第4章 数列-单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第4章　数列 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.等比数列,a,中a的值等于(　　) A.2 B. C. D.3 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a9=12,则S11=(　　) A.66 B.72 C.132 D.144 3.在数列{an}中,a1=2,a2=4,an-1an+1=an(n≥2),则a2 025=(　　) A. B. C.2 D.4 4.天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,…,以此类推,在1980年庚申年,我国正式设立经济特区,请问:在100年后的2080年为(　　) A.戊戌年 B.辛丑年 C.己亥年 D.庚子年 5.已知{an}为正项等比数列,{bn}为等差数列,且a10=b8,则下列关系式必成立的是(　　) A.a8+a12≥b9+b7 B.a8+a12≤b9+b7 C.a8+a12>b9+b7 D.a8+a12<b9+b7 6.若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,记bn=,则(　　) A.数列{bn}是公差也为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为2d的等差数列 C.数列{an+bn}是公差为d的等差数列 D.数列{an-bn}是公差为d的等差数列 7.已知数列{an}满足a1=2,Sn+1=2(1+Sn),若a6是am,a2n的等比中项,m,n∈N*,则m+2n=(　　) A.12 B.12 C.2 D.4 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),若λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意的n∈N*都成立,则实数λ的最小值为(　　) A.- B. C. D.1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若数列{an}为等差数列,则下列说法中正确的是(　　) A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an…为等差数列 B.数列a2,a4,a6,…,a2n,…为等差数列 C.数列{anan+1}为等差数列 D.数列{an+an+1}为等差数列 10.数列{an}的通项公式满足=kn(n∈N*),下列描述正确的有(　　) A.当k=时,数列{an}一定有最大值 B.当k=时,数列{an}为递减数列 C.当k∈时,数列{an}为递减数列 D.当k∈,且为整数时,数列{an}必存在两项相等的最大项 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=5,a5=9,则(　　) A.an=2n-1 B.Sn=n2 C.取得最小值时n等于5 D.设bn=,Tn为{bn}的前n项和,则Tn< 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an=　　　　　　　　.  13.已知数列an=则S21=　 .  14.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　　;如果对折n次,那么Sk=　　　　　dm2.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项? 16.(15分)在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q,　　　　　　,求数列{an},{bn}的通项公式.  17.(15分)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*),设bn=an+1-an. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn; (3)设cn=,设数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1. 18.(17分)某中学有在校学生2 000人,并且没有患感冒的同学.由于天气骤冷,在校学生患流行性感冒人数剧增,第一天新增患病同学10人,之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人.由于学生患病情况日益严重,学校号召同学接种流感疫苗以控制病情.从第8天起,新增患病同学的人数均比前一天减少50%,并且每天有10名患病同学康复. (1)求第n天新增患病同学的人数an(1≤n≤13,n∈N*). (2)按有关方面规定,当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课,该校有没有停课的必要?请说明理由. 19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,总存在k∈N*,使得Sn=ak,则称{an}是“M数列”. (1)判断数列{3n}(n∈N*)是不是“M数列”,并说明理由. (2)设{bn}是等差数列,其首项b1=1,公差d∈N*,且{bn}是“M数列”. ①求d的值和数列{bn}的通项公式; ②设cn=,直接写出数列{cn}中最小的项. 参考答案 1.C　2.A　3.C 4.D　解析 由题意得,天干可看作公差为10的等差数列,地支可看作公差为12的等差数列,由于100÷10=10,余数为0,故100年后天干为庚,由于100÷12=8……4,余数为4,故100年后地支为子.综上,100年后的2080年为庚子年. 5.A　解析 由题意可得b9+b7=2b8=2a10,a8a12=,∴a8+a12≥2=2a10,当且仅当a8=a12时等号成立,即a8+a12≥b9+b7. 6.C　解析 根据题意,an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,故bn=dn+a1-d是关于n的一次函数,∴数列{bn}是公差为d的等差数列,故AB错误; 由an+bn=dn+2a1-d是关于n的一次函数,得数列{an+bn}是公差为d的等差数列,C正确; 又an-bn=dn-d是关于n的一次函数,则数列{an-bn}是公差为d的等差数列,故D错误. 7.A　解析 依题意,当n=1时,S2=2(1+S1),即2+a2=2×(1+2),解得a2=4. 当n≥2时,由Sn+1=2(1+Sn)得Sn=2(1+Sn-1),两式相减得an+1=2an,又a2=2a1, 所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. 因为a6是am,a2n的等比中项, 所以ama2n=,则2m·22n=(26)2,所以m+2n=12. 8.C　解析 数列的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),所以 Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1,故an+1-an=2n.因为a2-a1=21,所以an+1-an=2n,所以an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,…,a2-a1=21,则an-a1=21+22+…+2n-1,故an=1+21+…+2n-1==2n-1,所以Sn=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,所以Sn-an=2n-n-1.因为λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n,即λ(2n-n-1)+λ+7≥(2-λ)n对任意的n∈N*都成立,所以λ≥. 设cn=,则cn+1-cn=.当n≤4时,cn+1>cn; 当n≥5时,cn+1<cn.因此c1<c2<c3<c4<c5>c6>c7>…,即λ≥c5=,故λ的最小值为. 9.ABD　解析 A选项,因为{an}为等差数列,所以设an-an-1=d(d为常数),又2an-2an-1=2(an-an-1)=2d,所以数列{2an}也为等差数列,故A正确; B选项,a2n-a2n-2=2d,所以数列{a2n}为等差数列,故B正确; C选项,anan+1-an-1an=2dan,不是常数,故{anan+1}不是等差数列,故C错误; D选项,an+an+1-(an-1+an)=2d,所以数列{an+an+1}为等差数列,故D正确. 10.ACD　解析 由题意,只需考虑k∈(0,1)的情况.由an<an+1⇔n·kn<(n+1)·kn+1⇔n<(n+1)k⇔n<,an>an+1⇔n·kn>(n+1)·kn+1⇔n>(n+1)k⇔n>可知,当k=时,=2,当n>2时,数列递减,所以{an}一定有最大值,故A正确;当k=时,a1=,a2=2×,故a1=a2,故数列不是递减数列,故B错误;当k∈(0,)时,<1,所以n≥1>时,数列为递减数列,故C正确;设=m,当n>m,即n≥m+1时,数列为递减数列,当n<m时,数列为递增数列,k=,最大项为am=,am+1=(m+1)·,所以数列{an}必存在两项相等的最大项,故D正确. 11.ABD　解析 在等差数列{an}中,由a3=5,a5=9,得公差d==2,则an=a3+(n-3)d=2n-1,Sn=·n=n2,AB正确; [(2n-1)+]+,当且仅当2n-1=,即n=时等号成立. 因为n∈N*,且5<<6,=6,<6, 所以取最小值时,n等于6,C不正确; 由bn=), 则Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+()+…+()]=(1-)<,D正确. 12.2n-6(答案不唯一)　解析 要满足“前3项之和小于第3项”,则a1+a2+a3<a3,即a1+a2<0,则不妨设a1=-4,a2=-2,则an=-4+(n-1)×2=2n-6. 13.223+208　解析 因为数列an=所以S21=3×2+3+3×23+7+…+39+3×221=3(2+23+…+221)+(3+7+11+…+39)=3=223+208. 14.5　(720-)　解析 对折4次可得到如下规格: dm×12 dm, dm×6 dm,5 dm×3 dm,10 dm× dm,20 dm× dm,共5种. 由题意得,S1=2×120,S2=3×60,S3=4×30,S4=5×15,…,Sn=,设S=+…+,则S=+…+,两式作差得S=240+120(+…+)-=240+=360-=360-,因此S=720-=720-. 15.解 (1)设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3, 根据bn=b1+(n-1)d,有b5=b1+4d,即3=2+4d, 所以d=,所以bn=2+(n-1)×. 又因为an=a1+(n-1)×1=n+1=,所以an=b4n-3. 即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时,4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项. (2)由(1)an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8,即新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解 选条件①: 因为a3=5,所以a1+2d=5, 因为a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d, 联立 解得(舍去), 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=. 选条件②: 因为b2=2,a1=b1,d=q,所以a1d=2,因为a3+a4=3b3,所以2a1+5d=3a1d2, 联立 解得(舍去), 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 选条件③: 因为S3=9,所以3a1+3d=9, 因为a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,所以2a1+7d=8a1d, 联立 解得(舍去), 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 17.(1)证明 因为an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*),所以an+1-an=2(an-an-1). 因为bn=an+1-an,所以bn=2bn-1,b1=a2-a1=1,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)得,bn=an+1-an=2n-1,所以当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-2+2n-3+…+2+1+1=+1=2n-1,当n=1时也成立,所以an=2n-1.因为=2,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以数列的前n项和Sn==2n-1. (3)证明 因为cn==2(),所以数列的前n项和Tn=2(+…+)=2()<2×=1,即Tn<1. 18.解 (1)当1≤n≤7,n∈N*时,因为a1=10,公差为9,所以an=10+(n-1)·9=9n+1. 当8≤n≤13,n∈N*时,因为a7=64,公比为,所以an=a7·=213-n, 所以an=(n∈N*). (2)该校没有停课的必要.理由:设Sn为第n天患病总人数,则当2≤n≤7时,Sn-Sn-1=an>0,当8≤n≤13时,Sn-Sn-1=an-10=213-n-10.令213-n-10≥0⇒n≤9,(Sn)max=S9=(a1+a2+…+a7)+a8+a9-10×2=+a8+a9-20=+25+24-20=287<2 000×15%=300, 所以该校没有停课的必要. 19.解 (1)数列{3n}不是“M数列”,理由如下: ∵an=3n,当n=2时,S2=3+9=12,此时找不到k∈N*,使得ak=12. ∴数列{3n}不是“M数列”. (2)①由{bn}是等差数列,且首项b1=1,公差d∈N*, 得bn=1+(n-1)d,Sn=n+d, 故对任意n∈N*,总存在k∈N*,使得n+d=1+(k-1)d成立, 则k=+1,其中+1为非负整数, 要使k∈N*,需要恒为整数,即d为所有非负整数的公约数, 又d∈N*, ∴d=1,∴bn=n. ②∵cn=, ∴cn==4(n+1)+. 由y=4t+的单调性知在t∈(0,)为单调递减,在t∈(,+∞)为单调递增, 当n+1=2时,cn=; 当n+1=3时,cn=. 所以当n=2时,cn有最小值,即数列{cn}中最小的项为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $