4.3.1&4.3.2：等比数列的概念 等比数列的通项公式【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

4.3.1&4.3.2：等比数列的概念 等比数列的通项公式 【考点归纳】 考点一：等比数列中的基本运算 考点二：等比中项的应用 考点三：等比数列下标的性质及其应用 考点四：等比数列子数列的性质 考点五：等比数列正项数的对数成等差数列的应用 考点六：等比数列的函数特征 考点七：等比数列的证明 【知识梳理】 知识点01：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点03：等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点04：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点05：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．（24-25高二上·江苏镇江）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（    ） A．15 B．－15 C．－13 D．13 题型二：等比中项的应用 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 5．（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型三：等比数列下标的性质及其应用 7．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 8．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 9．（23-24高二上·江苏南京）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型四：等比数列子数列的性质 10．（23-24高二上·甘肃金昌）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的公比为，，则 . 12．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 题型五：等比数列正项数的对数成等差数列的应用 13．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 14．（21-22高三上·广东江门）设等比数列满足，则 . 15．（2019·湖北黄冈·一模）设等比数列满足，且，，则的最小值为 . 题型六：等比数列的函数特征 16．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 18．（2022·湖南长沙·二模）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 题型七：等比数列的证明 19．（23-24高二上·上海）已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 20．（22-23高一下·上海杨浦）已知数列满足：． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和． 21．（22-23高二下·江西萍乡·期中）在数列中，，. (1)证明：为等比数列. (2)设，若是递增数列，求的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 23．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．9 24．（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．36 B．54 C．64 D．108 26．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 27．（2023·四川雅安·一模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 28．（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 29．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）设等比数列满足，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 30．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 二、多选题 31．（22-23高二下·广东韶关·期中）设公比为的等比数列，若，则（    ） A． B．当时， C．和的等比中项为4 D． 32．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 33．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 34．（21-22高二上·海南·期末）在各项均为正数的等比数列中，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 35．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 三、填空题 36．（23-24高二·江苏）已知等差数列前项和，，，成等比数列，则数列的公差 . 37．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 38．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 39．（2023·陕西·模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ． 40．（2023·江西·一模）已知等比数列满足：，，则的值为 . 四、解答题 41．（23-24高二上·江苏）已知为等比数列. (1)若，求； (2)若，，求； (3)若，求的值. 42．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 43．（24-25高二上·江苏苏州）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列是等比数列，成等差数列，. (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 46．（22-23高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且 (1)求数列的通项公式; (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1&4.3.2：等比数列的概念 等比数列的通项公式 【考点归纳】 考点一：等比数列中的基本运算 考点二：等比中项的应用 考点三：等比数列下标的性质及其应用 考点四：等比数列子数列的性质 考点五：等比数列正项数的对数成等差数列的应用 考点六：等比数列的函数特征 考点七：等比数列的证明 【知识梳理】 知识点01：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点03：等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点04：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点05：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 则，因为， 所以， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（    ） A．15 B．－15 C．－13 D．13 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，， 因为，，成等比数列， 所以有，或舍去， ， 故选：C 题型二：等比中项的应用 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 5．（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由等比中项的性质计算即可. 【详解】与的等比中项，即48与12的等比中项， 则与的等比中项为． 故选：C． 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 题型三：等比数列下标的性质及其应用 7．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 8．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，求得，结合，，成等差数列，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为等比数列满足，可得，解得， 又因为，，成等差数列，可得， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 9．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出. 【详解】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 题型四：等比数列子数列的性质 10．（23-24高二上·甘肃金昌）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的公比为，，则 . 【答案】22 【分析】设，从而列出方程，求出答案. 【详解】设，则，， 由题意可得，即，所以. 故答案为：22 12．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 题型五：等比数列正项数的对数成等差数列的应用 13．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 【答案】1011 【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论. 【详解】数列、满足.其中是等差数列，， 为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列， ， . 故答案为：1011. 14．（21-22高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】因为等比数列满足，所以， 又，解得，故，，所以. 故答案为： 15．（2019·湖北黄冈·一模）设等比数列满足，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据题中条件列出关于和的方程组，解出这两个量，求出数列的通项公式，可得出关于的表达式，再利用二次函数的性质求出的最小值. 【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得， 解得，，则， 所以，， 因此，当或时，取得最小值，故答案为. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题，在求解等比数列时，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题. 题型六：等比数列的函数特征 16．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件. 故选：A 17．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项分析求出公比的范围，再逐项分析判断作答. 【详解】在等比数列中，由，，得，即有，， 若，则，，此时，与已知条件矛盾，因此，B正确，C错误； 显然数列是递减数列，由，得，则，A错误； 由于，当，，而，则，当时，，则， 因此当时，逐渐增大，当时，逐渐减小，所以的最大值为，D错误. 故选：B 18．（2022·湖南长沙·二模）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可 【详解】若，且，则， 所以， 反之，若，则， 所以，且或，且， 所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件. 故选：A 题型七：等比数列的证明 19．（23-24高二上·上海）已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证； （2）由题意可得，进而可得. 【详解】（1）已知递推公式，两边同时加上3， 得：， 因为， 所以， 又， 所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列. （2）由（1），则. 20．（22-23高一下·上海杨浦）已知数列满足：． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）将整理变形即可得为定值，利用等比数列定义即可得出证明； （2）由（1）中的结论利用等比数列即可求得，再由分组求和利用等比数列前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）由可得， 又，可得为定值， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，可得， 即数列的通项公式为 所以数列的前项和为 ． 即. 21．（22-23高二下·江西萍乡·期中）在数列中，，. (1)证明：为等比数列. (2)设，若是递增数列，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意构造等比数列即可证明； （2）根据（1）中条件得到通项公式，结合递增数列的定义求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 则是以1为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可得，，即. ，则， 故 ， 因为是递增数列，所以，即. 当为奇数时，，即， 由于，易知单调递减，所以； 当为偶数时，，即， 由于，易知单调递增，所以. 综上，的取值范围为. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 23．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】C 【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果. 【详解】∵，∴，∴ ∴ 故选：C 24．（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 25．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．36 B．54 C．64 D．108 【答案】B 【分析】由等比数列性质得，结合等差数列求和公式即可得解. 【详解】由题意，解得， 所以. 故选：B. 26．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解. 【详解】等比数列{an}的公比， 则． 故选：D． 27．（2023·四川雅安·一模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 28．（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先根据，得到递增，充分性成立，再推导出必要性成立. 【详解】因为各项为正数，且，所以，即， 所以为递增数列，充分性成立， 若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立. 故选：C 29．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）设等比数列满足，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【答案】D 【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案. 【详解】因为等比数列满足，， 所以， 从而， 故，则数列是单调递减数列， 当时，， 故. 故选：D. 30．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 二、多选题 31．（22-23高二下·广东韶关·期中）设公比为的等比数列，若，则（    ） A． B．当时， C．和的等比中项为4 D． 【答案】AB 【分析】ABC选项，根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D，可举出反例. 【详解】A选项，由等比数列性质可得，即，故A正确； B选项，当时，，所以，故B正确； C选项，因为，所以和的等比中项为4或-4，故C错误； D选项，当时，，故，D不正确. 故选：AB 32．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】ABD 【分析】由已知结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，公差， 则为非零常数，所以是等比数列，故A正确； 对于B，由题意，公比， 则为非零常数，所以是等比数列，故B正确； 对于C，当时，， 此时不是等比数列，故C错误； 对于D，由题意得，且 则为非零常数，所以是等比数列，故D正确. 故选：ABD. 33．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得出，，，数列为递增数列，有结合，进行判断即可得. 【详解】对A选项：，又，故，即，故A正确； 对B选项：，由，，故，故B正确； 对C选项：由，，故数列为递增数列，又，故， ，即，，即，故C错误； 对D选项：，故D正确. 故选：ABD. 34．（21-22高二上·海南·期末）在各项均为正数的等比数列中，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的通项公式，列出首项和公比的方程组，通过解方程组即可求出答案. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 所以或，即或， 所以解得或，所以选项C错误，选项D正确. 因为等比数列的各项均为正数， 所以，选项A正确； ，选项B正确； 故选：ABD. 35．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可. 【详解】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 36．（23-24高二·江苏·假期作业）已知等差数列前项和，，，成等比数列，则数列的公差 . 【答案】或 【分析】由，可求出，再由等比数列可建立关系式，求出. 【详解】由，可知，即， 又，，成等比数列， 所以， 即，解得或， 故答案为：或 37．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 38．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【答案】 【分析】等比数列中，，，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】 等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 39．（2023·陕西·模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，等比数列满足：， 所以，且， 所以， 当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 故答案为： 40．（2023·江西·一模）已知等比数列满足：，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用等比数列得性质得出，再将所求式子通分代入即可求得. 【详解】因为为等比数列，所以， 故答案为：10 四、解答题 41．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知为等比数列. (1)若，求； (2)若，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2)5 (3)10 【分析】（1）根据等比中项的性质即可求解； （2）结合等比中项的性质和完全平方公式即可求解； （3）结合等比中项的性质和对数的运算性质即可求解； 【详解】（1）在等比数列中，∵， ∴ ∴. （2）由等比中项的性质，化简条件得， ∵，∴． （3）由等比数列的性质知， 所以 . 42．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解； （2）求出，再并项求和即可. 【详解】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 43．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 【答案】(1) (2) (3)2025年 【分析】（1）由已知条件可得出与之间的关系； （2）分析可得出，即可证得等比数列，即可根据等比数列的通项求解； （3）解不等式，即可得结论． 【详解】（1）由题意可得． （2）， ， ，， 所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 故，即． （3）由（2）可知． 令，则, 由于,故， 所以预计2025年株洲轨道产业的年利润将首次突破干亿元大关． 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列是等比数列，成等差数列，. (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，可求得的值，继而利用成等差数列，求得，即可求解； （2）不等式化为，考查数列的单调性，求得最大值即可. 【详解】（1）设数列的公比为，， 因为， 化为， 解得或者（舍）， 又因为成等差数列， 所以， 即， 所以， 故. （2）不等式化为， ， 设， 则 所以单调递减， 故当时，最大，且最大值为， 又不等式恒成立， 故实数的取值范围为. 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）设出等差数列的公差，由基本量表示出来，求解即可得证； （2）由（1）知，所以，将转化为，从而可知无正整数解. 【详解】（1）证明：设数列的公差为， 则， 解得，所以原命题得证. （2）由（1）知，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以是偶数， 所以无正整数解，故集合中的元素个数为0. 46．（22-23高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且 (1)求数列的通项公式; (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，根据得到，变换，确定是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案. （2）确定，代入式子变换得到，换元，根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】（1），则，故， 当时，，， 两式相减得到，即，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， ，故， 时满足，故. （2），， ，即， 设，且，， 在上单调递增，故函数在上单调递增， 当趋近时，趋近，故，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$