第4章 4.2.1 等差数列的概念（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的概念这一核心知识点，承接数列概念及递推关系求通项公式的前期内容，系统构建等差数列的定义（从第二项起每一项与前一项差为常数）、公差的意义（正、负、零分别对应递增、递减、常数列）、等差中项（若a,A,b成等差则2A=a+b）及相关计算与证明的知识支架。 该资料以生活实例（如生肖年龄差、哈雷彗星出现时间）引入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量关系，通过问题驱动抽象出等差数列定义，培养抽象能力与创新意识。例题与跟踪训练注重定义法判断和方程思想应用，发展推理能力，课中助力教师引导学生主动探究，课后通过分层练习与知识清单帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

4.2.1　等差数列的概念 学习目标　1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列. 导语 同学们，前面我们学习了数列的概念，以及根据数列的递推关系求数列的通项公式.实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，同样是属蛇的，年龄要么相同，要么就相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列. 一、等差数列的概念 问题　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…. ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②，有270－275＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律. 知识梳理 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2). (2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. (5)当d>0时，{an}是递增数列，当d＝0时，{an}是常数列，当d<0时，{an}是递减数列. 例1　(课本例1)判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3)－3，－2，－1，1，2，3. 解　(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列. (2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列. (3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)， 所以这个数列不是等差数列. 例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. ①1，3，5，7，9，…；　②9，6，3，0，－3，…； ③1，3，4，5，6，…；　④7，7，7，7，7，…； ⑤1，，，，，…. 解　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是. 反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列. 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 答案　ABC 解析　由等差数列的定义得， A项公差d＝0，故是等差数列； B项公差d＝3，故是等差数列； C项公差d＝，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 二、等差数列中的基本计算 例2　(1)若，a，，b成等差数列，则a＝　　　　，b＝　　　　　　.  答案　　＋2 解析　由等差数列的定义可知a－－a，解得a＝. 则b－，解得b＝＋2. 例2　(2)(课本例2)求出下列等差数列中的未知项： ①3，a，5； ②3，b，c，－9. 解　①根据题意，得a－3＝5－a， 解得a＝4. ②根据题意，得 解得 (2)若－1，a，b，c，7成等差数列，求a，b，c的值. 解　由等差数列的定义可知 解得 反思感悟　若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素. 跟踪训练2　若m，4，2n成等差数列，2m，5，n也成等差数列，试求m，n的值. 解　由等差数列的定义可知 解得 三、等差中项及应用 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义知，2A＝a＋b或A＝. 例3　实数4＋2与4－2的等差中项为　　　.  答案　4 解析　设m为4＋2与4－2的等差中项， 则4＋2＋4－2＝2m， 所以m＝4. 反思感悟　若b是a与c的等差中项，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则b是a与c的等差中项. 跟踪训练3　设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是　　　　　　　　　　.  答案　a＝－b或a＝3b 解析　由等差中项的定义知， x＝，x2＝， ∴， 即a2－2ab－3b2＝0，∴(a－3b)(a＋b)＝0， ∴a＝3b或a＝－b. 1.知识清单： (1)等差数列的概念. (2)等差数列中的基本运算. (3)等差中项及其应用. 2.方法归纳：定义法、列方程组法. 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A.1，3，5，7 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 答案　ABD 解析　A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 2.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　) A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为－的等差数列 D.不是等差数列 答案　B 解析　∵3an＋1＝3an＋1， ∴an＋1－an＝， ∴{an}为公差为的等差数列. 3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A.26 B.29 C.39 D.52 答案　C 解析　由等差数列的定义可知解得x＋y＋z＝39. 4.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝　　　.  答案　2 解析　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2， 所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列数列中，是等差数列的有(　　) A.4，5，6，7，8，… B.3，0，－3，0，－6，… C.0，0，0，0，… D.，，，，… 答案　ACD 解析　A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以为首项，以为公差的等差数列. 2.方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为(　　) A.1 B.6 C.5 D.－3 答案　D 解析　设x1，x2为方程x2＋6x＋1＝0的两根， 则x1＋x2＝－6， 得x1，x2的等差中项为＝－3. 3.在等差数列{an}中，a2＝－1，a4＝－5，则它的公差d为(　　) A.2 B.3 C.－2 D.－3 答案　C 解析　由等差数列的定义，得d＝a4－a3＝ a3－a2， 所以2a3＝a4＋a2＝－6， 故a3＝－3，公差d＝a3－a2＝－2. 4.已知在各项均不为零的等差数列中，满足a1＋a3＝，则a2等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 4 答案　C 解析　∵{an}为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2， ∴a1＋a3＝2a2， ∴2a2＝，解得a2＝2(a2＝0舍去). 5.(多选)已知an＋1－an＝0，则数列一定是(　　) A.等差数列 B.常数列 C.递增数列 D.递减数列 答案　AB 解析　因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得，数列是等差数列. 因为公差为0，所以数列{an}一定是常数列. 6.(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是(　　) A.an＝1－3n B.an＝2n－3 C.an＝2n D.an＝3 答案　ABD 解析　当n≥2时， 对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3，是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2，是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列. 7.(5分)在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　　　　.  答案　3 解析　由等差数列的定义可知解得所以公差为3. 8.(5分)已知数列满足＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝　　　　　.  答案　3 解析　由等差数列的定义可知＝4，故是以4为公差的等差数列，所以＋4＝5，＋4＝9，所以a3＝3. 9.(9分)已知数列是等差数列. (1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；(3分) (2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；(3分) (3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.(3分) 解　(1)由等差数列的定义可知 a2－a1＝a3－a2＝d， 所以a2＝4，d＝4. (2)由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d， 所以d＝3，a1＝0. (3)由等差数列的定义可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13. 10.(11分)已知数列中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列是否为等差数列，若是，求数列的首项和公差，若不是，请说明理由. 解　因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13. 11.已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任意的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要且不充分条件. 12.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵b是x，2x的等差中项， ∴b＝， 又x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， ∴a＝，∴. 13.若数列{cn}满足cn＋1＝，则称{cn}为 “平方递推数列”.已知数列{an}是 “平方递推数列”，且a1>0，a1≠1，则(　　) A.{lg an}是等差数列 B.{lg an＋1－lg an}是等差数列 C.{anan＋1}是 “平方递推数列” D.{an＋1＋an}是 “平方递推数列” 答案　C 解析　因为{an}是“平方递推数列”， 所以an＋1＝. 又a1>0，所以an>0，则lg an＋1－lg an＝lg＝lg an，(lg an＋2－lg an＋1)－(lg an＋1－lg an)＝lg an＋1－lg an＝lg an， 所以{lg an}，{lg an＋1－lg an}都不是等差数列，所以A，B不正确； 因为an＋2an＋1＝＝(an＋1an)2，所以{anan＋1}是“平方递推数列”，所以C正确； 因为an＋2＋an＋1＝≠(an＋1＋an)2， 所以{an＋1＋an}不是“平方递推数列”，D不正确. 14.(5分)若函数f(x)＝|ln|x||－a的四个零点成等差数列，则a＝　　　　.  答案　 解析　由f(x)＝0，得|ln|x||＝a，由函数f(x)有4个零点，得a>0， 即有ln|x|＝－a或ln|x|＝a，则f(x)的4个零点从小到大依次为－ea，－e－a，e－a，ea， 依题意，ea－e－a＝2e－a，即e2a＝3，解得a＝. 15.(5分)在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有　　　　个.  答案　45 解析　先考虑不存在0的情况， 由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个； 当三位数有0时，有4个， 综上所述，构成等差数列的共有45个. 16.(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，λ是常数. (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(4分) (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ的值及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由.(8分) 解　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，故λ＝3， 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)不存在实数λ，使数列{an}为等差数列，理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)， 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3， 于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， 这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ，使{an}是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $