4.3.3 等比数列的前n项和-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和核心知识点，衔接等比数列定义与通项公式，系统梳理公式推导（错位相减法）、基本量运算及性质应用，通过情境导入、知识梳理、例题解析与分层训练构建完整学习支架。 以“借钱还款”情境导入激发兴趣，引导学生用数学眼光发现等比关系，通过公式推导培养数学思维的推理能力，结合几何图形、存钱买车等实例强化数学语言表达现实问题的应用意识，分层检测助力课中教学与课后查漏补缺。

4.3.3 等比数列的前项和 新课导入 甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱，第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠.甲听后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所以很为难.请同学们帮他拿拿主意. 学习目标 1.了解等比数列前项和公式的推导过程. 2.熟练掌握等比数列的五个量，，，，的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.熟练应用等比数列前项和公式的性质解题. 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 第1课时 等比数列的前项和公式 新知学习 探究 一 等比数列的前项和公式 同学们，对于等差数列，我们用倒序相加法求得了其前项和,那么对于等比数列,我们如何求其前项和呢？ 思考．若,如何求? 提示 ,,,, ，. ［知识梳理］ 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一： 公式二： 【答案】； ［即时练］ 1．已知等比数列的首项，公比,则（ ） A. 93 B. C. 45 D. 【答案】A 【解析】选.. 2．在等比数列中，是其前项和，若，，则（ ） A. 5 B. 51 C. 455 D. 【答案】B 【解析】选.根据题意，设等比数列 的公比为，由，，则，解得， 则 或.故选. 3．已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和． 【答案】10 【解析】因为数列 是各项为正的等比数列，则其公比，又，，则，即， 所以数列 为常数列，即， 所以. 4．在等比数列中，若，,则_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由题意知在等比数列 中，,， 设公比为，则，即，故， 则，则 是首项为1，公比为2的等比数列， 故. 求等比数列的前项和时，需对公比与两种情况进行讨论，当时，应利用公式求和. 二 等比数列前项和公式的有关计算 ［例1］ （对接教材例2）在等比数列中． （1） 若，，，求和； （2） 已知，，求. 【答案】 （1） 【解】由,得，解得，又由,得，解得. 所以，. （2） 显然，则，， 两式相除得，解得，当 时可解得，则； 当 时可解得，则. 所以 或. 等比数列前 项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如,都可以看作一个整体. ［跟踪训练1］． （1） 已知等比数列满足，，若的前项和，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （2） 记为等比数列的前项和，若,，则． 【答案】（1） A （2） 18 【解析】 （1） 选.设等比数列 的公比为， 因为，， 所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以,解得.故选. （2） 设等比数列 的公比为， 若，则由 得,所以，不合题意； 故，则由 得， 则，所以， 因为，所以， 所以. 三 利用判断等比数列 角度1 利用的表达式判断等比数列 ［例2］ 已知数列的前项和.求的通项公式，并判断是否为等比数列. 【解】 当 时，. 当 时，，不符合上式. 所以 由于,,,显然,,不是等比数列，即 不是等比数列. 母题探究．已知等比数列的前项和，求与的通项公式. 解：方法一:当 时，; 当 时，. 此时, 即当 时，是公比为3的等比数列. 由题意知，应满足,即, 解得. 综上，,的通项公式为. 方法二:当 时，等比数列 的前 项和满足,其中,由 可得,.当 时，，所以. 综上，,的通项公式为. （1）已知,通过求通项公式,应特别注意当时，,需验证时是否满足此式. （2）若数列的前项和，其中,且，则是等比数列. ［跟踪训练2 ］．已知等比数列的前项和为，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】方法一:当 时，， 显然 不合题意，可得； 当 时，. 若 为等比数列，则，且，解得. 方法二:因为，结合等比数列 的前 项和的结构特征可得，解得. 角度2 利用与的递推关系判断等比数列 ［例3］ 已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有为常数)． （1） 当时，求,的值； （2） 试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【答案】（1） 【解】由题意可得，，. （2） 当 时，. 由， 两式相减得. 当 时，数列 不是等比数列； 当 时，可得, 当 时,,, 所以,故对任意的 都有，此时数列 是等比数列. 综上，当 时，数列 不是等比数列；当 时，数列 是等比数列． 给出等比数列前项和与第项之间的递推关系式，判断是否为等比数列的常见做法是：用代换，得到另一个等式，然后两式作差，利用，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递推关系就可以判断该数列是否为等比数列. ［跟踪训练3 ］．已知数列的前项和为，，． （1） 证明：为等比数列，并写出它的通项公式; （2） 若正整数满足不等式，求的最大值． 【答案】 （1） 解：因为，① 当 时，解得， 当 时，② 得， 即，即， 所以，，所以 是以2为首项,2为公比的等比数列，所以. （2） 由（1）可知， 因为，所以， 即，解得，所以， 因为，所以 的最大值为7. 课堂巩固 自测 1．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ） A. 63 B. 31 C. 15 D. 7 【答案】D 【解析】选.设等比数列 的公比为，由题意，，即,解得，于是，故.故选. 2．（多选）已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】AB 【解析】选.设数列 的公比为，若，则，满足题意； 若，由，得，解得， 综上，或．故选. 3．已知等比数列的前项和为，且，则． 【答案】54 【解析】当 时，. 当 时，． 又因为 是等比数列，所以公比， ， 所以，解得，所以，所以． 4．已知等比数列的公比，记其前项和为，且,,成等差数列. （1） 求的通项公式； （2） 求的前项和. 【答案】 （1） 解：因为,,成等差数列，所以， 得，即，解得， 所以. （2） 由（1）知， 所以， 则. 1.已学习：等比数列前项和公式的推导及运算，等比数列前项和公式的结构特点. 2.须贯通:（1）公式的推导利用了错位相减法； （2）计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程（组）求解，这里运用了方程的思想. 3.应注意：等比数列前项和公式分与两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知等比数列的首项为2，公比为3，则（ ） A. 162 B. 486 C. 242 D. 96 【答案】C 【解析】选.依题意，.故选. 2．已知为正项等比数列的前项和，若,，则的公比（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知正项等比数列 的公比，若，则，故， 所以 解得 的负值已舍去).故选. 3．已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】选.由于数列 是等比数列，当 且 时，， 当，且公比 时，得，，则，充分性不成立； 当，且公比 时，得，，满足，但不满足，必要性不成立.故选. 4．已知等比数列的前项和为，若，且公比为3，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为等比数列 的首项，公比，所以， 所以.故选. 5．已知等比数列的首项为1，公比为3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得，故数列 是首项为，公比为9的等比数列， 则.故选. 6．（多选）已知为等比数列，为公比，是其前项和.若,与的等差中项为20，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.由,得,即， 又 与 的等差中项为20，则，，所以公比为， 故，得，故，, 故，，正确，错误.故选. 7．对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和. 【答案】30 【解析】由题设可得,故,故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，故. 8．已知等比数列的前项和满足，，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由题知，公比，，， 两式相除，得，解得， 所以，解得，所以． 9．记为等比数列的前项和，已知，，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设等比数列 的公比为. 若，则，，不符合题意； 若 且，则， 又因为，故 解得. 10．（13分）已知数列是等比数列． （1） 若，，，求；（3分） （2） 若，，，求；（3分） （3） 若，，求与；（3分） （4） 若，，求与.（4分） 【答案】（1） 解：. （2） . （3） 由，得. 所以. （4） 方法一:因为， ，， 所以，即， 解得 或. 当 时，；当 时，. 方法二:当 时，， 又，所以，符合题意． 当 时，，① ，② 由①得，③ 得，即， 所以，因为，所以， 所以， 综上，当 时，；当 时，. B 能力提升 11．设是数列的前项和，,，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】选.因为 是数列 的前 项和， ，， 所以，所以数列 为等比数列，且首项为8，公比为，则，解得.故选. 12．（多选）已知等比数列的公比为整数，是数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 数列{是公比为的等比数列 D. 数列{是公差为的等差数列 【答案】BD 【解析】选.依题意，设公比为，又， 由，,可得 显然， 进而可得，则,即， 由于公比为整数，所以，则，故 错误； ，故 正确； 因为,,所以，而，，则 不为常数，故 错误；，，故 为常数，所以{是公差为 的等差数列，故 正确.故选. 13．已知数列的前项和为，,，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一:当 时，则有， 所以； 当 时，由 得，， 上述两式相减得， 所以，得 且， 所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 方法二：因为， 所以， 所以， ， 所以数列 是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以. 14．（13分）设数列的前项和为，，且. （1） 求通项公式；（6分） （2） 记，求数列的前项和.（7分） 【答案】 （1） 解：因为， 当 时，，则， 即,因为，故，故，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故. （2） 由（1）可得，则，且，所以 是首项为2，公比为 的等比数列，故. C 素养拓展 15．（15分）已知数列的前项和为，且6，，成等差数列． （1） 求；（6分） （2） 是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求的所有取值；否则，请说明理由．（9分） 【答案】 （1） 解：因为6，，成等差数列，所以， 因此有，两式相减，得， 即， 当 时，，所以，故 是以2为首项，为公比的等比数列， 所以. （2） 存在., 所以题中不等式等价于 ，即， 即 对 恒成立， 因为,且当 时，所以，显然 为偶数，当 时不等式成立； 当 时,，此时 无解． 综上，存在，满足题意，. 第2课时 等比数列前项和的性质及应用 新知学习 探究 一 等比数列前项和的性质 思考1．你能否用等比数列中的，来表示? 提示 思路一：. 思路二：. 思考2．类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现，，,为偶数且除外)的关系吗？ 提示 ，，， 仍成等比数列，证明如下： 由性质 可知， 故有，，故有， 故有， 所以，，成等比数列． ［知识梳理］ 1．若是公比为的等比数列，则①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 2．若数列是公比不为的等比数列（或公比为，且不是偶数），为其前项和，则，，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 仍构成等比数列． 【答案】 3.若是公比为的等比数列，，分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在前项中，. （2）在前项中，；． ［例1］ （1） 已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（ ） A. 27 B. 39 C. 81 D. 120 （2） 已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比_ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 2 【解析】 （1） 由题知，，， 因为数列，，，成等比数列，所以，，所以.故选. （2） 设等比数列 的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，解得. ［例2］ 在各项均为正数的等比数列中，若，，求. 【解】 设等比数列 的公比为，由题可知， 方法一:由已知条件可列出方程组 两式作商得，所以， 所以. 方法二：由性质，得 ， 即， 所以， 所以. 方法三：运用性质，，，， 成等比数列解答. 因为，，成等比数列， 而，，所以， 即， 所以. 方法四：运用结论. 由已知条件，，， 所以， 即，所以. 由，解得. 利用等比数列前 项和的性质解题的注意点 （1）牢记并熟练运用等比数列及其前项和的性质是基础. （2）运用方程思想、整体代换思想是解题的关键. ［跟踪训练1］． （1） 已知等比数列的前项和为4，前项和为12，则它的前项和是（ ） A. 28 B. 48 C. 36 D. 52 （2） 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则_ _ _ _ ． 【答案】（1） A （2） 3 【解析】 （1） 选.设等比数列 的前 项和为， 则依题意有,，则，且， 根据等比数列前 项和的性质有,,成等比数列， 所以，即，解得.故选. （2） 因为等比数列 有 项，则奇数项有 项，偶数项有 项，设公比为， 得到奇数项的和为， 偶数项的和为， 整体代入上式得， 所以前 项的和为，解得. 二 几何图形中的求和问题 ［例3］ 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形. 如图1，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，经第一次操作得图 2，如此继续下去，第二次操作后得图3,不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.记为第次操作后所得图形的面积，如果这个作图过程可以一直继续下去，则将趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，初始三角形的面积， 第一次操作后，增加了3 个边长为 的等边三角形，此时面积， 第二次操作后，增加了 个边长为 的等边三角形， 此时面积， … 第 次操作后，增加了 个边长为 的等边三角形，此时面积 ， 当 时，，.故选. 解决与等比数列前 项和有关问题的策略 （1）将有关几何问题转化为等比数列问题，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性． （2）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． ［跟踪训练2］．已知长度为4的线段，取的中点，以为直径作圆（如图1），该圆的面积为，在图1中取的中点,以为直径作圆（如图2），图2中所有圆的面积之和为，以此类推，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可知，各圆的面积成以 为首项，为公比的等比数列， 故, 则. 三 等比数列前项和的实际应用 ［例4］ （对接教材例5）小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存1万元，以后每个月在前一个月的基础上增加.记小华第一个月（今年4月）存入的金额为万元，小华第个月当月存入的金额为万元. （1） 求小华前3个月的总存款金额； （2） 若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月的钱才能全款购买这辆汽车.(参考数据：,, 【答案】 （1） 【解】依题意，万元，万元，万元， 则，即数列 是首项为1，公比为1.2的等比数列，所以，所以小华前3个月的总存款金额为 万元. （2） 由（1）知，设数列 的前 项和为， 则，由，可得， 又,,所以， 即小华至少要存7个月的钱才能全款购买这辆汽车. 求解等比数列前 项和的实际应用题的基本步骤 （1）认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前项和的问题； （2）利用等比数列的前项和公式求出数学问题的解； （3）将求得的数学问题的解转化为实际问题. ［跟踪训练3 ］．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意.若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂_ _ _ _ 盏灯笼． 【答案】3 【解析】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为，于是得，解得， 所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 课堂巩固 自测 1．记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】选.设正项等比数列 的公比为，由题意知，， 所以，，成等比数列，所以,即,解得（负值已舍去）.故选. 2．（教材P169T7改编）如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形， ，依此类推，一共画了5个正三角形.那么这五个正三角形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.这五个正三角形的边长分别为2，1，，，.所以这五个正三角形的面积之和为. 3．一个球从256米的高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半,则当它第6次着地时,共经过的路程是_ _ 米. 【答案】752 【解析】设小球每次着地后跳回的高度构成数列，则数列 为等比数列，,,,所以当它第6次着地时，共经过的路程为（米）. 4．已知等比数列的公比,且，则_ _ . 【答案】120 【解析】因为在等比数列中，若项数为，则, 所以 . 1.已学习：等比数列前项和公式的性质、等比数列前项和公式的应用. 2.须贯通:灵活利用等比数列的项的性质以及前项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度. 3.应注意：应用公式和性质时易忽略其成立的条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．设,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.. 2．已知数列为等比数列，且,,则（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】B 【解析】选.方法一:因为，，所以,解得,所以. 方法二：由题意得. 3．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】选.设等比数列 的奇数项之和为，偶数项之和为，则,,又，解得，，故数列 的所有项之和是. 4．已知等比数列的前项和为,,,则（ ） A. 18 B. 54 C. 128 D. 192 【答案】D 【解析】选.设数列 的公比为，则,解得. 所以. 5．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织十尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布10尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为,公比为，则, 由等比数列前 项和公式,得,解得, 所以第二天织布的尺数为. 6．（多选）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A. 此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多六里 B. 此人第三天走了二十四里 C. 此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍 D. 此人的第二天走的路程占全程的 【答案】AC 【解析】选.由题意，此人每天所走路程构成以 为公比的等比数列， 记该等比数列为，公比为，前 项和为， 则,解得, 此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多（里），故 正确；此人第三天走的路程为（里），故 错误；此人前三天走的路程之和为（里），后三天走的路程之和为（里），，所以前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍，故 正确；此人第二天走的路程为,故 错误. 7．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】根据等比数列前 项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得. 8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前 项和. 由,得. 由于，， 则,即,故需要的最少天数为6. 9．设等比数列的前项和为，若，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,所以, 所以,因为, 所以， 即， 将 代入，可得. 10．（13分）已知是无穷等比数列的前项和，且公比,1是和的等差中项，6是和的等比中项. （1） 求和；（5分） （2） 求数列的前项和.（8分） 【答案】 （1） 解：根据已知条件得 整理得 解得 （2） 因为，所以 解得 所以. B 能力提升 11．在数列中，，.若,则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.令，则由,得,即,所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以,解得,故选. 12．记为等比数列的前项和，若,,则（ ） A. B. C. 85 D. 120 【答案】C 【解析】选.方法一:设等比数列 的公比为，由题意知,则，所以,则，得,则. 方法二：由等比数列的片段和性质知，，，，成等比数列，设其公比为，，，则，所以，解得, 即，所以. 方法三：设等比数列 的公比为,由 及 知,且,等式两边同时除以,得，则,,所以, 所以. 13．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为,并且满足条件,,.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】选.因为,,,所以,,所以,故 正确；又,故 正确；中，是数列 中的最大项，故 正确；中，因为,,的最大值不是，故 不正确. 14．（15分）如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． （1） 求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；（5分） （2） 从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和；（4分） （3） 如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加最终会接近多少？（6分） 【答案】 （1） 解：原正方形面积为，由题意新正方形面积依次为， ，， 故数列为1,,， ,, 所以该数列是首项为1，公比为 的等比数列. （2） 由（1）知，这10个正方形面积的和 . （3） ，当 趋向正无穷时，趋向0， 所以 无限接近于2， 故全部正方形面积相加最终会接近2. C 素养拓展 15．（17分）某啤酒厂为适应市场需要，2024年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2024年啤酒生产量为16 000吨，葡萄酒生产量1 000吨.该厂计划从2025年起每年啤酒的生产量比上一年减少，葡萄酒生产量比上一年增加，试问： （1） 哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（8分） （2） 从2024年起（包括2024年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）（9分） 【答案】 （1） 解：设从2024年起，该厂第 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 吨和 吨， 设第 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量之和为 吨，根据题意， ,, ,, 则 , 当且仅当,即 时取等号，故2026年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低. （2） 设经过 年后啤酒和葡萄酒的生产总量分别为 吨和 吨. 由题意，,得, 由（1）知，第 年啤酒年生产量为 吨，数列 是以16 000为首项，为公比的等比数列， 则, 由（1）知，第 年葡萄酒年生产量为 吨，数列 是以1 000为首项，2为公比的等比数列，则, 则,可得,,故从第6年起，葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的. 学科网（北京）股份有限公司 $