第1章 直线与方程 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统构建直线与方程的知识体系，以表格形式对比直线方程五种形式的适用范围与几何意义，梳理两直线平行垂直的判定方法、交点距离问题及坐标法应用，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的递进设计，如例1通过待定系数法求三角形高所在直线方程，例4用坐标法证明等腰三角形性质，培养逻辑推理与数学运算核心素养。分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准复习教学，提升学生解决问题能力。

一、直线方程的求法及应用 1.直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个点 直线不垂直x轴和y轴 截距式 ＝1(a≠0， b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)求方程时，往往应用前四种形式，在呈现最后结果时，如果没有特殊要求，就写成一般式. (2)直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分. 2.通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养. 例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2). (1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程； (2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程. 解　(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝， 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3， ∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)， 化为一般式可得3x＋y－3＝0. (2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)， ∴kBC＝＝1， ∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2， 化为一般式可得x－y－1＝0. 反思感悟　求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要. 跟踪训练1　已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程. 解　(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为， 故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0. 由得 故点C的坐标为 (2)设B(m，n)，则M 把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0， 可得 解得故点B 再用两点式求得直线BC的方程为，化简为46x－41y－43＝0. 二、两直线的平行与垂直 1.判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇔l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化为l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇔l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合，排除两直线重合，就能判定两直线平行. 2.判断两直线垂直的方法 方法一： 方法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 例2　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0和直线l2：(3a－1)x－ay＋1＝0，则“a＝”是“l1∥l2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　若l1∥l2，则2a(3a－1)－1×(－a)＝a(6a－1)＝0，解得a＝或a＝0， 当a＝时，则l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y－6＝0，满足l1∥l2，符合题意； 当a＝0时，则l1：x－1＝0，l2：x－1＝0，两直线重合，不符合题意. 综上所述，l1∥l2等价于a＝ 所以“a＝”是“l1∥l2”的充要条件. (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是　　　　.  答案　垂直 解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得a＝－，则·＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练2　(1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　) A.1和2 B.－1和2 C.1和－2 D.－1和－2 答案　C 解析　由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0，1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－，解得m＝1. (2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　.  答案　－3 三、两直线的交点与距离问题 1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题. 2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养. 例3　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 将点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 反思感悟　 跟踪训练3　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A.2 B C.2 D 答案　D 解析　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2， ∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3， 由已知得这两条直线互相平行， 故两条直线之间的距离d＝ (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　方法一　由得 即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为PQ＝>2，所以满足条件的直线l有2条.故选C. 方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C. 四、坐标法的应用 1.平面几何中的证明题很多可以用坐标法证明，其基本思想是这样的：首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示，然后将几何条件转化为代数求解问题，再对给定的符号用具体的数值来代替，从而达到证明的目的. 2.用坐标法证明几何问题，可以提升学生逻辑推理和数学运算核心素养. 例4　建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证明　设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则C(－a，0). 直线AB的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0. 直线BC的方程为＝1，即bx－ay＋ab＝0. 设底边AC上任意一点为P(t，0)(－a≤t≤a)，过P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F， 则点P到直线AB的距离为PE＝， 点P到直线BC的距离为PF＝， PE＋PF＝ 又点A到直线BC的距离为h＝ 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 反思感悟　利用坐标法证明几何问题的思路 (1)建立平面直角坐标系； (2)设出各点的坐标； (3)列出代数等式，并化简； (4)验证结论成立. 跟踪训练4　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：AE＝CD. 证明　如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图， 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c. 则A(－a，0)，C(c，0)，E，D， 由距离公式，得 AE＝， CD＝， 所以AE＝CD. 学科网（北京）股份有限公司 $