第2章 再练一课(范围：§2.1～§2.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦圆的方程与位置关系，通过多题型覆盖核心考点，以题载法构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程与位置关系|单选6题+多选3题|考查圆的标准方程、点/直线/圆与圆位置关系判断|从圆的定义出发，通过代数法（方程求解）与几何法（距离公式）建立位置关系判定体系| |综合应用与轨迹|填空3题+解答3题|涉及弦长计算、轨迹方程、实际应用（台风模型）|以圆的性质为基础，结合动点、对称、切线等综合情境，体现数学建模与问题解决的思维过程|

再练一课(范围：§2.1~§2.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是(　　) A.(x－)2＋y2＝5 B.(x＋)2＋y2＝5 C.(x－5)2＋y2＝5 D.(x＋5)2＋y2＝5 答案　D 解析　设圆心C(a，0)(a<0)， 则， ∴|a|＝5.∴a＝－5. ∴圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 2.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 答案　A 解析　因为a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，所以所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，由此可知，点P(a，b)在圆内. 3.已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为(　　) A.(x－1)2＋(y－2)2＝ B.(x－1)2＋(y－2)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝ D.(x＋1)2＋(y＋2)2＝1 答案　B 解析　如图所示，圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，圆心为C(1，2)，半径r＝， 因为CA⊥CB，所以AB＝r＝2， 又P是AB的中点，所以CP＝AB＝1， 所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 所以轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1. 4.若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到点(－1，0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为(　　) A.[－18，6] B.[－2，6] C.[－2，18] D.[4，18] 答案　C 解析　将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18， 所以m>－18.因为圆C上有到点(－1，0)的距离为1的点， 所以圆C与圆C'：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|－1|≤CC'≤|＋1|. 因为CC'＝＝5，所以|－1|≤5≤|＋1|， 解得－2≤m≤18. 5.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围成的区域的面积为S，直线y＝2x＋b将圆C分为两部分，其中一部分的面积也为S，则实数b等于(　　) A.－ B.± C.－ D.± 答案　D 解析　结合图形(图略)及题意，知圆心C(1，2)到y轴的距离与到直线y＝2x＋b的距离相等，易知C(1，2)到y轴的距离为1，所以＝1，解得b＝±. 6.已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，点M在圆G：(x－4)2＋(y－5)2＝1上，则点M到直线AB距离的最大值为(　　) A.4 B.6 C.－1 D.－1 答案　B 解析　根据题意，设P(m，n)为直线x＋y＝4上的一点，则m＋n＝4， 过点P作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则有OA⊥PA，OB⊥PB， 则点A，B在以OP为直径的圆上， 以OP为直径的圆的圆心为C，半径r＝OP＝， 则其方程为，即x2＋y2－mx－ny＝0， 联立可得圆C和圆O公共弦AB所在直线的方程为mx＋ny－4＝0， 又m＋n＝4，则mx＋(4－m)y－4＝0，变形可得m(x－y)＋4y－4＝0， 由得x＝y＝1，故直线AB恒过定点Q(1，1)， 点M在圆G：(x－4)2＋(y－5)2＝1上， 则点M到直线AB距离的最大值为GQ＋1＝＋1＝6. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.圆C被y轴截得的弦长为4 C.直线l与圆C恒相离 D.当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 答案　ABD 解析　将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0， 由解得 则无论m为何值，直线l恒过定点D(3，1)，故A正确； 令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2， 故圆C被y轴截得的弦长为4，故B正确； 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25， 所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确； 圆心C(1，2)，半径为5，CD＝，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD＝－， 则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确. 8.设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上 B.这组圆Ck中存在圆经过点(3，0) C.存在一条定直线始终与圆Ck相切 D.若k∈，则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1 答案　ACD 解析　对于A，圆心在直线y＝x上，故A正确； 对于B，若(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝－4<0，无解，故B不正确； 对于C，圆心在直线y＝x上，半径为定值2， 故定直线斜率一定为1，设定直线方程为y＝x＋b，＝2， 故存在定直线y＝x±2始终与圆Ck相切，故C正确； 对于D，若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1， 问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有2个交点， 则1<|k|<3， 解得k∈∪，故D正确. 9.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，PB＝3 D.当∠PBA最大时，PB＝3 答案　ACD 解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易得直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M外离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正确； 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4<－4＝1，故B不正确； 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合， PB＝＝3， 当∠PBA最大时，点P与Q重合，PB＝3，故C，D都正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若圆C1：x2＋y2－2ay＝0(a>0)与圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0外切，则a的值为　　　　.  答案　 解析　由x2＋y2－2ay＝0(a>0)可得x2＋(y－a)2＝a2，所以圆C1的圆心为(0，a)，半径为a， 由x2＋y2－4x＋3＝0可得(x－2)2＋y2＝1，所以圆C2的圆心为(2，0)，半径为1， 因为两圆外切，所以＝a＋1，解得a＝. 11.设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则AB＝　　　　.  答案　 解析　因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1，圆心在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，所以圆心为(－1，1)，半径为r＝，圆心到直线y＝x＋1的距离为d＝，所以AB＝2. 12.已知圆C：x2＋y2＝8，MN为圆C的动弦，且满足MN＝4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且PQ＝4，MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析　由题意，圆C：x2＋y2＝8，可得圆心坐标为C(0，0)，半径r＝2， 因为MN＝4，G为弦MN的中点，可得CG＝＝2， 所以点G在以C为圆心，2为半径的圆上. 又由两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且PQ＝4， 设PQ的中点E(a，a－4)，则P，Q在以E(a，a－4)为圆心，2为半径的圆上， 因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角， 所以以C为圆心，2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离， 则>2＋2，即a2－4a>0，解得a<0或a>4， 所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞). 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R). (1)判断直线l与圆C的位置关系；(5分) (2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.(7分) 解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)， 因此直线l过定点D(1，1)， 又＝1<， 所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交. (2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m， 又k＝tan 120°＝－，即m＝－. 此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝， 又圆C的半径r＝， 所以AB＝2＝2. 14.(12分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看作一点)的东偏南θ角方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大. (1)10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；(6分) (2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？(6分) 解　(1)如图，建立平面直角坐标系，则城市A(0，0)，当前台风中心P(30，－210)， 设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)， 则 此时台风的半径为60＋10t， 10小时后，PA≈184.4 km，台风的半径r＝160 km， 因为r<PA，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. (2)t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30－10t，－210＋10t)为圆心，60＋10t为半径的圆， 若城市A受到台风侵袭， 则 ≤60＋10t ⇒300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24. 故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 15.(13分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A. (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；(6分) (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(7分) 解　(1)由题意可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2，设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°. 在Rt△MAP中，MP2＝AM2＋AP2，故MP＝＝4. 又MP＝， 所以＝4，解得b＝0或b＝， 所以点P的坐标为(0，0)或. (2)设点P的坐标为(2b，b). 因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为， 所以圆N的方程为(x－b)2＋， 即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0. 由解得或 所以圆N过定点(0，4)和. 学科网（北京）股份有限公司 $