专项突破10 数列求和-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

©专项突破10 数列求和 题组一公式法 1.(2025·山东滨州高三期末)已知两个等差 数列{an},{bn}的首项分别为1和2，且 a1o+b1o=30,则数列{an+b.}的前20项的 和为 （) A.165B.630C.60 D.330 2.(2025·江苏南京外国语学校高二月考)已 知数列{an}是以2为首项，1为公差的等 差数列，{b.}是以1为首项，2为公比的等 比数列，则ab,+ab,十+ab。= () A.1033B.2057C.1034D.2058 题组三倒序相加法 3.(2025·江苏扬州高二月考)“数学王子” 高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研 究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非 欧几何、复变函数和微分几何等方面都作 出了开创性的贡献.我们高中阶段也会学 习到很多高斯的数学理论，比如高斯函数、 倒序相加法、最小二乘法等等.已知某数列 2n-51 的通项a,=2n-52n≠26， 则a1+a2+…+ 1,n=26, a51= ( A.48 B.49 C.50 D.51 4.(2025·福建漳州高二期中)对于任意给定 的一个正整数n,将分母小于或等于n的既 约（最简）真分数按照自左至右递增排列， 并在第一-个分数之前加上9，在最后-个 分数之后加上，该数列称为n阶F数列， 记为{Fn},其项数记为a,各项的和记为 Sn如下，给出{F},{F2},{F3},{Fa},在 15中，有=58号 26黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 题课堂 01 F11 011 F2121 01121 F13231 0111231 F4i,432'341 已知a9=3005,则ag= S10= 题组目裂项相消法 5.(2025·浙江金华高二月考)已知数列{an} 满足a1=1,a。-a1=2aan1,则数列 {aaa1}的前n项和Sn为 A.C.nti n+1 ”n+1 6. (2025·江苏苏州高二月考)已知数列{a.} 满足2-a1+2-2a2+…+2a-1+an=3·2” n-3,若cn= 1三，则数列c,}的前n √Jan+√a.+l 项和Tn= 7. (2025·江苏镇江高二期中)已知数列{a. 的前n项和为Sn,且满足2Sn=3(an-1). (1)求数列{an}的通项公式； 2n+1 (2)已知bn= 4n ·a,求数列{b.}的最大 项，以及取得最大项时n的值； (3)已知c,=二2n·4,求数列1c.的前 n(n+1) n项和Tn 题组四错位相减法 8.(2025·江苏南通高二月考)已知数列{a.} 满足a1=1,a+1=2an+1,数列1bn}的前n项 和S满足4Sn=(2n+1)bn+1. (1)求{an},{bn}的通项公式； (2)设cn=(an+1)·（bn+2),求数列{cn} 的前n项和T. 9.(2025·江苏苏州高二期中)设数列{a.}的 前n项和为Sn,若对任意的n∈N·,都有 S2n=kSn(k为常数)，则称数列{a}为“和 等比数列”，其中k为和公比.已知{bn}是 首项为1，公差不为0的等差数列，且{b} 是“和等比数列”，设cn=。 ,数列，的前 n项和为T (1)求数列{bn}的和公比： （2)若不等式T2>(-1)"m-2对任意 的n∈N·成立，求实数m的取值范围. 题组五分组（并项）求和法 10.(2025·江苏连云港高二期中)已知数列 {an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2, aa1+an=3n,则 () A.S19=300 B.n为奇数时，S= 3n2+1 4 C.S31=720 D.a4=6 1.(2025·福建漳州高二月考)已知等差数 列{an}中，a3+a5=a4+7,a1o=19,则数列 {a Cos nT}的前2025项和为 () A.1013 B.1012 C.2025 D.-2025 2 (2025·福建龙岩高二月考)已知数列 a,}满足：a1+a2=0,a2+(-1)an=2, 则数列{a,}的前100项的和为（) A.50B.98 C.100D.102 3.在各项均为正数的等差数列{an}中，a3= 13,a1,a2-2,a5成等比数列，保持数列 {an}中各项先后顺序不变，在a与a (k=1,2,…)之间插入2个3，使它们和 原数列的项构成一个新的数列{b,},记 {bn}的前n项和为Tn,则To= 4.(2025·江苏南通高二期中)记等差数列 {an}的前n项和为Sn,公差为d(d1≠0). (1)证明：Sn是关于n的不含常数项的二 次函数 (2)等差数列{b。}的公差为d2,且 S=a b ①求{b}的通项公式 an,n为奇数 ②记cn= 数列{cn}的 bn,n为偶数， 前n项和为Tn,是否存在d1∈Z,k∈ N,使得=9若存在，求46 若不存在，请说明理由。 进阶突破·专项练27(22-3)(21-3≥1，所以22-3>0,21-3>0,21>0，所以 -21 a1a,<0,所以{a,为递减数列，故C错误 上=21-3，则7，=(2+2+++2)-3n=422 1-2 3n=2+2-3n-4,故D正确。 故选ABD 16.5040 解折：由a=（a后N),则。。1，即 dotaetl de+l antoel 222+1.又41宁则2放数列 1 +2 Un+l+l a1 {。是以2为首项，1为公差的等差数列，即。二=2+(a一)心 a+1 1,则有二=n, a- ,=2,且n≥3，故=“××…× =-1 二号=76…2=500，所以s500故答案为500 4 17.2刀解桥：由a1=3a,+4,得a1+2=3(a,+2),又a+2=1+2 3,故数列a,+2是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an+2= 3x3=3”,则不等式(a,+2)≥3n-5可化为台3n3 3 令a)=气aeN).当=1时o0,当≥2时>0， 又fn+1)m)=3n23n--1”则当n=2时3)>2). 3+13 当时+e).质以a)53):言则行 分即实数：的最小值为宁故答案为分 18.C解析：因为Sn=n2a.,所以S-1=(n-1)2a-1(n≥2)，两式相减 舞（所之号≥2，所以品 Ga-1 音货时2所以 da-2 a2 a1 n+l n 2 a,2,、《n会2)，所以a.=400、《n≥2)，所以42m41012 故选C. 19.B解析：45。=(an+1)2,当n2时，an■S.-51= 子(a,1)2-(a-1+12,整理得-2-2(a,+a)0,即 (a,ta-1)(a.an-1-2)=0. y{a的各项均为正数，a,-a1=2(n≥2). 由4a1=(a1+1)2得a1=L,“数列{a.1是首项为1，公差为2的等 差数列a=1+2(n-1)=2n-1,S=n(aa）.n(1+2- 2 2 n2202a+10-25a*1）2-2a1)6n+6-L 4n+32n-1+3n+1 n+1 a+1 ◆6at1.则66=1t1-(+小 00t,当a=1时.46=0，当n32时，5w1-6>0】 六(c)m=C1=62=3故选B. 20.6解析：，S。=2(an+1),.当n=1时，S1=2(a1+1),,a1=-2.当 n≥2时，a,=Sn-5-1=2a,-2a-1六a.=2a。-1,放数列a,}是首项 为-2，公比为2的等比数列，a.=-2°，又S。=2(a.+1)=-126, .0。=-64,-25=-64,∴.n=6 21.√n-√-解析：因为Sn为数列la,}的前n项和，VneN',an> 0,a2+1=2anSn, 当n=1时，a+1=2a1S1=2ai,即a-1=0,又a1>0,得a1=1. 当n≥2时，由a7+1=2aS。,得(S。-Smi)2+1=2(S。-Sw1)S, 参考答案 得S2-S1=1. 则数列1S2|是首项为1，公差为1的等差数列，所以S=1+(n一 1)=n,naN,a>0,则Sn>0,则Sn=n 当n≥2时，4，=S。-S-1=万-n-可，又a1=1满足a。=斤- √-I,放neN',a,=n-m-I. 22.解：(1)当n=1时，(a1+1)(a2+1)=A(a1+1),而a1=1,解得a2= A-1,当n=2时，(a2+1)(a3+1)=A(a1+a2+2),解得a3=A+1, 由数列1a}为等差数列，得2a2=a1+a3,则2(A-1)=1+入+1，解得 A=4,则2=3，a:=5,公差为2，所以a。=2n-1. (2)当A=3时，(a。+1)(aa+1+1)=3(S.+n),(a1+1)(a2+1)= 3(51+m+1),两式相减得(a1+1)(aa2-an)=3(a1+1),而 a1+1>0,则a2-a,=3, 当m=1时，(a1+1)(a2+1)=3(a1+1),解得a2=2, 因此数列{@，的奇数项是首项为1，公差为3的等差数列，a2x1= 1+3(n-1)=3m-2, 偶数项是首项为2，公差为3的等差数列，a2=2+3(n-1)=3n-1, 2n为奇数， 3n- 所以数列{a。的通项公式是an= 1n为偶数： 当n为偶数时，Sn=(a,+a++@-)+(+a4+…+a。)=(a+ *(aa)*+(aa)=3+·受（货1小6 当n为奇数时，=a1子(a+12-[-1] 3n2+1 4" f3n2+1 ,m为奇数 4 所以S。= 2，n为偶数 3 专项突破10数列求和 1.B解析：设等差数列{a.l,{b.1的公差分别为d1,d2,由ao+bo= 30,a1=1,b1=2,得a1+941+b1+941=30,解得d1+d2=3,所以a2如+ b0=a1+19d1+b1+19d2=a,+b,+19(d1+d2)=60,所以{an+b, 20 前20项和为Sn=)(a1+a0)+2(61+bm)=10(a1+b1+0知+60)= 630.故选B. 2.A解析：由数列1a.是以2为首项，1为公差的等差数列，得 an=2+(n-1)×1=n+1, 由{bn{是以1为首项，2为公比的等比数列，得b.=1×2-1=2-,因 此46，=21+1， -1-20 所以a,,*…+ao=-210=103.故选L 3.D解析：当n≠26时，a,2n-522n-52 2n-512n-52+1 =1*2m-26a,+ 1 1 a.1*2(n-261+2(52-n-262 令S=a1+a2+*a1,则S=a51+a0+…+a1,.25=(a1+a1）+(a2+ a9)++(a1+a1)=2×51,.S=51,即a1+a2++as1=51.放选D. 4.233045 2 解桥：分母为6的既约真分数有6。共2个) 分为7的展的底分数有宁号号，号名9共6个 分号为8的的真分数有日专合了共4个 由题意得a5=11,所以a=11+2+6+4=23, 与100互质的数是不含有因数2和5的数，即个位是1,3,7,9的数 都与100互质，所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既 约真分数有40个，又a=3005,所以41m=3045, 黑白题137 由题意可知阶F数列，每一阶最中间的数都为子，且关于子对称 的两数之和为1，所以利用倒序相加法可得251m=3045,所以 Si =3045 2 故答案为23,399 5.A解析：根据1=1，a。-a1=2aa1可知an≠0，因此可得 8人十=2，即数列日}是以。1为首项，公差为2的 dndmel Gal Gn 等差数列，所以=1+2(a-1)=2n-1,即a,“2n因此a,81 点动（品）可知数列1的前项 11111 2n-1 )(2)小故选A 6.√+2-2解析：当n=1时，41=3·24-1-3=2，即41=2， 2-a1+2-2a2++2a-1+an=3·2"-n-3①， 当n≥2时，2241+23a2+…+a1=3·2-l-n+1-3②， ①-2×②得an=3·2"-n-3-3·2"+2n+4=n+1,所以an=n+1. 当n=1时，a1=2满足a,=m+1, 综上，a=+1 1 1 C= =√n+2-m+I √a。+√ntt VntI+vntz Tn=G1+02++c,=3-2+4-3+…+m+2-m+1=m+2-2 故答案为√n+2-√互. 7.解：(1)数列1a1中，2S。=3(a。-1), 当n≥2时，2S-1=3(a1-1),两式相减得2an=3an-3a-1,即 a,=3a1, 由2a1=2S1=3(a1-1),得a1=3 因此数列|a,}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以数列{a, 的通项公式4。=3·31=3” (2)由(1)知，&2a0a.=(2+1)·(任）广，则6-或=(2+ 40 (）”-2w·(）广=(+）小（八 当n≤2时，b1-b.>0,即b3>b2>b1,当n≥3时，b1-b<0,即b3> b4>b5>…,所以{b.中最大项是b3,所以当n=3时，63=7× (2广 (3)由(1)知，c= 1-2n n(n+1) ·3"=31 n+1-3=31 3n(n+1) 3n 1）33+1 n+1 3-333-3 31】 n+1 n+1 8.解：(1)由at=2an+1有a1+1=2(a。+1),所以数列1a,+1川是 以2为公比，首项为a1+1=2的等比数列，所以4.+1=2×21=2°， 即an■2°-1. 因为4S.■(2n+1)b.+1, 当n=1时，4S,=(2x1+1)b1+1,解得b1=1. 当n≥2时，由4S。=(2n+1)b.+1有45.1=(2n-1)b-1+1,所以两式 相减得h,=(2+1)6,-(2-16-1,即2号 6。_2n-1 所哈器等子中1收a烈 a.=2"-1,bn=2n-1. (2)由(1)知，c.=(an+1)·(b.+2)=2”·(2n+1)→c,=(2n+1)2" 所以T.=3×2+5×22+7×23++(2n+1)2”①. 选择性必修第一册·SJ 2T=3x22+5x22+7×2++(2n+1)21②， 由0①-②得-7.=642(2+2+…+2”)-(2n+1)21=624-2 1-2 (2m+1)21=-2+(1-2n)21,所以T.=(2n-1)·21+2. 9。解：(1)设等差数列{6.1的公差为d,前n项和为A。,则A,=b1+ 受(-号)所以2(2n 2 因为6，是和等比数列所以A=4,即2m2+(2-d)A=2 2d-d (-兰)，对任意的aeN都成立，所以 kd 解得 2-d=k 2 〔体=4所以b,的和公比为4 ld=2, (2)可知b,=1+2(a-)=2n-l,则，2 1.23 所以7，“222 2① 1.2,3 ①-②得37 111 1 n (] 722+…22 号所烈不-号 83n+4 设R=号号 10,3n+7,10x3n+4.5(n+D>0. 922*1922 4 3n+4 不等式7.2>(-1)”m-2对任意的neN”恒成立，即不等式 P.>(-1)“m-2对任意的n∈N恒成立 当n为奇数时，-m-2<(P)n=P,=-3,则m>1; 当m为偶数时，m-2<(P.)m=P,= 则号 3 综上，m的取值范周是(，子）厂 10.B解析：由a1+a.=3n,则a2+a1=3(n+1),两式作差，得 a+2-0,=3, a1=1,当n为奇数时，1a是首项为1，公差为3的等差数列，即 2=2,当n为偶数时，1a.是首项为2，公差为3的等差数列，即 a,=2n-l, 对于w=×10-号84m=2x18-126= …ta)+(a,+a4++an)=10x1+28】,9x(2*20=271,故 2 2 A错误； 对于B,用为奇数时：2+22)， 2 。(n+1)x(3n+L+(n-1)x(3n-1)= 2 8 8 ,放B正确 对于Ca-3-子=46，=号×30-14.所以5=(a4 4+…+a1)+(aa,+…ta0)=16x+46,15x(2+44=721,故 2 2 黑白题138 C错误： 对于D,a,=a2+3=5,故D错误 故选B. 1.D解析：设数列1a,}的公差为山，则2a1+6d=+3+7,解得 (a1+9d=19, a=1所以a,=2n-1 ld=2, 设bn=4nc0snm,所以b1+b42=41c0sT+a2c0s2知=2，b3+b4= a3c0s3Tπ+auc0s4π=2，…， 所以数列dacosn的前2025项和为(b+b2）+(b,+b4)++ (62m+62m4)+62m=2×1012+(2×2025-1)e0%2025m=-2025. 故选D. 12.C解析：由2+(-1)空a,=2 当n=4-3时，0=(k-3)(2-1)为奇数，放01=2①， 2 当-2时，=(-(-0为奇数故au42@, 当=-1时，-(-)·2张为属数放au012国， 当n=4站时，nn少=2k(4钻+1)为偶数，故a2+0=2④， 2 由③-①，④-②得a1+a-3=0,aa2+a-2=0,所以(aa1+ a2)+(aw-ta4-z)=0, 又a1+a2=0,所以a5+a6=ay+a1o=…=a7+ag%=0,即a4w-3+a4h-a= 0,故a4+1+a4+2=0, 由③+④得a1+ah-1+a+2tau=4,又a+1+a4+2=0,所以a4-1+ a#=4, 从面a-3+a-2=0,a仙-1+0=4(k后N),所以对任意的k后N” 4灿-3+0-2ta-1+a4=4,所以数列{an1的前100项的和为4×25= 100.故选C. 13.348解析：设公差为d>0,由题意得(a-2)2=a1a5,即 (13-d-2)2=(13-2d)(13+2d),解得5d2-22d-48=0.解得d=6 或号（含去），故a1=-2d=13-12=1,a=1+6(a-)=6m-5, 则61=1，b2=63=3,b4=a2=7,b5=b6=6,=6g=3,bg=a3=13,b1o= b1=u=bn=3,b1g=a4=19,b9=bm=…=b4=3,b3s=ay=25, b6=b7=…=b67=3,bs=86=31,bw=b0=…=b0=3,故T%=1+ 3×2+7+3×4+13+3×8+19+3×16+25+3×32+31+3×22=348.故答案 为348. 14.(1)证明：因为等差数列{a,}的公差为d(d1≠0)，由题意可 得及则“少兰（受）期三次现系数号0， 且常数项为0，所以S,是关于n的不含常数项的二次函数 (2)解，①由题意可知8=a,6,即受2+(a-兰)h=a+ d1(n-1)][b+d(n-1)]=d1dn2+[4(a1-d）+d(b1-d)]n+ (ds=dida (a1-d)(b1-d2),可得{d1 解得 02d4(a-d)+d(6-4) (a1-d)(b1-d)=0, 1 d22' 4,=0,或b6,=l, 1 b12 a1画di, d2 1,1 若和=0.则6=2+2a-1)=2ad(a-1): b12 参考答案 1 d2 若6-期6=1-=空。 2,4,=nd1, a,=d, 综上所述山受或6，出 ∫a,n为奇数， ②因为，{b.,n为偶数， n 当6,2a,=d(n-l)时，若4eZ,则ceZ,则7，eZ,不合 题意： 当么空ad时。 若k为偶数，则T=(a1+a3++k1)+(b2+b++b)=d,(1+3+ （3+生）-4+4 …+k-10+22 +24 81 因为k为偶数，则k=4n+2或k=4n+4,neN°， 若4aeN测号e2,e2,即e2,不合题意 8 若k=4n+2,则T 4(2n+1)24,22n+1)(4n+6)=(2m+1)2d+ 4 8 2a2a.”整理可得（(21+号2可 3132 2 知2n+1=1或13或169，代人检验可得仅n=0,d,=83,k=2成立. 若k为奇数，则T=(@1++…+a)+(62+b,+…+b-1)=d1(1+3+ …+)+(3+5+…0 (k+1)24(k-1)(k+3) 4 8 因为k为奇数，则k=4m+3或k=4m+1,m∈N·, 若k=4m+1,m∈N”,则∈Z,。32∈Z.即T∈ 8 Z,不合题意： 若k=4m+3,meN,则7，=4(m+1)'山，4m+2)(4m+6_169 8 2 整理可得4(m+1)2d1+2m2+4m=83,显然4(m+1)2d1+2m2+4m 为偶数，方程无解，不合题意综上所述，山1=83，k=2 专项突破11数列在数学文化和 实际生活中的应用 1.B解析：，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，，该女 子每天织的布构成一个等差数列1a。,其中a1=5,S0=390,30× 50=测d 29a4ta1s+016t@n=4a1+58d=4x5+58× 治5红放选且 2.A解析：5人分到的面包数量从小到大构成等差数列{a。,设公差 为d,依题意可得3-5(a1ta 2 -=5a3=100,43=20,43+a1+a5= 7儿a1o)60+34=7(40-3d),解得d=复41=4-24=20 兰多故选人 3.B解析：设各层的小球个数为数列1a,,由愿意得a1=ab,a2=(a+ 1)(+1),a=(a+2)(6+2),…,a。=(a+n-1)(b+n-1),因为a=6+ 1,可得a1=6(b+1)=b2+b,a2=(b+1)(b+2)=b2+36+1×2,a3= (6+2)(6+3)=6+5b+2×3,…,,=(6+6)(6+7)=62+136+6×7, 则S,=762+496+(1×2+2×3++6×7)=762+496+112 因为前7层小球总个数为168，所以762+496+112=168，即b2+76 8=0,解得b=1或b=-8(含去)，所以a=b+1=2,可得ab=2,即该垛 积的第一层的小球个数为2.故选B 4.ABD解析：由题意知，前(n+1)项所占格子组成长为a,+a1,宽为 a1的矩形，则其面积为S1=(an+a1）a1=a,a1+a21,故 A正确： 黑白题139