第1章 再练一课(范围：§1.1～§1.5)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦直线方程与位置关系，通过基础计算、位置判定及综合应用题型，系统渗透解析几何核心方法，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|7题（单选1-4、填空10）|联立求交点、距离公式、斜率公式|从直线方程概念到交点、距离等基本量计算，构建解析几何基础运算体系| |位置关系|6题（单选3、5，多选7、9）|垂直平行判定、对称点求法|以斜率关系为核心，关联直线位置关系与对称变换，形成逻辑推导链| |综合应用|7题（单选6，填空11-12，解答13-15）|最值问题转化、反射模型|整合方程思想与几何性质，实现从单一知识到综合问题的应用拓展|

再练一课(范围：§1.1~§1.5) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　联立解得 ∴交点(－1，1)在第二象限. 2.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　) A.(7，＋∞) B.(－∞，－3) C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7) 答案　C 解析　由题意得>3，即|3a－6|>15，解得a>7或a<－3. 3.若直线l经过点(2a－1，－1)和(－1，1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直，则实数a的值为(　　) A B.－ C.2 D.－2 答案　D 解析　直线l经过点(2a－1，－1)和(－1，1)，斜率为＝－，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2.因为直线l经过点(2a－1，－1)和(－1，1)，且与直线2x＋y＋1＝0垂直，所以－×(－2)＝－1，解得a＝－2. 4.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　) A B.－ C.－ D 答案　B 解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－ 5.一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　) A.x＋2y－2＝0 B.2x－y＋2＝0 C.x－2y＋2＝0 D.2x＋y－2＝0 答案　B 解析　如图所示，反射光线所在直线的倾斜角与直线AB的倾斜角互补. ∴反射光线所在直线的斜率为k＝－kAB＝－＝2. 因此所求直线方程为y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 6.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P，则PA＋PB的最大值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.6 答案　D 解析　由题意，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)， 直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得 故过定点B(2，3). 又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以PA2＋PB2＝AB2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18， 因为≥， 所以PA＋PB≤＝6，当且仅当PA＝PB＝3时取等号. 故PA＋PB的最大值为6. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列说法正确的是(　　) A.直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1) C.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为 D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 答案　AB 解析　A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确； B选项，在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，故正确； C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误； D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误. 8.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos α，sin α)到直线mx＋y－2＝0的距离，当α，m变化时，d的值可以为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　ABC 解析　直线mx＋y－2＝0过定点A(0，2)，因此点P到直线距离的最大值为PA. ∵PA＝， ∴当sin α＝－1时，PAmax＝＝3，当sin α＝1时，PAmin＝＝1，故选ABC. 9.已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A.不论a为何值，l1与l2都互相垂直 B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0) C.如果l1与l2交于点M，则MO的最大值是 D.不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 答案　ABC 解析　对于A，如果a＝0，则l1：y＝1，l2：x＝－1，分别平行于x轴和y轴，显然l1⊥l2； 如果a≠0，则＝a，＝－，·＝－1， ∴l1⊥l2恒成立，故A正确； 对于B，对于直线l1，当x＝0时，y＝1，则l1过定点(0，1)， 对于直线l2，当y＝0时，x＝－1，则l2过定点(－1，0)，故B正确； 对于C，联立解得 即M， ∴MO＝≤，即MO的最大值是，故C正确； 对于D，在l1上任取点(x，ax＋1)，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)， 代入l2的方程知－ax－1－ax＋1＝－2ax，当a＝0时，－2ax＝0，则点(－ax－1，－x)在l2上， 当a≠0，x≠0时，－2ax＝0不成立，则点(－ax－1，－x)不在l2上， 此时l1与l2不关于直线x＋y＝0对称，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，则l1与l2之间的距离等于　　　　. 答案　2 解析　因为直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行， 所以≠，解得m＝7. 故直线l2：6x－8y－6＝0，即3x－4y－3＝0，所以l1与l2之间的距离为＝2. 11.已知直线l经过A(－cos θ，sin2θ)，B(0，1)两个不同的点，则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　. 答案　∪ 解析　当cos θ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B两点重合，所以cos θ≠0， 所以直线l的斜率k＝＝cos θ∈， 因此直线l的倾斜角的取值范围是∪ 12.已知点O(0，0)，A(4，0)，B(0，4).若从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2，0)，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　；若从点M(m，0)，m∈(0，4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是　　　.(结果用m表示)  答案　x－2y＋2＝0　 解析　设点P(1，0)关于直线AB的对称点为P'(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0， ∴ 解得x0＝4，y0＝3，故P'(4，3)，又Q(－2，0)， ∴直线P'Q：y－0＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0. 点M(m，0)，m∈(0，4)关于y轴的对称点为M1(－m，0)， 设点M(m，0)关于直线AB的对称点为M2(x1，y1)， 由 解得x1＝4，y1＝4－m，故M2(4，4－m). 故M1M2＝ 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R). (1)若l1∥l2，求b的取值范围；(6分) (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值.(6分) 解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]. (2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0， 所以ab＝a＋，|ab|＝≥2， 当且仅当a＝±1时等号成立， 因此|ab|的最小值为2. 14.(12分)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程. 解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x， lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线， 得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)， 所以kAB＝kAP＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 15.(13分)在平面直角坐标系中，已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1，求该三角形面积的最小值. 解　设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)， 则直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S＝ab， 又由三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距之和大1， 得ab＝a＋b＋1； ① 因为a>0，b>0⇒a＋b＋1≥2＋1， 结合①得ab≥2＋1⇒()2－4－2≥0⇒≥2＋≤2－舍去)； 所以ab≥(2＋)2＝10＋4， 当且仅当a＝b＝2＋时等号成立， 即当a＝b＝2＋时，该三角形面积最小，为(10＋4)＝5＋2 学科网（北京）股份有限公司 $