第4章 4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦等差数列前n项和的性质及应用核心知识点，衔接等差数列概念、通项公式及前n项和公式基础，通过实际应用、最值问题、性质应用三模块构建从基础到综合的学习支架，具体涵盖生活情境建模、函数性质求最值及Sm，S2m-Sm等成等差的性质应用。 该资料以问题驱动与生活实例为特色，通过让学生命制应用题培养数学眼光，多种方法解决最值问题发展数学思维，实际问题建模（如卫生纸长度计算）提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后分层练习辅助学生查漏补缺。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习目标　1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质. 一、等差数列前n项和的实际应用 问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题. 提示　学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等. 例1　(课本例5)某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为120 mm(如图).已知卫生纸的厚度为0.1 mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1 m)？ 解　卫生纸的厚度为0.1 mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和. 由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95. 因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π. 因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则 59.95＝20.05＋(n－1)×0.1， 解得n＝400. 显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列.根据等差数列的求和公式，得S＝400×40.1π＋×0.2π ＝32 000π(mm). 32 000π(mm)≈100(m). 答满盘时卫生纸的长度约为100 m. 例1　从11月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.11月份的销售数据显示，11月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，以后每一天售出的服装都比前一天多15件，直到11月12日日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都比前一天少9件. (1)记从11月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an关于n的函数关系式； (2)求11月份该款服装的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由. 解　(1)设从11月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}. 由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列， 所以an＝15n－5(1≤n≤12且n∈N*). 而a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列， 所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30且n∈N*). 所以an＝ (2)11月份该款服装的总销售量为＋18a13＋＋18×166＋＝2 721(件). (3)11月1日至11月12日的总销售量为S12＝＝1 110<1 200， S13＝S12＋166＝1 276>1 200， 故11月13日该款服装在社会上开始流行. 由－9n＋283<100，得n>. 故从11月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天. 反思感悟　(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现. 跟踪训练1　近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平.某公司用9万元购进一台新设备用于生产电机，第一年需营运费用3万元，从第二年起，每年营运费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，若该设备使用了n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　D 解析　依题意，该设备每年营运费用构成一个等差数列{an}，其首项a1＝3，公差d＝2，则该设备第n年营运费用an＝2n＋1，前n年营运总费用Sn＝·n＝n2＋2n，则年平均盈利额为(12n－Sn－9)＝[12n－(n2＋2n)－9]＝10－≤10－2＝4，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，所以年平均盈利额达到最大值时n＝3. 二、等差数列中前n项和的最值问题 问题2　根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.通常简记为Sn＝An2＋Bn.该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向. 知识梳理　等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 注意点： (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 解　方法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d ＝18×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 由得 又因为n∈N*， 所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169. 方法三　因为S8＝S18， 所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得 a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25， 所以 解得 所以Sn＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169， 所以Sn的最大值为S13＝169. 反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和； ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找； ②运用二次函数求最值. 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值. 解　(1)设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以 解得 所以an＝3n－12，n∈N*. (2)因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， 所以Sn＝(3n2－21n) ＝， 所以当n＝3或n＝4时， 前n项和Sn取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 三、等差数列前n项和的性质 问题3　已知等差数列的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样地，我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 知识梳理 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 例3　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解　方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10＝100，S100＝10， ∴解得 ∴S110＝110a1＋d ＝110××＝－110. 方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴前11项和S110＝11×100＋×(－22) ＝－110. 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列，令b1＝＝10，b10＝， 则d＝(b10－b1)＝×＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＝－1， 所以S110＝－110. 方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 跟踪训练3　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 解　方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. 方法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴. 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的实际应用. (2)等差数列前n项和的最值问题. (3)等差数列前n项和的性质. 2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法. 3.常见误区：忽略等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列. 1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 答案　D 解析　∵an＝26－2n， ∴当n≤12时，an>0， 当n＝13时，an＝0， 当n≥14时，an<0， ∴当n＝12或n＝13时，Sn最大. 2.等差数列中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 答案　D 解析　根据题意，在等差数列中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列， 又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6， 则S9－S6＝9，S12－S9＝12， 则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30. 3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为(　　) A. 两 B. 两 C. 两 D. 两 答案　C 解析　设10个兄弟由大到小依次分得an(n＝1，2，…，10)两银子， 设数列的公差为d，其前n项和为Sn， 则由题意得即 解得所以长兄分得 两银子. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝　　　　.  答案　4 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以，即＝0，解得m＝4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.若数列{an}中，an＝46－3n，则当Sn取最大值时，n等于(　　) A.14 B.15 C.15或16 D.16 答案　B 解析　由题意{an}为递减数列，令an＝46－3n≥0，解得n≤， 所以当Sn取最大值时，n＝15. 2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为(　　) A.30 B.70 C.50 D.60 答案　C 解析　∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， ∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， ∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m， ∴S2m＝50. 3.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若＝2，则S10等于(　　) A.10 B.100 C.110 D.120 答案　B 解析　∵{an}是等差数列，a1＝1， ∴也是等差数列且首项为＝1. 又＝2，∴的公差是1， ∴＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S10＝100. 4.已知在等差数列中，前n项和为Sn，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，则当Sn取最大值时，n等于(　　) A.1 010 B.1 011 C.2 020 D.2 021 答案　A 解析　在等差数列中，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，故公差d<0，所以a1 010>0，a1 011<0，所以当Sn取最大值时，n＝1 010. 5.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…).若一“落—形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为(　　) A.45 B.36 C.28 D.21 答案　D 解析　由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式an＝，a6＝＝21. 6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，<－1，则下列结论正确的是(　　) A.a2 024>0 B.Sn的最大值为S2 025 C.|an|的最小值为a2 024 D.S4 048<0 答案　ACD 解析　对于A，∵数列{an}为等差数列，a1>0，<－1， ∴数列{an}为递减的等差数列， ∴a2 025<0，a2 024>0，故A正确； 对于B，∵数列{an}为递减的等差数列， a2 025<0，a2 024>0， ∴Sn的最大值为S2 024，故B错误； 对于C，∵a2 025<0，a2 024>0， 由<－1得a2 025<－a2 024， ∴a2 025＋a2 024<0， ∴|a2 025|>|a2 024|， ∴|an|的最小值为|a2 024|，即a2 024，故C正确； 对于D，S4 048＝＝2 024(a2 024＋a2 025)<0，故D正确. 7.(5分)已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝　　　　.  答案　－13 解析　由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13. 8.(5分)在数列{an}中，若a1＝21，前n项和Sn＝－2n2＋bn，则Sn的最大值为　　　　.  答案　66 解析　S1＝a1＝－2＋b＝21，解得b＝23，故Sn＝－2n2＋23n，对称轴为n＝＝5.75，又n∈N*，故当n＝6时，Sn取得最大值， S6＝－2×62＋23×6＝66. 9.(10分)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车的总工作时间为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作总时间为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线. 10.(12分)已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？(7分) 解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0， 解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)方法一　∵a1＝9，d＝－2， ∴Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n ＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0， ∴{an}是递减数列. 令an≥0， 则11－2n≥0， 解得n≤. ∵n∈N*， ∴当n≤5时，an>0； 当n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 11.已知等差数列的前n项和为Sn，若，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 设S3＝k，S6＝4k，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k， 所以. 12.等差数列的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于(　　) A.6 B.7 C.6或7 D.13 答案　C 解析　因为S4＝S9， 所以4a1＋d＝9a1＋d， 化简得a1＋6d＝0， 所以a1＝－6d， 因为a1>0，所以d<0， 所以Sn＝na1＋d＝－6dn＋d＝n2－dn， 它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n＝， 因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值. 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，＝－8，则Sn取最大值时的n为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B 解析　设数列{an}是公差为d的等差数列， 则是公差为的等差数列. 因为＝－8， 故可得8×＝－8，解得d＝－2； 则a1＝a2－d＝13， 则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， 故当n＝7时，Sn取得最大值. 14.(5分)现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为　　　　. 答案　10 解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1， 逐层增加1个. ∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200. ∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根. 15.等差数列{an}中，已知a1＝5，且在前n项和Sn中，仅当n＝10时，S10最大，则公差d的取值范围为　　　　　　.  答案　 解析　因为{an}为等差数列，且a1＝5， 则前n项和Sn＝n2＋n，且n∈N*， 因为仅当n＝10时，S10最大，所以对称轴在区间内， 即<<，解得－<d<－. 16.(12分)已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn. 解　设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d. ∵S7＝7，S15＝75， ∴ 即解得 ∴＝a1＋d＝－2＋， ∴， ∴数列是一个首项为－2，公差为的等差数列，∴Tn＝n2－n. 学科网（北京）股份有限公司 $