第01讲 导数的概念-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数 第01讲 导数的概念 课程标准 重难点 1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数． 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 1.变化率与导数 2.导数的运算 3.导数的几何意义及应用 知识点一：变化率与瞬时速度 1.变化率 （1）定义式： ；(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间＝上变化的快慢.(4)几何意义：已知 ， 是函数y＝f(x)的图象上两点，则 平均变化率表示割线＝的割线 . 2.瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内 的平均速度为.＝的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，.如果Δt无限趋近于0时，＝ 知识点二 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝. ＝ 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜 率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数f′(x)＝. (4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0. . 考法01 变化率与瞬时速度 1.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ） A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4]． 【答案】D 【解析】由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．，， 【方法总结】 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.＝ 【跟踪训练】 1.(人教A版选择性必修二P77例5改编)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为 ．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t． 【答案】40.15 【解析】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为 ． 所以 ，又因为 ， 所以净化到纯净度为 时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元 ． 2.（2020北京卷T15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在 的污水治理能力最强．④错误； 在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 考法02 求曲线的切线方程 （2020全国1卷T15）（2020•新课标Ⅰ）曲线y＝lnx+x+1的一条切