第4章 习题课 等比数列的性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦等比数列的性质这一核心知识点，从等比数列定义与通项公式出发，通过类比等差数列，系统推导由项构造新数列、任意两项关系（an=amq^(n-m)）、下标性质（m+n=k+l时aman=akal）及巧妙设项技巧，构建衔接定义、公式与应用的知识支架。 该资料以类比思想为主线，对比等差与等比数列的定义、公式及运算，培养学生数学思维中的推理意识。例题设计强调性质应用严谨性，如判断新数列需检验非零项和公比，提升数学语言表达能力。课中助力教师引导知识构建，课后通过跟踪训练与习题，帮助学生巩固性质应用，查漏补缺。

习题课　等比数列的性质 学习目标　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、由等比数列项构造新数列 问题1　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列 符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) ＝q(n≥2，n∈N*) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 运算类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列 等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m，…是以md为公差的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m，…是以qm为公比的等比数列 等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 知识梳理 1.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列. 2.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{}也都是等比数列，且公比分别为q，，q2. 3.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别为p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 注意点： 两个等比数列的和或差不一定是等比数列.例如数列{2n＋3n}是两个等比数列的和，但并不是等比数列. 例1　(多选)已知数列{an}为等比数列，则(　　) A.数列a2，a4，a8成等比数列 B.数列a1a2，a3a4，a5a6成等比数列 C.数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D.数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 答案　BD 解析　设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；数列a1a2，a3a4，a5a6每项都不为0，且＝q4，故B正确；当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝q3，故D正确. 反思感悟　判断由等比数列中的项通过运算得到的新数列是否为等比数列时，要注意判断以下两方面：(1)检验新数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况；(2)从第二项起，每一项与它的前一项的比值是否为同一个常数. 跟踪训练1　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案　D 解析　因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1，2，3，…，n，…)， 则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义， 数列{An}(n＝1，2，3，…)为等比数列的充要条件是＝q(常数). 二、等比数列中任意两项之间的关系 问题2　请试着写出由等差数列的an＝am＋(n－m)d类比得到的等比数列中相似的性质，并给出证明. 提示　类比可得an＝amqn－m. 证明如下：由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 知识梳理 等比数列通项公式的推广和变形：an＝am. 例2　在等比数列{an}中： (1)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 解　设等比数列{an}的公比为q. (1)由a7＝a5q2得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5＝8×. (2)由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36，得a3＝32， 则an＝a3qn－3＝32×， 所以n－8＝1，所以n＝9. 反思感悟　等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1 (a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项. (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝am (q≠0)也可求出等比数列中的任意一项. 跟踪训练2　已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝q4＝4q4＝16， ∴q4＝4. ∴＝q4＝4. 三、等比数列中的下标性质 问题3　请试着写出由等差数列的性质am＋an＝ak＋al，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*，类比得到的等比数列中相似的性质，并给出证明. 提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 证明如下：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1， 所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝qk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal. 知识梳理　设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则akal＝aman. (2)若m，p，n(m，p，n∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 注意点： (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1an＝a2an－1＝…. 例3　已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4＝，求a1a5； (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝， ∴＝a1a5＝a2a4＝， ∴a1a5＝. (2)由等比中项，化简可得 ＋2a6a8＋＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 反思感悟　利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 跟踪训练3　(1)公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　因为a3a11＝16， 所以＝16. 又因为an>0， 所以a7＝4， 所以a16＝a7q9＝32， 即log2a16＝5. (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝　　　　.  答案　5 解析　方法一　因为{an}是等比数列， 所以a1a7＝，a2a8＝，a3a9＝. 所以··＝(a1a7)(a2a8)(a3a9) ＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10＝50. 因为an>0，所以a4a5a6＝5. 方法二　因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝·a2 ＝＝5， 所以a2＝. 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝＝10， 所以a8＝1. 同理a4a5a6＝＝(＝(a2a8＝5＝5. 四、巧妙设项求解等比数列 例4　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解　方法一　设前三个数分别为，a，aq， 则·a·aq＝216， 所以a3＝216， 所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6， 所以6＋6q＋12q－6＝12， 解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 方法二　设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求的四个数为9，6，4，2. 反思感悟　几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为 ，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，，，，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 跟踪训练4　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　　　　.  答案　45 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得 解得a＝3，q＝2. 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 1.知识清单： (1)由等比数列构造新等比数列. (2)等比数列中任意两项之间的关系. (3)等比数列中下标性质. (4)巧妙设项求解等比数列. 2.方法归纳：公式法、类比思想. 3.常见误区：四个数成等比数列时，设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　) A.± B.±2 C. D.－2 答案　D 解析　因为＝q3＝－8，故q＝－2. 2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 答案　C 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的等比数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 3.已知在等比数列中，有a3a7a10＝9，则a4等于(　　) A.3　　　B.9　　　C.20　　　D.无法计算 答案　B 解析　由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a4＝9. 4.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当取最小值时，数列的公比是　　　　.  答案　2 解析　设正项等比数列的公比为q， 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得 a2a4＝4， 因此≥2＝2， 当且仅当，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立. 所以数列的公比是2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于(　　) A.4 B.2 C.5 D. 答案　A 解析　因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)， 即数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4. 2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　) A.6 B.2 C.2或6 D.－2 答案　B 解析　由题意知a2＋a18＝－6，a2a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4a16＋a10＝＋a10＝2. 3.已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝4，则a1等于(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　B 解析　设公比为q，则由题意知，a5＝a2q3＝2q3＝4， 解得q＝， 又a2＝a1q＝2，所以a1＝. 4.已知正项等比数列{an}的前3项和为21，且，则a2等于(　　) A. B.2 C.6 D.4 答案　C 解析　由题意知，正项等比数列{an}的前3项和为21，故a2>0， 且， 则，解得a2＝6. 5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　D 解析　方法一　依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·. 方法二　依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)(a3a7)＝＝27.所以a5＝. 6.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A.{}是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列 C.是等比数列 D.{lg|an|}是等比数列 答案　ABC 解析　由{an}是等比数列可得＝q(q为定值且不为0，n>1).A中，＝q2为常数，故A正确； B中，＝q2，故B正确； C中，为常数，故C正确； D中，不一定为常数，故D错误. 7.(5分)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为　　　　.  答案　27，81 解析　在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列， 设插入两个数为a，b，公比为q， 则243＝9q3， 解得q3＝27，故q＝3， ∴a＝9×3＝27，b＝9×32＝81， 故这两个数为27和81. 8.(5分)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－， 则＝　　　　.  答案　－ 解析　∵，， 又a8a9＝a7a10， ∴＝－. 9.(10分)在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个数的和. 解 　设插入的第一个数为a， 则插入的另一个数为. 由a，，20成等差数列，得2×＝a＋20. 即a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5. 当a＝－4时，插入的两个数的和为4. 当a＝5时，插入的两个数的和为. 综上所述，插入的两个数的和为4或. 10.(12分)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. 解　∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20， ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×＝1. 综上可得，a11＝64或a11＝1. 11.已知由正数组成的等比数列{an}中，公比q＝2，a1a2a3…a30＝245，则a1a4a7…a28等于(　　) A.25 B.210 C.215 D.220 答案　A 解析　由题意可得 a2a5a8…a29＝2a1·2a4·2a7·…·2a28＝a1a4a7…a28·210， a3a6a9…a30＝22a1·22a4·22a7·…·22a28＝a1a4a7…a28·220， 所以a1a2a3…a30＝·230， 因为a1a2a3…a30＝245， 所以a1a4a7…a28＝25. 12.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　C 解析　方法一　∵a3，a5的等比中项为±a4， ∴a3a5＝，又a3a5＝4(a4－1)， ∴＝4(a4－1)， ∴－4a4＋4＝0， ∴a4＝2. 又q3＝＝8， ∴q＝2， ∴a2＝a1q＝×2＝. 方法二　∵a3a5＝4(a4－1)， ∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a1q＝. 13.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　) A.±2 B.±4 C.2 D.4 答案　C 解析　∵T13＝4T9， ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9， ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10a13＝a11a12＝a8a15， ∴(a8a15)2＝4， ∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列， ∴q>0，∴a8a15＝2. 14.(5分)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于　　　　.  答案　－213 解析　由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝， ∴a1a2a3·…·a13＝()6·a7＝， 又a7＝－2. ∴a1a2a3·…·a13＝(－2)13＝－213. 15.(5分)在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝　　　　.  答案　或 解析　∵{an}是等比数列，∴a7a11＝a4a14＝6， 又a4＋a14＝5，∴或 ∵＝q10，∴q10＝或q10＝. 而＝q10，∴或. 16.(12分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(6分) (2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.(6分) 解　(1)设{an}的公差为d， 则d＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*). 当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1， 即b1<b2<b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>… 所以k＝3或k＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $