第4章 数列 章末检测试卷(四)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦数列核心知识，通过延迟退休、洛书幻方、二进制等真实情境设计问题，梯度覆盖基础计算与创新应用，适配高中数列单元复习，培养数学建模与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|等差等比基本量计算|如第2题等差数列公差求解，巩固定义应用| |多项选择|3/18|数列性质判断|如第9题等差等比前n项和性质辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|文化与实际结合|第12题四阶幻方求和，体现数学文化传承| |解答题|5/77|综合应用与创新|第18题二进制数字之和证明及求和，融合科技情境与数学抽象|

章末检测试卷(四) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知等比数列满足a1＝，a3a5＝4，则a2等于(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　C 解析　由题意可得a3a5＝＝4⇒a4＝2，所以q3＝＝8⇒q＝2，故a2＝a1q＝. 2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 3.已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝an2＋bn，若a7＝3a2，S8＝λa2，则λ的值为(　　) A.15 B.16 C.17 D.18 答案　B 解析　∵数列的前n项和为Sn，且Sn＝an2＋bn，∴数列是等差数列， ∵a7＝3a2，∴a1＋6d＝3， 解得a1＝d. ∵S8＝λa2， ∴8a1＋d＝λ， ∴40d＝λ×d，解得λ＝16. 4.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 … 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 … 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为(　　) A.62岁3个月 B.62岁4个月 C.62岁5个月 D.63岁 答案　C 解析　设1965年5月出生的男职工退休年龄为a1＝60(岁)，则1966年5月出生的男职工退休年龄为a2＝60(岁)， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为{an}，{an}是首项为60，公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为a10＝60＋9×＝62. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 5.已知数列满足a1＝1，a2＝4，a3＝10，{an＋1－an}是等比数列，则数列的前8项和S8等于(　　) A.376 B.382 C.749 D.766 答案　C 解析　由已知得，a2－a1＝3，a3－a2＝6，而是等比数列，故q＝2， ∴当n≥2时，(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3＋6＋…＋3×2n－2＝ ＝3×2n－1－3， ∴an－a1＝3×2n－1－3，化简得an＝3×2n－1－2， 当n＝1时，a1＝1＝3×21－1－2， ∴an＝3×2n－1－2. S8＝a1＋a2＋…＋a8＝3×(1＋2＋…＋27)－2×8＝3×－16＝3×28－19＝749. 6.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　D 解析　∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质，可知a＋b＝x＋y，cd＝xy，则≥＝4，当且仅当x＝y时取“＝”. 7.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是(　　) A.当n＝15时，Sn取最大值 B.当n＝30时，Sn＝1 C.当d>0时，a10＋a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| 答案　C 解析　∵S10＝S20，∴10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d， 选项A，∵无法确定a1和d的正负性，∴无法确定Sn是否有最大值，故A错误； 选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B错误； 选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d) ＝2＝d>0，故C正确； 选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d， ∵d<0，∴|a10|＝－d，|a22|＝－d， 即|a10|<|a22|，故D错误. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(－1，3) B.[－1，3] C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞) 答案　D 解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 所以， 所以Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N*恒成立， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列的前n项和是Sn，则下列说法正确的有(　　) A.若Sn＝2n，则是等差数列 B.若Sn＝2an－1，则是等比数列 C.若是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列 D.若是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 答案　ABC 解析　若Sn＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2＝2， ∴an＝2，∴an－an－1＝0，∴是等差数列，故A正确；若Sn＝2an－1，当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，∴＝2，∴是等比数列，故B正确；设等差数列的公差为d，首项是a1，Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝Sn＋n2d，同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d，因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故C正确；若等比数列的公比q＝－1，a1＝2，则S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不可能成等比数列，故D错误. 10.在无穷数列中，若ap＝aq，总有ap＋1＝aq＋1，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且a1＝a4＝1，a5＝，a8a9＝2，则(　　) A.a7＝1 B.a8＝2a4 C.S10＝10＋3 D.a2 022＝2 答案　ACD 解析　因为为“阶梯数列”，由a1＝a4＝1，可得a2＝a5，a3＝a6，a4＝a7，a5＝a8，a6＝a9，…， 观察可得a1＝a4＝a7＝…＝a3n－2＝…，a2＝a5＝a8＝…＝a3n－1＝…，a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝…，即数列以3为周期， 又a5＝，a8a9＝2，所以a9＝2，即a9＝2， 综上，a1＝a4＝a7＝…＝a3n－2＝1，a2＝a5＝a8＝…＝a3n－1＝，a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝2， 故A正确，B错误； S10＝＝10＋3，故C正确； a2 022＝a3＝2，D正确. 11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.14 答案　ACD 解析　由题意可得，则＝3＋， 由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n的可能取值有2，4，14. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1－9九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图).已知数列{an}(n∈N*)的通项公式为an＝2n＋2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为　　　　. 答案　76 解析　由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为＝38×8， 由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等， 所以每行的数字之和为＝76. 13.在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为　　　　.  答案　101 解析　∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63， ∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9. 又am＝a1＋d(m－1)，∴＝9， ∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16. ∵＝135，∴m＝15， ∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101. 14.y＝g(x)是R上的奇函数，若将y＝g(x)的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，并且数列{an}满足条件an＝f ，则数列{an}的前2 024项和S2 024＝　　　　.  答案　4 048 解析　由于y＝g(x)为奇函数，图象关于原点对称，故y＝f(x)的图象关于点对称，即f(x)＋f(1－x)＝4， 因此an＋a2 025－n＝f ＋f ＝4，1≤n≤2 024，n∈N*， 因此S2 024＝4×＝4 048. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式.(7分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0， 所以所以解得 所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12，n∈N*. (2)设等比数列{bn}的公比为q， 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 因此bn＝b1·qn－1＝(－8)×3n－1，n∈N*. 16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：是等差数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式.(9分) (1)证明　当n≥2时，由an＋2Sn＝0得 Sn－＝－2Sn， 所以＝2，又＝2， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解　由(1)可得＝2n，所以Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－ ＝－； 当n＝1时，a1＝，不符合an＝－. 故an＝ 17.(15分)由整数构成的等差数列满足a3＝5，a1a2＝2a4. (1)求数列的通项公式；(6分) (2)若数列的通项公式为bn＝2n，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列的前4n＋3项和T4n＋3.(9分) 解　(1)由题意，设数列的公差为d， 由a3＝5，a1a2＝2a4， 可得 整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)，即2d2－17d＋15＝0，解得d＝或d＝1， 因为为整数数列，所以d＝1， 又由a1＋2d＝5，可得a1＝3， 所以数列的通项公式为an＝n＋2. (2)由(1)知，数列的通项公式为an＝n＋2，又由数列的通项公式为bn＝2n， 根据题意，新数列：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…， 则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2 ＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2) ＝＝4n＋1＋2n2＋9n＋5. 18.(17分)二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数n＝ak·2k＋ak－1·2k－1＋…＋a1·2＋a0(ai∈{0，1}，i＝0，1，…，k)，则这个数在二进制下记为akak－1…a1a0，即(n)10＝(akak－1…a1a0)2.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为φ(n)，即φ(n)＝a0＋a1＋…＋ak. (1)计算φ(7)；(3分) (2)证明：φ(4n＋3)＝φ(2n＋1)＋1；(7分) (3)求数列{φ(3·2n－1)}的前n项和Sn.(7分) (1)解　因为7＝1＋2＋22，所以φ(7)＝1＋1＋1＝3. (2)证明　设2n＋1＝a0＋a1·2＋…＋ak·2k， 即φ(2n＋1)＝a0＋a1＋…＋ak， 则4n＋3＝2(2n＋1)＋1＝1＋a0·2＋a1·22＋…＋ak·2k＋1， 所以φ(4n＋3)＝1＋a0＋a1＋…＋ak＝φ(2n＋1)＋1. (3)解　因为3·2n－1＝2n＋1＋2n－1＝2n＋1＋1＋2＋22＋…＋2n－1， 所以φ(3·2n－1)＝n＋1， 因此数列{φ(3·2n－1)}的前n项和为Sn＝·n＝. 19.(17分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d(d≠0)，其前n项和为Sn，bn＝anan＋1－2Sn. (1)求证：数列{bn＋1－bn}是等差数列；(8分) (2)若{bn}也是等差数列，求数列的前n项和Tn.(9分) (1)证明　由题知，bn＋1－bn＝(an＋1an＋2－2Sn＋1)－(anan＋1－2Sn) ＝an＋1(an＋2－an)－2(Sn＋1－Sn)， 又{an}是公差为d的等差数列，故bn＋1－bn＝2d·an＋1－2an＋1＝2an＋1(d－1)， (bn＋2－bn＋1)－(bn＋1－bn) ＝2an＋2(d－1)－2an＋1(d－1)＝2(d2－d)， 故(bn＋2－bn＋1)－(bn＋1－bn)为定值，又b2－b1＝2(d2－1)， 所以{bn＋1－bn}是首项为2(d2－1)，公差为2(d2－d)的等差数列. (2)解　因为{bn}是等差数列， 所以(bn＋2－bn＋1)－(bn＋1－bn)＝2d(d－1)＝0， 得d＝0(舍去)或d＝1，故an＝n. 故， 故Tn＝＋…＋－3. 学科网（北京）股份有限公司 $