2025-2026学年高二数学上学期第二次（12月）月考模拟卷（苏教版测试范围：选择性必修第一册+数列）

2025-2026学年高二数学上学期第二次月考模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．在等比数列{an}中，且a3a9＝4a4，则a8＝（　C　） A．16 B．8 C．4 D．2 【解析】 等比数列{an}中，且a3a9＝4a4，由等比中项的性质可得：a3a9＝4a4＝a8a4，可得a8＝4。 2．已知，，则在上的投影向量为（　B　） A． B．（1，1，1） C． D． 【解析】 由，，得，，所以在上的投影向量为． 3．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　C　） A．0 B．或0 C． D．1 【解析】 直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则1×a﹣（﹣2a）（a﹣1）＝0，即2a2﹣a＝0，解得a＝0或．当a＝0时，两直线方程都为x+1＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当时，两直线方程分别为x﹣y+1＝0和x﹣y+2＝0，此时两直线平行，符合题意． 4．方程x2+y2﹣2x+my+5＝0表示圆，则m的取值范围是（　A　） A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C． D． 【解析】 x2+y2﹣2x+my+5＝0表示圆，则（﹣2）2+m2﹣4×5＞0⇒m＜﹣4或m＞4．即m∈（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣5，，n∈N*，则Sn取最小值时n的值为（　D　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣5，，n∈N*，可得Sn＝nan﹣2n（n﹣1）， 当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1﹣2（n﹣1）（n﹣2），两式相减可得an﹣an﹣1＝4，所以{an}是首项为﹣5，公差为4的等差数列，且为递增数列，易得a2＝﹣1，a3＝3，所以当n＝2时，Sn最小． 6．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：F1，F2为双曲线的左，右焦点，从右焦点F2发出的光线在双曲线C上的点A、B处反射后射出（A，B，F2共线），若∠CAB＝∠ABD＝120°，则（　A　） A． B． C．2 D． 【解析】 如图， 连接F1B，由双曲线的光学性质，D、F1、B在同一直线上，因为∠CAB＝∠ABD＝120°，则∠F1AB＝∠F1BA＝60°，所以△F1AB为等边三角形，由对称性可知F1F2⊥AB，则，又因为，即，整理得，解得或（舍），所以． 7．已知圆O：x2+y2＝1，点P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上的一点，过点P作圆O的的切线与圆O相切于点M，N，则|PO|•|MN|的最小值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，圆O：x2+y2＝1，其圆心为 （0，0），半径R＝1，过点P作圆O的切线与圆O相切于点M，N，由圆的性质可得|PO|•|MN|＝2SPMON＝4S△PMO＝4|PM|×|OM|＝2|PM|＝22，当|PO|取得最小值时，|PM|最小，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心C（3，4），半径为2，又由点P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上的一点，则|PO|的最小值为|OC|﹣2＝5﹣2＝3，所以|PM|的最小值为2，所以|PO|•|MN|的最小值为4． 8．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为（　D　） ①椭圆Γ的离心率为 ②M到Γ的左焦点的距离的最小值为 ③△MPQ面积的最大值为 ④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 对于①，直线x＝a，y＝b与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点（a，b）在圆C上，即有，则，椭圆Γ的离心率，故①正确；对于②，令M（x0，y0），有，令椭圆Γ的左焦点F（﹣c，0），有，则，而， 因此，即，所以M到椭圆Γ的左焦点的距离的最小值为，故②正确；对于③，依题意，如图，点M、P、Q均在圆C上，且，因此线段PQ是圆C的直径，即有，显然圆C上的点到直线PQ距离最大值为圆C的半径，即点M到直线PQ距离最大值为，因此△MPQ面积的最大值为，故 ③正确；对于④，依题意，直线PQ过原点O，即点A，B关于原点O对称，设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），于是得，， 又由①知，，两式作差得：，所以，故④正确，所以说法正确的有①②③④． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　AD　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 【解析】 由已知，S3＝a1+a2+a37，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q（负根舍去），故A正确， a5＝q2，故B错误，S5＝S3+q+q2＝7，故C错误，an＝a3qn﹣3，Sn8，所以an+Sn88，故D正确． 10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，，，，M为PC的中点，则（　AD　） A．直线AM与BC所成的角为 B． C．直线AM与平面ADP所成角的余弦值为 D．点M到平面ADP的距离为 【解析】 如图所示，过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝2，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），，，P（0，0，2），，以，，．对于A，因为，所以直线AM与BC所成的角为，故A正确．对于B，因为，所以B不正确．对于C，设平面ADP的法向量为，因为，，则，所以，令，得．设直线AM与平面ADP所成的角为α，则，所以直线AM与平面ADP所成角的正弦值为，所以其余弦值为，故C错误．对于D，设点M到平面ADP的距离为d，则，即点M到平面ADP的距离为，故D正确． 11．“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3（包含边界点）于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是（　ABD　） A．抛物线C3的方程为 B．|PB|+|FB|的最小值为5 C．S△PAB的最大值为7 D．若P在C1上，则的最小值为﹣4 【解析】 可变形为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4（y≥4），表示以C1（2，4）为圆心，2为半径的圆的上半部分；可变形为（x+2）2+（y﹣4）2＝4（y≥4）， 表示以C2（﹣2，4）为圆心，2为半径的圆的上半部分．对于A选项，抛物线过点（4，4），解得p＝2，，故A正确；对于B，抛物线的准线为l′：y＝﹣1， 过点B作BB1⊥l′，垂足为B1，如图所示，则|BF|＝|BB1|，则|PB|+|FB|＝|PB|+|BB1|≥dP﹣l′≥4+1＝5，故B正确；对于C，如图所示，不妨设l：y＝kx+1（k≥0），显然离l最远的点在C2上，且，联立，消去y整理得x2﹣4kx﹣4＝0，，则xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣4，则，由对称性只考虑k≥0情况，B在E点时，，所以，所以，设，易得h（k）在上单调递增，所以S△PAB的最大值为，故C错误；对于D选项，设AB的中点为M，联立，消去y整理得x2﹣4kx﹣4＝0，则xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣4，，，，所以，，，|PM|最小，即cos∠PC1M最大，也即∠PC1M最小，又AB的中点M位于圆心C1的左侧，故当P在（0，4）位置时，∠PC1M最小，|PM|最小，所以，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若等比数列{an}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna12＝ 　　 ．6 【解析】 ∵等比数列{an}的各项均为正数，且，∴a6•a7＝e，∵lna1+lna2+…+lna12＝ln[（a1a12）•（a2a11）•⋯•（a6a7）]，由等比数列的性质知：a1a12＝a2a11＝⋯＝a6a7，∴由对数的性质得． 13．若直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0所截得的弦长为4，则的最小值为 　　 ． 【解析】 圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝4，是以（﹣1，2）为圆心，2为半径的圆， 又∵直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆 x2+y2+2x﹣4y+1＝0所截得的弦长为4，故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2＝0上，即：，则（）（b）＝44+24+2， 当且仅当，即a1，b取等号，故的最小值为． 14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，2，则C的离心率为　　 ．4 【解析】 由题可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2＝a2+b2，又以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，设坐标原点为O，所以OA＝a，故以F1F2为直径的圆的方程为：x2+y2＝c2， 又C：的渐近线方程为，联立方程组，解得，则A（a，b），F1（﹣c，0），所以，故直线AF1的方程为，联立方程组，解得，则，又F1（﹣c，0），A（a，b），所以，，因为，即，又a＞0，b＞0，c＞0，化简得，解得，所以c＝4a，即e＝4． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知圆心为C的圆经过点A（2，0），B（0，﹣4），且圆心C在直线x+y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点（8，0）且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【解析】 （1）点A（2，0），B（0，﹣4），AB的中点为（1，﹣2），AB的斜率为：2，可得AB的垂直平分线方程为y+2（x﹣1），即x+2y+3＝0，，可得，即圆C的圆心坐标为C（3，﹣3），圆C的半径为．所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+3）2＝10； （2）设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式得22，故d＝3，若直线l的斜率不存在，则x＝8，此时圆心C（3，﹣3）到直线l的距离为5，不符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx﹣8k，即kx﹣y﹣8k＝0，所以，d，解得k＝0或k， 则直线l的方程为：y＝0，或15x﹣8y﹣120＝0．故直线l的方程为y＝0，或15x﹣8y﹣120＝0． 16．（本小题15分）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝2，b5＝16，a1＝b1，a4＝b3． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令，求数列{cn}的前n项和Tn． 【解析】 （1）由数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝2，b5＝16，a1＝b1，a4＝b3，可得，解得q＝2，所以，所以a4＝4，a1＝1，所以3d＝4﹣1＝3，解得d＝1，所以an＝1+（n﹣1）＝n； （2）因为，所以数列{cn}的前n项和． 17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，△A1BC的面积为． （1）求点A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝2AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 【解析】 （1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，则三棱锥A1﹣ABC的体积为，设点A到平面A1BC的距离为d，则，即，解得，所以点A到平面A1BC的距离为． （2）过A作AE⊥A1B，垂足为E，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又因为AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1两两垂直，设AA1＝2AB＝2a，则，由△AA1B的面积可得，即，解得a＝1，即AA1＝2AB＝2，，又因为△A1BC的面积为，解得BC＝1，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，，设平面ABD的一个法向量， 则，则，令x＝2，则y＝0，z＝﹣1，可得， 设平面BDC的一个法向量，则，则，令y＝2，则x＝0，z＝﹣1，可得，则，设二面角A﹣BD﹣C为θ∈[0，π]，则，可得，所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为． 18．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，{an}的前n项和为Sn，且a1+a5＝8，b4﹣b2＝a5，，． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn； （3）若，求数列{cn}的前2n项和． 【解析】 （1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由，得S2＝2S1+1，结合a1+a5＝8，得：，解得，故an＝n+1，由，得，结合b4﹣b2＝a5，可得：，又bn＞0，故q＞0，解得，故； （2）由an＝n+1，，可得，则，，两式作差可得：，故； （3）因为数列{an}为等差数列，故数列{a2n﹣1}也是等差数列，故，又数列{bn}为等比数列，故数列{b2n}也是等比数列，故，故数列{cn}的前2n项和为． 19．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值． 【解析】 （1）由题意得，整理得曲线C的方程：，∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆； （2）如图所示， （i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），G（xG，yG），直线QE的方程为：， 与联立消去y，得，∴， ∴，∴，∴ ，把代入上式，得kPG ，∴kPQ×kPG1，∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形； （ii）S△PQG 令t，则t≥2，S△PQG利用“对号”函数f（t）＝2t在[2，+∞）的单调性可知，f（t）（t＝2时取等号），∴（此时），故△PQG面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第二次月考模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．在等比数列{an}中，且a3a9＝4a4，则a8＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 2．已知，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C．（1，1，1） D． 3．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　　） A．0 B．或0 C． D．1 4．方程x2+y2﹣2x+my+5＝0表示圆，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C． D． 5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣5，，n∈N*，则Sn取最小值时n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：F1，F2为双曲线的左，右焦点，从右焦点F2发出的光线在双曲线C上的点A、B处反射后射出（A，B，F2共线），若∠CAB＝∠ABD＝120°，则（　　） A． B． C．2 D． 7．已知圆O：x2+y2＝1，点P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上的一点，过点P作圆O的的切线与圆O相切于点M，N，则|PO|•|MN|的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为（　　） ①椭圆Γ的离心率为 ②M到Γ的左焦点的距离的最小值为 ③△MPQ面积的最大值为 ④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，，，，M为PC的中点，则（　　） A．直线AM与BC所成的角为 B． C．直线AM与平面ADP所成角的余弦值为 D．点M到平面ADP的距离为 11．“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3（包含边界点）于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线C3的方程为 B．|PB|+|FB|的最小值为5 C．S△PAB的最大值为7 D．若P在C1上，则的最小值为﹣4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若等比数列{an}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna12＝ 　 　 ． 13．若直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0所截得的弦长为4，则的最小值为 　 　 ． 14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，2，则C的离心率为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知圆心为C的圆经过点A（2，0），B（0，﹣4），且圆心C在直线x+y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点（8，0）且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 16．（本小题15分）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝2，b5＝16，a1＝b1，a4＝b3． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令，求数列{cn}的前n项和Tn． 17．（本小题15分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，△A1BC的面积为． （1）求点A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝2AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 18．（本小题17分）已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，{an}的前n项和为Sn，且a1+a5＝8，b4﹣b2＝a5，，． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn； （3）若，求数列{cn}的前2n项和． 19．（本小题17分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $