第4章 再练一课(范围：§4.1～§4.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦数列核心素养，通过等差等比性质应用、递推关系转化等方法，系统构建从定义到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-2、多选7-8|中项性质、前n项和性质直接应用|定义→性质→简单计算，培养推理能力| |前n项和问题|单选3、填空11|二次函数求最值、奇偶项和差求公差|公式推导→函数思想，发展运算能力| |递推数列|单选6、填空12、解答15|构造新数列（an+n）转化等比|递推关系→模型构建，提升创新意识| |综合应用|单选4、多选9、解答13-14|方程思想、跨知识整合|性质与函数、方程结合，强化应用意识|

再练一课(范围：§4.1~§4.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在等比数列中，a4＝24，a6＝6，则a5等于(　　) A.12 B.－12 C.±12 D.15 答案　C 解析　由等比数列，可知＝a4·a6＝24×6＝144，解得a5＝±12. 2.在等差数列中，若a3＋a8＋a13＝9，a2＋a9＋a14＝18，则a8和a9的等比中项为(　　) A.－6 B.6 C.±6 D.36 答案　C 解析　根据等差数列的性质， 可得9＝a3＋a8＋a13＝3a8，即a8＝3， 所以18＝a2＋a9＋a14＝a9＋2a8，即a9＝12， 所以a8和a9的等比中项为±6. 3.已知等差数列的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－，Sn取得最大值时n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　∵a1＝10，d＝－， ∴Sn＝10n＋×＝－n2＋n， 可得对称轴为n＝，开口向下， ∵n∈N*，∴当n＝3时，Sn取得最大值. 4.已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，且a7，6a6，a8成等差数列，则等于(　　) A.10 B.15 C.18 D.20 答案　A 解析　因为等比数列{an}是递增数列，所以其公比q>0， 又a7，6a6，a8成等差数列，所以12a6＝a7＋a8，则12＝q＋q2， 解得q＝3或q＝－4(舍去). 因此＝1＋q2＝10. 5.已知数列，都是等差数列，记Sn，Tn分别为，的前n项和，且，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由， ＝. 6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用an表示解下n个圆环所需移动的最少次数，若a1＝1，且an＝则解下6个圆环所需移动的次数最少为(　　) A.13 B.16 C.31 D.64 答案　C 解析　∵a1＝1，an＝ ∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7， a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31， ∴解下6个圆环所需移动的次数最少为31. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知数列的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若Sn＝n2－1，则是等差数列 B.若Sn＝2n－1，则是等比数列 C.若是等差数列，则S99＝99a50 D.若是等比数列，且a1>0，q>0，则S2n－1·S2n＋1> 答案　BC 解析　对于A选项，若Sn＝n2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝0不满足该式，故A错误； 对于B选项，若Sn＝2n－1，则an＝由于a1＝1满足an＝2n－1，所以是等比数列，故B正确； 对于C选项，若是等差数列，则S99＝＝99a50，故C正确； 对于D选项，当n＝1时，S1·S3－＝－q<0， 所以当n＝1时，不等式不成立，故D错误. 8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得钱数的和与丙、丁、戊三人所得钱数的和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).关于这个问题，下列说法正确的是(　　) A.甲得钱是戊得钱的2倍 B.乙得钱比丁得钱多钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 答案　AC 解析　依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5， ∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×，a－d＝1－，a＋d＝1＋，a＋2d＝1＋2×， ∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱. 对于选项A，甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确； 对于选项B，乙得钱比丁得钱多(钱)，故B错误； 对于选项C，甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确； 对于选项D，丁、戊得钱的和比甲得钱多(钱)，故D错误. 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12<0，a6>0，则下列说法正确的是(　　) A.a7<0 B.数列是递减数列 C.Sn>0时，n的最大值为11 D.数列中的最小项为第7项 答案　ACD 解析　S12＝＝6(a6＋a7)<0， ∴a6＋a7<0， 又∵a6>0，∴a7<0，A正确； 由A的分析可知，等差数列{an}为递减数列，当1≤n≤6时，an>0， 故数列的前6项为递增数列，B错误； S11＝＝11a6>0， 又S12<0，故C正确； 当1≤n≤11时，Sn>0， 当n≥12时，Sn<0， ∴当1≤n≤6或n≥12时，>0， 当7≤n≤11时，<0，an<0且递减，Sn为正数且递减， 则从第7项至第11项为递增数列， ∴最小，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝　　　　.  答案　50 解析　根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12， 所以a10a11＝e5. 则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1a2…a20) ＝ln(a10a11)10＝10ln e5＝50. 11.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则公差d＝　　　.  答案　5 解析　设偶数项和为32k，则奇数项和为27k， 由32k＋27k＝59k＝354，可得k＝6， 故公差d＝＝5. 12.已知在数列{an}中，a1＝2，2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　. 答案　an＝ 解析　若an＝0时，解得an＋1＝0，不满足a1＝2，所以an≠0，同理an＋1≠0，由2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0，可得＝2，当n＝1时，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，＋2(n－1)＝2n－，所以an＝. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知Sn为等差数列的前n项和，a7＝1，S4＝－32. (1)求数列的通项公式；(6分) (2)求Sn的最小值.(6分) 解　(1)∵a7＝1，S4＝－32， ∴解得 ∴数列的通项公式为an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13. (2)Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36. ∴当n＝6时，Sn取得最小值－36. 14.(12分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1<a8. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)数列{an}中是否存在相邻三项成等比数列，若存在，求出这三项，若不存在，请说明理由.(8分) 解　(1)由已知得17＝a3＋a6＝a1＋a8， 又a1a8＝－38，a1<a8， ∴a1＝－2，a8＝19， ∴数列{an}的公差d＝＝3， ∴an＝－2＋3(n－1)＝3n－5. (2)假设{an}中存在相邻三项成等比数列，设这三项为x－3，x，x＋3， 则x2＝(x－3)(x＋3)， 此方程无解，∴假设不成立，不存在相邻三项成等比数列. 15.(13分)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2(n≥2，且n∈N*). (1)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{an}的前n项和Sn.(7分) 解　(1)由an＝2an－1＋n－2，则an＋n＝2(an－1＋n－1)且n≥2，又a1＋1＝4≠0， 则＝2， 所以数列{an＋n}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＋n＝4·2n－1＝2n＋1， 所以an＝2n＋1－n. (2)由(1)知Sn＝22－1＋23－2＋…＋2n＋1－n＝＝2n＋2－－4. 学科网（北京）股份有限公司 $