第4章 再练一课(范围：§4.1～4.3.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦数列核心概念与运算，通过分层题型系统呈现等差等比性质应用，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|3题（如第1题Sn求an）|Sn与an关系法、定义法|从数列定义到通项公式推导| |等差等比性质|5题（如第3题S9与a5）|中项性质、基本量计算|性质推导与公式应用结合| |综合与实际应用|4题（如第6题音乐文化、第14题座位问题）|数学建模、跨学科关联|从数学抽象到现实问题解决|

再练一课(范围：§4.1~4.3.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则a5等于(　　) A.26 B.19 C.11 D.9 答案　D 解析　方法一　依题意Sn＝n2＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 又a1＝1不符合该式， 所以an＝ 所以a5＝2×5－1＝9. 方法二　a5＝S5－S4 ＝(52＋1)－(42＋1)＝9. 2.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2(a2－a1)等于(　　) A.8 B.－8 C.±8 D. 答案　A 解析　设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则有1＋3d＝9，1·q4＝9，解得d＝，q2＝3， ∴b2＝1×q2×＝8. 3.已知等差数列的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16等于(　　) A.120 B.60 C.160 D.80 答案　A 解析　因为等差数列的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27， 所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝120. 4.设等差数列的前n项和为Sn，等差数列的前n项和为Tn，若.则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为，所以， 因为Sn是等差数列的前n项和，Tn是等差数列的前n项和， 所以S9＝＝9a5，T9＝＝9b5， 则. 5.已知正项数列满足－2－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列的前n项和为(　　) A.n B. C. D. 答案　C 解析　因为－2－an＋1an＝0， 所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0， 又an>0，所以＝2， 所以数列是等比数列， 所以an＋1＝a1·2n， 所以bn＝log2＝log22n＝n， 所以数列的前n项和Sn＝. 6.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得(　　) A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列 答案　C 解析　设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a， “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a， “商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a， 最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为a， 由于a，a，a成等比数列，所以“宫”“商”“角”的频率成等比数列，且公比为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　) A.－2 B.2 C.－8 D. 8 答案　BD 解析　由已知得 解得或故a＝2或a＝8. 8.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的公差为d，{bn}的公比为q，a1＝b1>0，下列结论正确的是(　　) A.若d>0，则{an}为递增数列 B.若q<0，则{bn}为递减数列 C.若q>1>d>0，则{anbn}为递增数列 D.若q>1>d>0，则为递增数列 答案　AC 解析　对于A，an＋1－an＝d>0， an＋1>an，则{an}为递增数列，A正确； 对于B，取q＝－1，此时等比数列{bn}为摆动数列，不具有单调性，B错误； 对于C，因为a1＝b1>0，当q>1时，等比数列{bn}为正项数列且递增， 当d>0时，等差数列{an}的各项均为正数，且递增，则an＋1bn＋1>anbn＋1>anbn， 所以{anbn}为递增数列，C正确； 对于D，取a1＝b1＝，q＝2，d＝，此时＝1，<1，显然不满足为递增数列，D错误. 9.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　) A.a5＝1 B.Sn的最小值为S3 C.S1＝S6 D.Sn存在最大值 答案　AC 解析　因为a1＋3a5＝S7， 所以a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋d， 将d＝1代入，解得a1＝－3. 对于选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确； 对于选项B，an＝－3＋n－1＝n－4， 因为a1＝－3<0，a3＝－1<0，a4＝0，a5＝1>0， 所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误； 对于选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4， 又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确； 对于选项D，因为a1＝－3<0，d＝1>0，所以Sn无最大值，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.设等差数列的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝　　　　.  答案　114 解析　∵是等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3， 又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114. 11.已知数列{an}满足a1＝1，点(n，an＋an＋1)在函数y＝kx＋1的图象上，其中k为常数，且a1，a2，a4成等比数列，则k＝　　　　.  答案　2 解析　因为点(n，an＋an＋1)在函数y＝kx＋1的图象上， 所以an＋an＋1＝kn＋1，所以an＋1＝kn＋1－an， 又a1＝1，所以a2＝k＋1－a1＝k，a3＝2k＋1－a2＝k＋1，a4＝3k＋1－a3＝2k， 因为a1，a2，a4成等比数列，所以k2＝1×2k，解得k＝2或k＝0(舍去). 12.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是　　　　.  答案　n2＋n 解析　由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n. 所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n. 四、解答题(共37分) 13.(12分)(1)在等差数列{an}中，若a3＝2 020，a5＝2 022，求a7；(5分) (2)已知{an}为递增的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝5，求{an}的通项公式.(7分) 解　(1)∵a3＝2 020，a5＝2 022， ∴公差d＝＝1， ∴a7＝a5＋2d＝2 022＋2×1＝2 024. (2)∵a3＝2， ∴a2＋a4＝＋a3q＝2＝5， 即2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2或q＝， 又{an}为递增的等比数列，a3＝2>0， ∴q＝2，a1＝，∴an＝2n－2. 14.(12分)如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位. (1)求第六排的座位数；(4分) (2)若同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？(8分) 解　(1)依题意，得每排的座位数构成等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝2， 所以第六排的座位数a6＝a1＋d＝19. (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人……这样，每排就坐的人数就构成等差数列，首项b1＝5，公差d'＝1，所以数列前10项和S10＝10b1＋×d'＝95. 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议. 15.(13分)已知正项等比数列中，a2a4＝64，a1＋a2＋a3＝56. (1)求数列的通项公式；(5分) (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn.(8分) 解　(1)设正项等比数列的公比为q(q>0). ∵a2a4＝64，a1＋a2＋a3＝56， ∴q4＝64，a1＋a1q＋a1q2＝56， 解得q＝(负值舍去)，a1＝32， ∴an＝32×＝26－n. (2)由(1)知an＝26－n， ∴bn＝ 当n≤6时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋…＋(6－n)＝； 当n≥7时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(n－6) ＝15＋. ∴Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $