第4章 4.3.1 等比数列的概念（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等比数列的概念这一核心知识点，通过类比等差数列的研究方法，从实例观察入手，系统梳理等比数列的定义、公比性质、等比中项及相关计算，构建“实例引入—概念辨析—应用计算—拓展深化”的学习支架。 该资料以“折纸厚度”“出门望九堤”等实例激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过正反例辨析（如判断含0数列是否为等比数列）培养数学思维，借助方程思想解决等比中项问题提升数学语言表达能力。课中助力教师引导学生主动探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4.3.1　等比数列的概念 学习目标　1.通过实例，理解等比数列和等比中项的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值. 导语 同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列. 一、等比数列的概念 问题　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98. ②《庄子·天下》中提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…. ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算研究以上数列的取值规律.对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律. 知识梳理　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 注意点： (1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*). (2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　(课本例1)判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8； (3)1，－，，－，. 解　(1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列. (2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列. (3)所给数列是首项为1，公比为－的等比数列. 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4. 反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 跟踪训练1　(多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有(　　) A.数列1，2，6，18，… B.无穷数列中，已知＝2，＝2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列中，＝q(q≠0)，其中n∈N* 答案　ABC 解析　A中，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a＝0时，不是等比数列； D中，该数列符合等比数列的定义，是等比数列. 二、等比数列中的基本计算 例2　(课本例2)求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a，8； (2)－4，b，c，. 解　(1)根据题意，得， 所以a＝4或a＝－4. (2)根据题意，得 解得 所以b＝2，c＝－1. 例2　求出下列等比数列中的未知项： (1)4，a，9； (2)1，b，c，－8. 解　(1)根据题意，得， 所以a＝6或a＝－6. (2)根据题意，得解得 所以b＝－2，c＝4. 反思感悟　一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列. 跟踪训练2　在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　) A.4 B.4或 C.6或 D.6 答案　B 解析　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为. 由a，，20成等差数列，得2×＝a＋20.整理得a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5. 当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4. 当a＝5时，插入的两个数的和为a＋. 三、等比中项及应用 如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项.此时，G2＝ab或G＝±. 例3　(1)等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝　　　　.  答案　 解析　由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)， 又d≠0，∴a1＝d， ∴. (2)方程2x2－3x＋1＝0两根的等比中项是　　　.  答案　± 解析　因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以方程存在不相等的两根， 且两根之积为，故两根的等比中项为±. 反思感悟　当三个数或某数列中的三项成等比数列时，我们一般考虑使用等比中项来确定各项之间的关系.两个同正或同负的数的等比中项有两个，它们互为相反数，但是我们在取舍时需要结合具体情境判断一下等比中项的符号能否确定. 跟踪训练3　(1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 答案　C 解析　－2和＋2的等差中项为 ， －2和＋2的等比中项为 ±＝±1. (2)已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 答案　B 解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. 四、等比数列定义的简单应用 例4　(1)在等比数列{an}中，是否有＝an－1an＋1(n≥2)？ (2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ 解　(1)因为{an}是等比数列，所以 ，即＝an－1an＋1(n≥2)成立. (2)不一定.例如，对于数列0，0，0，…， 总有＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列. 反思感悟　若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性. 跟踪训练4　判断下列数列是否为等比数列： (1)an＝2n；(2)an＝n2；(3)an＝3×2n；(4)an＝2n＋1. 解　由等比数列的定义可知，＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列. (1)＝2，是等比数列； (2)，不是常数，故不是等比数列； (3)＝2，是等比数列； (4)，不是常数，故不是等比数列. 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)根据等比数列的定义进行简单的运算. (3)等比中项及应用. (4)等比数列定义的简单应用. 2.方法归纳：定义法、方程(组)思想. 3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列. 1.下列数列是等比数列的是(　　) A.10，100，1 000，10 000 B.4，6，9，12 C.－1，0，1，2 D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18 答案　A 解析　A满足等比数列的定义，其余均不满足. 2.在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于(　　) A.－4 B.±4 C.－2 D.±2 答案　A 解析　因为a4是a1与a7的等比中项， 所以＝a1a7， 即64＝－16a7，故a7＝－4. 3.(多选)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 答案　AC 解析　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，不是等比数列，故D错误. 4.若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝　　　.  答案　2 解析　由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1.下列数列是等比数列的是(　　) A.1，11，111，1 111 B.1，－2，4，－8 C.1，5，25，－125 D.22，32，42，52 答案　B 解析　由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不满足. 2.已知等比数列的通项公式为an＝3n＋2(n∈N*)，则该数列的公比是(　　) A. B.9 C. D.3 答案　D 解析　设公比为q，等比数列的通项公式为an＝3n＋2(n∈N*)，则a1＝33＝27，a2＝34＝81， ∴＝q＝3. 3.若2，a，6成等比数列，则a等于(　　) A.1 B.±2 C.2 D.－2 答案　B 解析　由a2＝2×6， 所以a＝±2. 4.在各项都为正数的数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于(　　) A.108 B.54 C.36 D.18 答案　B 解析　因为an＋1＝3an，即＝3， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 所以＝3，又a1＝2，所以a4＝54. 5.已知数列和满足bn＝，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若数列为等比数列，设公比为q， 则＝|q|， ∴为等比数列，充分性成立； 若为等比数列，设公比q＝2， 令数列为：2，4，8，－16，－32，…，满足＝2，但不是等比数列， 必要性不成立， ∴“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分且不必要条件. 6.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　∵{an}中的项必然有正有负， ∴q<0.又|q|>1， ∴q<－1. 由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81. ∴q＝－. 7.(5分)已知数列1，a，9，－27，…为等比数列，则a＝　　　　.  答案　－3 解析　由题意，知，所以a＝－3. 8.(5分)在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，则cos B＝　　　　.  答案　 解析　因为sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，所以sin B＝sin A，sin C＝2sin A， 由正弦定理可知b＝a，c＝2a， 所以cos B＝. 9.(12分)已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列. (1)an＝3n；(3分) (2)an＝5×32－n；(3分) (3)an＝n－1；(3分) (4)an＝3.(3分) 解　由等比数列的定义可知，＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列. (1)，不是常数，故不是等比数列； (2)，是等比数列； (3)，不是常数，故不是等比数列； (4)＝1，是等比数列. 10.(10分)已知在等比数列中，a2＝1，求a1＋a3的取值范围. 解　设等比数列的公比为q(q≠0)，由等比数列的定义可知a1＝，a3＝q， 所以a1＋a3＝q＋， 当q>0时，a1＋a3＝q＋≥2＝2，当且仅当q＝1时，等号成立； 当q<0时， a1＋a3＝－≤－2＝－2，当且仅当q＝－1时，等号成立. 综上所述，a1＋a3的取值范围是 (－∞，－2]∪[2，＋∞). 11.设{an}是无穷数列，记bn＝an＋1－an，则“{an}是等比数列”是“{bn}是等比数列”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　D 解析　若{an}的项为1，1，1，1，…，则{bn}的项为0，0，0，0，…， 此时{an}是等比数列，但{bn}不是等比数列； 若{bn}的项为1，1，1，1，…，则an＋1－an＝1， 此时{bn}是等比数列，但{an}是公差为1的等差数列，不是等比数列. 所以“{an}是等比数列”是“{bn}是等比数列”的既不充分又不必要条件. 12.“一尺之捶，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下》，其意思为“一根一尺长的棍棒，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根棍棒被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则等于(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 答案　D 解析　设这根棍棒总长为1， 每天截取其一半，剩下的部分记为an， 则{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列， 所以a1＝，a2＝，…，a5＝， 所以＝24. 13.已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列的前三项，则数列的第四项是(　　) A.8 B. C.8或2 D.8或 答案　D 解析　不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 14.(5分)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝　　　　.  答案　－4 解析　由题意可得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1， 当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件； 当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件. 15.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 答案　A 解析　当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 16.(13分)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及的值. 解　(1)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， 又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc， 在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，∴A＝60°. (2)在△ABC中，由正弦定理得sin B＝， ∵b2＝ac，A＝60°， ∴＝sin A＝. 学科网（北京）股份有限公司 $