第4章 习题课 等差数列的性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

习题课　等差数列的性质

学习目标　1.能根据等差数列的定义，推导等差数列的常用性质，并能熟练应用性质简化运算和解决具体问题.2.能通过巧妙设项解决相关等差数列的计算问题.

导语

同学们，前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，明白了等差数列是一种特殊的函数，今天我们来具体研究一下等差数列的性质.

一、由等差数列构造新等差数列

问题1　已知{an}为一个无穷等差数列，首项为a1，公差为d.将{an}的前m项去掉，剩余各项组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

提示　由题意，将{an}的前m项去掉，剩余各项组成的新数列是等差数列，首项为am＋1，公差为d.

问题2　已知{an}为一个无穷等差数列，首项为a1，公差为d.

(1)取出{an}中的所有奇数项，组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

(2)取出{an}中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？

提示　(1)由题意，取出{an}中的所有奇数项，组成的新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d.

(2)由题意，取出{an}中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列是等差数列，首项为a7，公差为7d.

猜想：等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.

问题3　若数列{an}，{bn}均是无穷等差数列，首项为a1，b1公差为d，d'，判断数列{2an＋3bn}是否是等差数列.如果是，公差是多少？

提示　设新数列为{cn}，则cn＝2an＋3bn，

所以cn＋1－cn＝(2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)

＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)＝2d＋3d'，为常数，

故数列{2an＋3bn}是等差数列，公差是2d＋3d'.

知识梳理

若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的无穷等差数列，则有

 

例1　(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是(　　)

A.公差为d的等差数列

B.公差为2d的等差数列

C.公差为d2的等差数列

D.公差为4d的等差数列

答案　C

解析　由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，所以当n∈N*时，dan＋1－dan＝d(an＋1－an)＝d2.

(2)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　)

A.15 B.16 C.17 D.18

答案　B

解析　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，

故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，

所以通项公式为an＝12n－10，

所以12n－10≤190，解得n≤，

而n∈N*，所以n的最大值为16.

反思感悟　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：

(1)定义：an－an－1(n≥2)是否为常数；

(2)通项公式是否能写成pn＋q的形式，其中p，q为常数.

跟踪训练1　已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　. 

答案　12n－1　25

解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.

二、等差数列中任意两项之间的关系

问题4　如果是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求出数列的通项公式吗？

提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，

即an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.

知识梳理

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；

(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)；

(3)d＝(m，n∈N*，且m≠n).

注意点：

若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：，即，＝－1，故an＋m＝0).

例2　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d)

设数列{an}的公差为d，

则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，

所以d＝，

所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.

方法二　(利用隔项成等差数列)

因为{an}为等差数列，