4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 学习任务 核心素养 1．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．借助等差数列前n项和Sn性质的应用，培养逻辑推理素养． 2．通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养． 1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)． 反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ 2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？ 知识点　等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)． 如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？ [提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d． ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列． (3)在等差数列{an}中，数列为等差数列． 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　[∵， ∴． ∴n＝10．故选B．] 类型1　“片段和”的性质 【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110． [思路探究]　(1)可利用方程(组)思想求解． (2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解． [解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则 解得 ∴S110＝110a1＋d ＝110× ＝－110． 法二：∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90， ∴a11＋a100＝－2． 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝＝－110． 法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列， ∴设该数列的公差为d，其前10项和为S10＋S20－S10＋…＋S100－S90＝S100＝10×100＋d＝10，解得d＝－22． ∴S110＝11×100＋×(－22)＝－110． 法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则(n－1)． ∴数列是等差数列，其公差为． ∴＝(100－10)×， 且＝(110－100)×． 代入已知数值，消去d，可得S110＝－110． 法五：令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10， ∴解得 ∴S110＝1102A＋110B＝1102×＝－110． 　本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决． [跟进训练] 1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m． [解]　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210． 类型2　裂项相消法求和 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求． [解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴Sn＝na1＋d ＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴， ∴ ＝… ＝. 　1.裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2．常见数列的裂项方法 数列(n为正整数) 裂项方法 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝ loga＝ loga(n＋1)－logan [跟进训练] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn. [解]　an＝＝， ∴Sn＝＋…＋ ＝ ＝＝，∴Sn＝. 类型3　有限项等差数列前n项和的 性质及比值问题 【例3】　(1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________． 1．a7，b7能分别用Sn，Tn表示吗？ [提示]　a7＝T13． 2．在等差数列中，偶数项的和S偶与奇数项的和S奇之间的关系能用公差d表示吗？ [提示]　S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)． (1)A　(2)5　[(1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和， ∴． (2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d， 则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5． 法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y， 则 解得 ∴6d＝192－162＝30， ∴d＝5． 法三：由题意知 由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得 (177－3d)×32＝(177＋3d)×27，解得d＝5．] [母题探究] 1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求的值． [解]　∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， ∴原式＝ ＝． 2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值． [解]　由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2． ∴an＝(6n－1)k(n2)，bn＝(4n－2)k(n2)， ∴． 3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“”，求的值． [解]　 ＝． 　等差数列前n项和计算的两种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． 1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　) A．160　　　B．180　　　C．200　　　D．220 B　[a1＋a2＋a3＝3a2＝－24⇒a2＝－8， a18＋a19＋a20＝3a19＝78⇒a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180．] 2．已知数列的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝(　　) A．350 B．351 C．674 D．675 A　[当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1－1＝2； 当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝2n＋1． a1＝2不适合上式，∴an＝ 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a25＝2＋＝350．] 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 C　[法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C． 法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．] 4．数列的前100项的和为________． 　[∵．∴S100＝1－．] 5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99． [解]　令a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A． a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B． 那么 解得B＝85，A＝60， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 等差数列前n项和的常用性质有哪些？ [提示]　(1)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)． (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍． (3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，；若项数为2n－1(n∈N*)， 则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，． (4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则． (5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． (6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $