第4章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦等差数列前n项和性质的综合应用，系统梳理项数为奇/偶时奇、偶项和的特点（如2n项时S偶-S奇=nd，2n-1项时S奇-S偶=中间项），以及含绝对值的前n项和求法（分界点判断与分段求和），通过问题引导、知识梳理、例题解析构建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料以问题链驱动探究，如通过项数分类讨论奇、偶项和关系，培养学生用数学眼光发现规律。例题提供多种解法（如例1(2)的四种方法）发展数学思维中的推理与运算能力，含绝对值问题的分段函数表示强化数学语言表达，课中辅助教师突破难点，课后训练帮助学生查漏补缺。

习题课　等差数列前n项和性质的综合问题 学习目标　1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法. 一、等差数列中奇、偶项的和 问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？ 提示　S2n＝＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝，由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示. 问题2　当等差数列{an}的总项数为2n项时，其奇数项之和S奇与偶数项之和S偶有何特点？ 提示　当总项数为2n项时，奇数项与偶数项各有n项， 则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 ＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1， 则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd， . 问题3　当等差数列{an}的总项数为2n－1项时，其奇数项之和S奇与偶数项之和S偶有何特点？ 提示　当总项数为2n－1项时，奇数项和偶数项分别有n项和n－1项， 则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 ＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an， 则有S奇－S偶＝an，. 知识梳理 1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，. 2.若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，. 3.设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则. 注意点： (1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数. (2)总项数为偶数时，中间项有两项，其中第一项的下标为总项数的一半. 例1　(1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，，则公差d＝　　　　.  答案　2 解析　由 得 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. (2)有两个等差数列{an}，{bn}满足，求. 解　方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则 ＝， 则有， ① 又由于， ② 观察①②，可在①中取n＝9，得.故. 方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 则有，其中An＝， 由于a1＋a9＝2a5， 即＝a5， 故A9＝＝a5×9. 同理B9＝b5×9. 故. 故. 方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn ＝an， 根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0). 所以a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k， b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k. 所以. 方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由，有. 反思感悟　一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项. 跟踪训练1　(1)等差数列{an}共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　等差数列{an}共有2n＋1项，中间项为an＋1. ∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120， ∴S奇－S偶＝an＋1＝12， ∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝an＋1＝12， 解得n＝10. (2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　　　　.  答案　－4 解析　设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28， ∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28， ① ∵S奇＝50，S偶＝34， ∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md， ② 由①②得d＝－4. (3)若等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，，则＝　　　　.  答案　 解析　由等差数列前n项和性质，得. 二、含绝对值的等差数列的前n项和 问题4　已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和. 提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n， 当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4) ＝Sn－2S4＝n2－8n＋32. ∴Tn＝ 知识梳理 1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*. 2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak＋1<0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*. 注意点： (1)要先去掉绝对值才能求和. (2)找准分界点是解决此类问题的关键. 例2　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n. ∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴an＝101－2n(n∈N*). 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列. (2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝Sn＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an) ＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2) ＝5 000－100n＋n2. 由①②得数列{bn}的前n项和 Tn＝n∈N*. 延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　因为an＝2n－101，所以a1＝－99，d＝2，{an}的前n项和Sn＝n2－100n. 当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an， 数列的前n项和Tn＝－Sn＝－n2＋100n； 当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an， 数列的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000， 综上，Tn＝n∈N*. 反思感悟　已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”. 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解　(1)由 得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<，∵n∈N*， ∴当n≤17时，an>0； 当n≥18时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N*时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝n×50＋×(－3)＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2 ＝n2－n＋884. ∴Sn＝n∈N*. 1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和. 2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法. 3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示. 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是(　　) A.0.5，0.5 B.0.5，1 C.0.5，2 D.1，0.5 答案　A 解析　由于项数为10， 故S偶－S奇＝15－12.5＝5d， 解得d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋×0.5， 得a1＝0.5. 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于(　　) A.1 B.－1 C.2 D. 答案　A 解析　由于＝(2n－1)an， 则×＝1. 3.已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 答案　B 解析　奇数项共有n＋1项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 4.记Sn为等差数列的前n项和，已知a1＝－9，S5＝－25，bn＝，的前n项和为Tn，则T10＝　　　　.  答案　50 解析　设等差数列的公差为d， ∵a1＝－9，S5＝－25. ∴－9×5＋×d＝－25， 解得d＝2. ∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11. ∵bn＝|an|， ∴bn＝|2n－11|， ∴T10＝|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝2＝50. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在等差数列中，a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，则的前8项的和为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　由等差中项的性质可知a2＋a4＋a6＝3a4＝－3，所以a4＝－1，同理a5＝2，所以a4＋a5＝1，S8＝4(a4＋a5)＝4. 2.已知等差数列{an}的公差为2，项数为偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 答案　A 解析　设这个数列的项数是2k， 则奇数项之和为a1＋a3＋…＋a2k－1＝15， 偶数项之和为a2＋a4＋…＋a2k＝25， ∴(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1) ＝25－15＝10. ∵等差数列{an}的公差为2， ∴2k＝10， ∴这个数列的项数是10. 3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　÷. 4.已知等差数列的通项公式为an＝5－n，则＋…＋等于(　　) A.24 B.25 C.26 D.27 答案　B 解析　因为an＝5－n，所以当n≤5时，an≥0，当n≥6时，an<0； 因此＋…＋ ＝ ＝ ＝10＋15＝25. 5.设等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且，若，则t等于(　　) A.5 B.6 C.22 D. 答案　A 解析　由题意可得a7＝，b3＋b11＝2b7＝，则，解得t＝5. 6.(多选)已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则下列结论正确的是(　　) A.A＝660 B.B＝660 C.a1＝2 D.an＝3n－1 答案　ACD 解析　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， 则B－A＝15d＝45，所以d＝3， 因为2A＝B＋615，即2A＝A＋45＋615，则A＝660，B＝705，故A正确，B错误； {an}的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列，又{an}的前30项中奇数项有15项，所以A＝15a1＋×6＝660，得a1＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，故C，D正确. 7.(5分)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　　，项数是　　　　.  答案　11　7 解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N*)， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以， 解得n＝3， 所以项数为2n＋1＝7，因为S奇－S偶＝an＋1， 所以a4＝44－33＝11为所求的中间项. 8.(5分)等差数列，－，－，…前n项的绝对值之和为50，则n＝　　　　.  答案　12 解析　设等差数列为{an}，a1＝，a2＝－，则公差d＝a2－a1＝－， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)×， 设数列{|an|}的前n项和为Sn， 当n＝1时，S1＝|a1|＝≠50，不合题意； 当n≥2时，则an<0， 可得Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1－(a2＋…＋an)＝， 令Sn＝＝50，解得n＝12或n＝－(舍去)； 综上所述，n＝12. 9.(10分)已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值.(5分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a6＝a2＋4d， 所以10＝22＋4d， 所以d＝－3，a1＝a2－d＝25， 所以an＝28－3n(n∈N*). (2)因为{an}是等差数列， 所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50. 10.(12分)在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.(8分) 解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0， ∴an＋2－an＋1＝an＋1－an， ∴{an}是等差数列， 又∵a1＝8，a4＝2， ∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*. (2)设数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2. ∵an＝10－2n， 令an＝0，得n＝5. 当n>5时，an<0； 当n＝5时，an＝0； 当n<5时，an>0. ∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2. 当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn ＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40， ∴Tn＝n∈N*. 11.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　) A.15 B.35 C.66 D.100 答案　C 解析　易得an＝ |a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 令an>0，则2n－5>0， ∴n≥3. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝1＋1＋a3＋…＋a10 ＝2＋(S10－S2) ＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66. 12.已知等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且满足，则等于(　　) A. B. C. D.1 答案　D 解析　由题意，令Sn＝kn(2n＋1)， Tn＝kn(3n＋2)， ∴＝1. 13.(5分)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且(n∈N*)，则＝　　　　.  答案　 解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， 所以. 14.(5分)在等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝　　　　　.  答案　145 解析　在等差数列{an}中，已知公差d＝， a1＋a2＋a3＋…＋a100＝a1＋a3＋a5＋…＋a99＋a2＋a4＋a6＋…＋a100， ∵a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1＋d＋a3＋d＋a5＋d＋…＋a99＋d ＝60＋50d＝85， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝60＋85＝145. 15.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为{an}，{bn}为等差数列，所以a2＋a11＋a20＝3a11，b5＋b19＝2b12， 又，即×， 所以. 16.(12分)已知数列的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列的通项公式；(5分) (2)若bn＝(－1)nan，求数列的前n项和Tn.(7分) 解　(1)因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N*. (2)因为bn＝an＝， 当n为偶数时，Tn＝＋5＋＋13＋…＋[－]＋， 所以Tn＝[＋5]＋[＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×＝2n； 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2＋[－(4n－3)]＝1－2n， 综上可知，Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $