x>0. 因此，所求曲线的方程为 ＝1(x>0). 例3　神舟飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角. 解　如图所示， 以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则A(3，0)，B(－3，0)， C(－5，2). ∵PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)， ∴直线PD的方程为y－(x＋4)， ① 又PB－PA＝4<6＝AB， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3， ∴双曲线方程为＝1(x≥2)， ② 联立①②，得点P的坐标为(8，5)， ∴kPA＝，因此P在A的北偏东30°方向. 反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 跟踪训练3　如图，B地在A地的正东方向4 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　x2－＝1(x≥1) 解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，曲线PQ的轨迹为双曲线的右支. 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故曲线PQ的轨迹方程为x2－＝1(x≥1). 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程. (3)双曲线在生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 1.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线. 2.与椭圆＝1有相同焦点的双曲线方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.3y2－x2＝3 D.x2－3y2＝3 答案　D 解析　椭圆＝1的焦点坐标为(±2，0)，在x轴上，排除BC； 对于A，焦点坐标为(±4，0)，A错误； 对于D，双曲线方程可化为－y2＝1，则其焦点坐标为(±2，0)，D正确. 3.若方程＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　) A.(1，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－2，2) 答案　C 解析　由题意，方程可化为＝3， ∴解得m<－2. 4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 答案　B 解析　由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上， 则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知点P(x，y)的坐标满足＝±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 答案　B 解析　设A(1，0)，B(－1，0)， 由已知得|PA－PB|＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又AB＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 2.已知双曲线＝1(a>0)的一个焦点为(5，0)，则a的值为(　　) A.9 B.6 C.5 D.3 答案　D 解析　根据题意，双曲线＝1(a>0)的一个焦点为(5，0)，即c＝5， 则有a2＋16＝25，解得a＝3. 3.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线C的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　2a＝||＝4， 所以a＝2， 又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线C的标准方程为＝1. 4.已知双曲线＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 答案　A 解析　设F2是双曲线的右焦点， 连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线， ∴ON＝PF2， ∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6， ∴ON＝PF2＝7或3. 5.动圆与圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案　A 解析　圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2，设动圆的圆心为M，半径为r，由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2. ∴MO2－MO1＝1，又O1O2＝4， ∴动圆圆心M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 6.(多选)若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　) A.若1<t<5，则C为椭圆 B.若t<1，则C为双曲线 C.若C为双曲线，则焦距为4 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 答案　BD 解析　对于A，当t＝3时，表示圆，A错误；对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，表示双曲线，B正确；对于C，当t＝0时，表示双曲线，但焦距不为4，C错误；对于D，若C为焦点在y轴上的椭圆，则t－1>5－t>0，得3<t<5，D正确. 7.(5分)若双曲线以椭圆＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为　　　　　　.   答案　＝1 解析　椭圆＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝，所以椭圆的焦点为(±，0)，左、右顶点为(±4，0).于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4，0)，则a'＝，c'＝4，所以b'2＝9，所以双曲线的标准方程为＝1. 8.(5分)双曲线＝1的一个焦点到原点的距离为3，那么m＝　　　　.  答案　7或－2 解析　当焦点在x轴上时，m>5，a2＝m， b2＝m－5， 则c2＝a2＋b2＝m＋m－5＝9， ∴m＝7； 当焦点在y轴上时，m<0，a2＝5－m，b2＝－m， 则c2＝a2＋b2＝5－m＋(－m)＝9， ∴m＝－2. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4)；(5分) (2)a＝4，经过点A.(5分) 解　(1)∵双曲线的焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点(0，4)，则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为＝1. (2)当焦点在x轴上时， 设所求标准方程为＝1(b>0)， 把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意； 当焦点在y轴上时， 设所求标准方程为＝1(b>0)， 把点A的坐标代入，得b2＝9. 故所求双曲线的标准方程为＝1. 10.(11分)某地发生地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 解　矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近， 第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近， 依题意知，界线是第三类点的轨迹， 设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，∴MA－MB＝PB－PA＝50， ∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分， 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， ∵a＝25， 2c＝AB＝ ＝50， ∴c＝25，b2＝c2－a2＝3 750， 故双曲线的标准方程为＝1， 注意到点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为＝1(25≤x≤35，y≥0). 11.已知A，B是平面内两个定点，且AB＝4，则下列关于轨迹的说法中错误的是(　　) A.到A，B两点距离相等的点的轨迹是直线 B.到A，B两点距离之比等于2的点的轨迹是圆 C.到A，B两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆 D.到A，B两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 答案　D 解析　对于A，到A，B两点距离相等的点的轨迹是A，B连线的垂直平分线，A正确； 对于B，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(－2，0)，B(2，0)，设动点P(x，y)，由题意知＝2，即＝2 ，化简为＋y2＝，即此时点的轨迹为圆，B正确； 对于C，设动点P到A，B两点距离之和等于5 ，即PA＋PB＝5，由于5>4，故到A，B两点距离之和等于5的点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确； 对于D，设动点P到A，B两点距离之差等于3 ，即PA－PB＝3，由于3<4，故到A，B两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误. 12.已知双曲线＝1(m>0，n>0)和椭圆＝1有相同的焦点，则的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.9 答案　D 解析　椭圆＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1. 因为双曲线＝1(m>0，n>0)和椭圆＝1有相同的焦点， 所以m＋n＝1(m>0，n>0)， 所以(m＋n)＝5＋≥5＋2＝9. 当且仅当， 即m＝，n＝时取等号. 所以的最小值为9. 13.(多选)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)与x轴的两个交点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 答案　AB 解析　∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b＝2，得ab＝. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 则2πr＝，解得r＝， 又A1P＝c，4×cr＝2，∴c＝. 又∵c2＝a2＋b2＝3，得或 ∴双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1. 14.(5分)已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为　　　　　　　.  答案　x2－＝1 解析　由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M， 得MA＝MQ，又圆的半径为2， 所以|MC－MA|＝|MC－MQ|＝CQ＝2<AC＝6， 故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线， 所以2a＝2，2c＝6， 所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8. 又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1. 15.已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A.2 B.10 C.8 D.6 答案　B 解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R， 由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5. 因为＋8， 所以(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8， 所以R＝2， 所以·2c·R＝10. 16.(12分)如图，已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点.设以F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程. 解　设双曲线的标准方程为 ＝1(a>0，b>0)， Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2， 则y1＝±. 又·＝m， 即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝c， 所以||＝≥＝2， 当且仅当c＝4时取等号，此时||最小， 这时Q的坐标为(，)或(，－). 因为所以 于是所求双曲线的标准方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $