第3章 3.1.1 第1课时 椭圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

3.1.1　椭圆的标准方程

第1课时　椭圆的标准方程

学习目标　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系.

导语

椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？

一、椭圆的定义

问题1　在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.

知识梳理　椭圆的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

注意点：

(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值，且定值必须大于两定点间的距离.

(2)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段.

(3)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在.

例1　(1)已知甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，且a为常数)；乙：P点的轨迹是椭圆.则甲是乙的(　　)

A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案　B

解析　利用椭圆定义，若P点的轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a>0，且a为常数)，∴甲是乙的必要条件.

反过来，若PA＋PB＝2a(a>0，且a为常数)，则不能推出P点的轨迹是椭圆.

因为当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点的轨迹不存在，∴甲不是乙的充分条件.

综上，甲是乙的必要且不充分条件.

(2)(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足PF1＋PF2＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　)

A.圆  B.线段

C.椭圆  D.直线

答案　BC

解析　PF1＋PF2＝a＋≥6＝F1F2，当且仅当a＝3时，等号成立.故当a＝3时，点P的轨迹为线段；当a>0且a≠3时，点P的轨迹为椭圆.

反思感悟　椭圆的定义要求动点到两定点间的距离之和为常数且大于两定点间的距离.

跟踪训练1　(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且PA＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是(　　)

A.当a＝2时，点P的轨迹不存在

B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6

D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

答案　AC

解析　当a＝2时，2a＝4<AB，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.

二、椭圆的标准方程

问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求椭圆方程.

提示　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2a(2a>2c)，

以F1，F2所在的直线为x轴、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).

设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，

即＝2a.

将这个方程移项后两边平方，得

(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，

整理得a2－cx＝a.

两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，

整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).

因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)，

于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得＝1.

由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.

这样，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)的椭圆的方程为＝1(a>b>0).