专题03 椭圆中七类最值与范围问题（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题03 椭圆中七类最值与范围问题 题型一：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 题型二：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 题型三：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 题型四：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 题型五：利用椭圆中切线求参数（值）范围 题型六：利用椭圆的切线探求最值与范围问题 题型七：与向量融合 题型一：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 1.若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 3.已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____. 题型二：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 4.已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 7.椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为_______. 8.已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________. 题型三：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 9.已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点,若直线被椭圆截得的线段长为，则的值____________． 10.斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 11.（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 12.动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 题型四：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 13.（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 15．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 16．已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 17．已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 18.已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 19.如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 题型五：利用椭圆中切线求参数（值）范围 20．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 21.椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 22.已知椭圆与直线相切，则的取值范围是_____________ 题型六：利用椭圆的切线探求最值与范围问题 23.椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 24.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________. 25．已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 26.动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 题型七：与向量融合 27.（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 28.（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 29．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 30.已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 31.已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 32.已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆中七类最值与范围问题 题型一：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 题型二：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 题型三：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 题型四：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 题型五：利用椭圆中切线求参数（值）范围 题型六：利用椭圆的切线探求最值与范围问题 题型七：与向量融合 题型一：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 1.若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点与椭圆的位置关系即可求解. 【解析】，所以 故选：B. 2.已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【解析】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 3.已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____. 【答案】 【分析】利用点与椭圆的位置关系即可求解. 【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外， 所以>1， 解得k<或k>， 故实数k取值范围为. 故答案为： 题型二：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 4.已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得. 故选：B． 5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 6.直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【解析】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 7.椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为_______. 【答案】. 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 故答案为: 8.已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】由已知条件可得、，直线的斜率为， 直线的方程为， 当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行， 故设该直线的方程为， 联立，整理，得. 由，得，解得， 分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为， 则点到直线的距离. 又，所以，所以， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以， 则， 当且仅当时取等号. 因此，的最小值为. 故答案为：. 题型三：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 9.已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点,若直线被椭圆截得的线段长为，则的值____________． 【答案】 【分析】设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【解析】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 故答案为: 10.斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线y＝x＋t与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【解析】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 11.（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A正确； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D正确. 故选：ABD 12.动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 题型四：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 13.（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C; 根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D. 【解析】因为，，所以，所以，故A正确; 因为，所以，故B错误; 设 因为与椭圆交于，两点， 所以， 两式相减得， 即，即， 因为，所以，故C正确; 设直线, 由得, 因为直线与圆相交,所以,解得, 根据韦达定理得 , 点到直线的距离, 所以, 因为， 当且仅当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 15．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果. （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果. 【解析】（1） 由椭圆的定义得，的周长为 ，故. 由离心率得，∴， ∴椭圆C的方程为. （2） 设， 由得，， 由得，， ∴， ∴ ， ∵点到直线的距离为， ∴的面积， 令，则 ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，， ∴. 16．已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点，所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为； （2）设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 17．已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆方程，，则短轴的端点为，，右焦点为， 由短轴的一个端点到右焦点的距离为， 可得，解得， 所以，椭圆方程为. （2）当直线的斜率不存在时，不妨设， 将代入椭圆方程可得， 解得，此时，的面积为； 当直线的斜率存在时，设方程为，，， 由题意可得，， 联立可得，消去可得， 由， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，的面积最大值为； 综上所述，面积的最大值为. 18.已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根据三角形的面积及内切圆的半径列出方程组求得得椭圆方程； （2）设直线的方程与椭圆方程联立，，写出直线的方程求出的坐标，并求出， ，将表示为的函数，使用基本不等式求最大值. 【解析】（1）由题意知，则， 又， 则， 又， 解得， 所以椭圆的方程为.    （2）设直线的方程为 联立方程组，可得， 则，直线的方程：，所以，同理， ，， ， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4． 19.如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设动圆与两个已知圆的切点分别为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，求出可得答案； （2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，由得的范围，利用韦达定理得四边形的面积可得答案； 【解析】（1）如图，设动圆与两个已知圆的切点分别为，由，， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，所以， 所以点的轨迹方程为：；   （2）设，，直线的方程为，代入中， 整理得，，解得，，，      四边形的面积， 当时，，所以四边形面积的最大值为； 题型五：利用椭圆中切线求参数（值）范围 20．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【解析】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 21.椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选:B 22.已知椭圆与直线相切，则的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【解析】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 故答案为： 题型六：利用椭圆的切线探求最值与范围问题 23.椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 24.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________. 【答案】18. 【分析】由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. 设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.    联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 故答案为:18 25．已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 【答案】（1） ；（2）2 【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值. 【解析】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为； （2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：， 由，得． ，，. 不妨设在x轴上方，则在x轴下方． 椭圆在x轴上方对应方程为，， 则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得. 同理可得B处的切线方程为． 由得， 代入①得，所以． 因为，所以 设，则，则， 当且仅当，即时，的最大值是2． 另解：当直线l的斜率存在时，设l：， 由得， 所以，，， 椭圆在x轴上方的部分方程为，， 则过的切线方程为， 即， 同理可得过的切线方程为. 由得 设，则， 所以直线l的方程为，所以. ， 令，则，所以， 当时，即时，取得最大值，为2 26.动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果. 【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，故， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，所以， 故的方程为：. （2）设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为：，显然当时，， 故直线经过定点. 设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 题型七：与向量融合 27.（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【解析】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 28.（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 【答案】AC 【解析】因为，则三点共线，周长是定值，A对． ，B错． ∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则 解得或，，，，C对． 令 消x可得， 时， 时，∴，D错． 故选：AC. 29．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 【答案】3 【解析】由椭圆的左，右焦点分别为，， 设，因为，可得， 整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点点坐标为. 设P点坐标为，则可得Q点坐标为， 由， 当时，取最大值，最大值为. 故答案为：3 30.已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【解析】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 31.已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，2 【分析】（1）直接根据椭圆中的关系和离心率公式求解； （2）（i）由，则，根据坐标运算可证； （ii）要使最小，此时，，根据等号成立的条件可得点坐标，再结合向量坐标运算可解的值. 【解析】（1）由题设，. 则，即，且，即. 则的离心率为. （2）（i）由（1）可得，设. 则. 由，得，即0. 故必存在一点在第一象限，另一点在第四象限，即点在轴的异侧. （ii）记的面积为，点到的距离为，则. 要使最小，则必须使与同时达到最小值. 显然当运动至的右顶点时最小，此时， 而， 当且仅当或时取等号，最小值为. 此时. 且， 故，解得.    32.已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）把点代入椭圆得，再结合以及椭圆的性质，可解出的值，再结合离心率的取值范围，即可算出椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，可设出直线方程为，联立椭圆的标准方程，由根的判别式可得，然后由韦达定理整理出，再结合即可得出；再讨论当直线的斜率不存在时，直线为，易得，综合两种情况即可得到答案. 【解析】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $