第4章 4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和核心知识点，从高斯求和故事引入，通过倒序相加法推导公式，系统梳理首项、末项、项数与和的关系，明确五个量“知三求二”的应用，构建从公式推导到性质判断的完整学习支架。 该资料以问题驱动引导探究，高斯故事激发数学眼光，倒序相加法培养数学思维，例题与分层练习强化数学语言表达。课中助力教师引导学生理解公式本质，课后辅助学生通过训练巩固知识，有效查漏补缺。

4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学习目标　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个. 导语 高斯是伟大的数学家，在他小时候，有一次老师出了一道题目：“1＋2＋…＋100的和是多少？”过了两分钟，正当大家在对1＋2＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“5 050.”老师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1＋100＝101，2＋99＝101，…，50＋51＝101，所以101×50＝5 050.”这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察，敢于思考，从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西. 一、等差数列前n项和公式及应用 问题1　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了结果，那么如何求1＋2＋3＋…＋n呢？ 提示　将1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n倒序为n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，然后将两式相加得到n 个相同的数(即(1＋n))，从而把不同数的求和转化为n个相同的数的求和，即(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)＝n(n＋1)，∴1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝. 问题2　一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法. ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 知识梳理　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注意点： (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的常数项为0的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 例1　(课本例1)设Sn为等差数列{an}的前n项和. (1)已知a1＝3，a50＝101，求S50； (2)已知a1＝3，公差d＝，求S10. 解　(1)根据等差数列前n项和公式，得S50＝×50＝2 600. (2)根据等差数列前n项和公式，得S10＝10×3＋×. 例1　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解　(1) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用. 跟踪训练1　在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝340. (3)由题意得，Sn＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 二、利用前n项和表达式判断等差数列 问题3　等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 提示　Sn＝n2＋n.当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0. 例2　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 解　当n＝1时，S1＝a1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－(4n－5)＝4， 所以数列是等差数列. 延伸探究　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列.若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 解　∵Sn＝2n2－3n－1， ① ∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1， ② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 当n＝1时，a1 ＝S1＝2－3－1＝－2，不符合上式， 故an＝ 当n≥2时，an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 但是 a2－a1＝3＋2＝5≠4， 故数列{an}不是等差数列. 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋7n，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解　∵Sn＝n2＋7n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋7n－(n－1)2－7(n－1)＝2n＋6， 当n＝1时，a1 ＝S1＝8，符合上式， ∴an＝2n＋6(n∈N*)， ∴an＋1－an＝2(n＋1)－2n＝2， ∴{an}是首项为8，公差为2的等差数列. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和公式及应用. (2)利用前n项和表达式判断等差数列. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 答案　A 解析　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， ∴Sn＝＝－n2＋. 2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　) A.18 B.27 C.36 D.45 答案　C 解析　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　C 解析　因为S3＝＝6，且a3＝4， 所以a1＝0，所以d＝＝2. 4.数列的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝　　　　.  答案　－2n＋2 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[－]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A.49 B.42 C.35 D.28 答案　B 解析　2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42. 2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 答案　B 解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0， 所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝9，am＋am－1＝79(m≥3)，Sm＝2 200，则m的值为(　　) A.100 B.101 C.200 D.92 答案　A 解析　a1＋am＋a2＋am－1＝88，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1， 故a1＋am＝44. Sm＝＝22m＝2 200， 故m＝100. 4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由S13＝＝0， 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8. 5.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　) A.160 B.180 C.200 D.220 答案　B 解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180. 6.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　) A.－1 B.3 C.5 D.7 答案　AB 解析　方法一　由题意知an＝a1＋(n－1)×2＝11， ① Sn＝na1＋×2＝35， ② 由①②解得a1＝3或a1＝－1. 方法二　将该数列看成以an＝11为首项，以－2为公差的等差数列，则 Sn＝nan＋×(－2)＝11n－(n2－n)＝35， 解得n＝5或n＝7， 所以a1＝ an＋(n－1)(－2)＝13－2n＝3或－1. 7.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝　　　　.  答案　5 解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 8.(5分)在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝　　　　.  答案　 解析　设数列{an}的公差为d， 由题意得10a1＋×10×9d＝4， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以. 9.(10分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式；(5分) (2)若Sn＝242，求n.(5分) 解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d. 则 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. (2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得242＝12n＋×2， 即n2＋11n－242＝0， 解得n＝11或n＝－22(舍去). 故n＝11. 10.(11分)已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；(5分) (2)证明：数列{an}是等差数列.(6分) (1)解　设数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)， 因为a1＝－2，a2＝2，S3＝6， 可得 解得 所以Sn＝2n2－4n. (2)证明　由(1)知Sn＝2n2－4n， 当n＝1时，可得a1＝S1＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6， 当n＝1时，适合上式，所以an＝4n－6， 又由an＋1－an＝4，所以数列{an}表示首项为a1＝－2，公差d＝4的等差数列. 11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A.765 B.665 C.763 D.663 答案　B 解析　∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100， ∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. 12.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　B 解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋＝156， ∴4(a1＋an)＝280， ∴a1＋an＝70.又Sn＝·70＝210， ∴n＝6. 13.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋3(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}是等差数列 B.数列{an}是递增数列 C.a1，a5，a9成等差数列 D.S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列 答案　D 解析　∵Sn＝n2＋n＋3(n∈N*)， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋3－n＋， 当n＝1时，a1＝S1＝，即当n＝1时，不满足an＝n＋， ∴数列{an}不是等差数列； a2＝<a1＝，因此数列{an}不是递增数列； 2a5－a1－a9＝2×＝－3≠0，因此a1，a5，a9不成等差数列； S6－S3＝×(4＋5＋6)＋×3＝，S9－S6＝×(7＋8＋9)＋×3＝，S12－S9＝×(10＋11＋12)＋×3＝.∵＝0，∴S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列. 14.(5分)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是　　　　.  答案　35 解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18， 则由解得 15.若数列{an}相邻两项的和依次构成等差数列，则称{an}是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列{an}是“邻和等差数列”，Sn是其前n项和，且a1＝0，a2＝1，a3＝4，则S200等于(　　) A.39 700 B.39 800 C.39 900 D.40 000 答案　A 解析　设bn＝an＋an＋1，由a1＝0，a2＝1，a3＝4，得b1＝1，b2＝5，则bn＝4n－3＝an＋an＋1， 故S200＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a199＋a200)＝b1＋b3＋…＋b199＝1＋9＋…＋793 ＝＝39 700. 16.(13分)已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)若bn＝a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.(8分) 解　(1)因为Sn＝n2＋1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝2，不满足上式， 所以an＝ (2)由(1)知an＝所以bn＝a2n－1＝ 所以当n≥2时，bn＋1－bn＝4(n＋1)－3－(4n－3)＝4， 又b2－b1＝(4×2－3)－2＝3≠4， 所以{bn}不是等差数列， 所以当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2＋＝2＋2n2－n－1＝2n2－n＋1， 当n＝1时，T1＝2，符合上式，所以Tn＝2n2－n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $