4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

第2课时　等差数列前n项和的性质

知识点　等差数列前n项和的性质

(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．

(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．

如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？

[提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)

＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d．

∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．

(3)在等差数列{an}中，数列为等差数列．

在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)

A．9     B．10   

C．11     D．12

B　[∵，

∴．

∴n＝10．故选B．]

类型1　“片段和”的性质

【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．

[思路探究]　(1)可利用方程(组)思想求解．

(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解．

[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则

解得

∴S110＝110a1＋d

＝110×

＝－110．

法二：∵S10＝100，S100＝10，

∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，

∴a11＋a100＝－2．

又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，

∴S110＝＝－110．

法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，

∴设该数列的公差为d，其前10项和为S10＋S20－S10＋…＋S100－S90＝S100＝10×100＋d＝10，解得d＝－22．

∴S110＝11×100＋×(－22)＝－110．

法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则(n－1)．

∴数列是等差数列，其公差为．

∴＝(100－10)×，

且＝(110－100)×．

代入已知数值，消去d，可得S110＝－110．

法五：令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10，

∴解得

∴S110＝1102A＋110B＝1102×＝－110．

　本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决．

[跟进训练]

1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．

[解]　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列．

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．

类型2　裂项相消法求和

【例2】　在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求．

[解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，