第4章 再练一课(范围：§4.1～4.2.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦数列与等差数列核心知识，通过基础概念辨析、性质应用及实际情境题，系统覆盖定义理解、通项公式、公差计算等，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列基本概念|单选1-3、多选7|项数判断、通项公式应用、数列类型辨析|从数列定义出发，通过通项公式建立项与项数关系，结合递推关系判断单调性与周期性| |等差数列性质|单选4-6、多选9、填空11、解答13-14|公差计算、中项性质、实际应用（节气影长）|以等差数列定义为基础，推导公差与中项关系，结合方程思想解决基本量计算，关联生活情境体现模型意识| |数列综合应用|多选8、填空10、12、解答15|周期数列、公共项、分形几何规律、新定义（差递减数列）|综合数列周期性、递推关系及创新定义，通过归纳推理（分形规律）与代数论证（新定义判断）提升数学思维与表达能力|

再练一课(范围：§4.1~4.2.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　) A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 答案　D 解析　由＝3，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23 . 2.已知数列的通项公式是an＝则a2·a3等于(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 答案　C 解析　因为an＝ 所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10， 所以a2·a3＝20. 3.在数列中，a1＝1，an＋an＋1＝3，则数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案　C 解析　因为a1＝1，所以a2＝2，又an＋an＋1＝3，所以an＋1＋an＋2＝3，两式相减得an＋2－an＝0，故当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时，an＝2，所以数列是摆动数列. 4.已知数列是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d等于(　　) A.0 B.2 C.－1 D.－2 答案　D 解析　数列是等差数列，设公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2，解得d＝－2. 5.已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　) A.12 B.24 C.16 D.32 答案　A 解析　令bn＝，由题意可知b3＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝， 则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12. 6.某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究，并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表， 表中旗杆影长为19 m是在　　　　节气日中同一固定时刻测得的(注：据《周髀算经》记载这十二节气日的影长依次构成等差数列)(　　)  A.谷雨 B.立夏 C.小满 D.芒种 答案　B 解析　用an表示这十二个节气日中的影长，则a1＝24，a4＝22，且是等差数列， 所以公差d＝＝－，an＝24－(n－1)， 由an＝24－(n－1)＝，解得n＝10， 第10个节气是立夏. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列四个命题中，正确的有(　　) A.数列的第k项为1＋ B.已知数列的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项 C.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D.数列的通项公式为an＝，n∈N*，则数列是递增数列 答案　ABD 解析　对于A，数列的第k项为1＋，A正确； 对于B，令n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确； 对于C，将数列3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为bn＝2n，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1，C错误； 对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝>0， 因此数列是递增数列，D正确. 8.若数列满足：对任意正整数n，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有(　　) A.an＝3n B.an＝n2＋1 C.an＝ D.an＝ln 答案　CD 解析　对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以不为递减数列，故A错误； 对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以为递增数列，故B错误； 对于C，若an＝，则an＋1－an＝，所以为递减数列，故C正确； 对于D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln， 由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以数列为递减数列，故D正确. 9.已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则(　　) A.数列{an}的公差为－ B.an＝－n＋ C.数列{a1an}是公差为－1的等差数列 D.a1a7＋a4＝－1 答案　ABC 解析　由题意知，a2＋a4＝2a3＝2. 又a2a4＝，数列{an}为递减数列， ∴a4＝，a2＝. ∴公差d＝＝－，故A正确； 又a1＝a2－d＝2， ∴an＝2＋(n－1)×＝－n＋，故B正确； 由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1 ＝2(an－an－1)＝2×＝－1， 当n＝1时，＝4， ∴数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确； ∵a1an＝4－(n－1)＝5－n， ∴a1a7＋a4＝5－7＋＝－，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知在数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N*)，则a2 025＝　　　　.  答案　2 解析　∵a2＝－＝－，a3＝－＝2＝a1，a4＝－＝a2，∴{an}的周期为2，∴a2 025＝a1＝2. 11.数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝6n＋3，它们的公共项由小到大排成的数列是{cn}，则{cn}的通项公式为　　　　　.  答案　cn＝12n＋3 解析　由an＝4n－1，bn＝6n＋3，知数列{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为4，6， 因此数列{cn}也为等差数列，且公差为12，由a4＝b2＝15，故c1＝15，所以cn＝12n＋3. 12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是　　　. 答案　144 解析　由题意及图形知，不妨构造数列表示第n行实心圆点的个数的变换规律， 其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点. 故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和. 即a1＝0，a2＝1，且当n≥3时，an＝an－1＋an－2， 故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知四个数构成等差数列，前三个数的和为15，第一个数与第四个数的乘积为27，求这四个数. 解　设构成等差数列的这四个数分别为a－d，a，a＋d，a＋2d. 由题意可得 解得或 所以这四个数分别是3，5，7，9或，5，，6. 14.(12分)首项为a1，公差为d的等差数列满足下列两个条件： ①a3＋a5＋a7＝93； ②满足an>100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值. 解　∵a3＋a5＋a7＝93， ∴3a5＝93， ∴a5＝31， ∵an>100，即an＝a5＋(n－5)d>100， ∴n>＋5， ∵满足an>100的n的最小值是15， ∴14≤＋5<15， ∴<d≤， 又d∈N*， ∴d＝7， ∴a1＝a5－4d＝3. 15.(13分)已知数列{an}是等差数列，公差为d，cn＝(n∈N*). (1)判断数列{cn}是否为等差数列，并说明理由；(6分) (2)如果a1＋a3＋…＋a25＝130，a2＋a4＋…＋a26＝117，试求数列{an}的公差d及通项公式.(7分) 解　(1)数列{cn}是等差数列，理由如下： cn＋1－cn＝()－() ＝(an＋1＋an＋2)(an＋1－an＋2)－(an＋an＋1)(an－an＋1) ＝(an＋1＋an＋2)(－d)－(an＋an＋1)(－d) ＝－d(an＋2－an) ＝－d×2d ＝－2d2， 所以数列{cn}是以－2d2为公差的等差数列. (2)因为a1＋a3＋…＋a25＝130， a2＋a4＋…＋a26＝117， 两式相减得13d＝－13， 解得d＝－1， 因为a1＋a3＋…＋a25＝130，所以13a13＝130， 所以a13＝10＝a1＋12d＝a1－12， 解得a1＝22， 所以an＝22＋(n－1)×(－1)＝23－n. 学科网（北京）股份有限公司 $