第3章 3.3.1 抛物线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，从篮球运动路线等实际情境引入，通过信息技术作图引导发现定义，推导四种标准方程，再结合距离转化、最值问题及拱桥等实际案例，构建“定义-方程-应用”的学习支架。 资料以探究式学习为特色，通过信息技术观察轨迹培养几何直观（数学眼光），方程推导与分类讨论发展推理能力（数学思维），实际问题建模强化模型意识（数学语言）。如利用定义转化距离求最值，以拱桥为例建立坐标系求解，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固查漏。

3.3.1　抛物线的标准方程 学习目标　1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用. 导语 我们知道向上抛出篮球的运动路线是抛物线，美丽的喷泉也是抛物线，我们如何来定义抛物线呢？如何建立恰当的坐标系求抛物线的方程呢？ 一、抛物线的定义与标准方程 问题1　利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示　在点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似. 知识梳理　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与动点M到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则F，又设P(x，y)为抛物线上任意一点.过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0). 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p>0) x＝－ y2＝－2px (p>0) x＝ x2＝2py (p>0) y＝－ x2＝－2py (p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)焦点位置：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定. (3)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离. 例1　(1)(课本例1)已知抛物线的焦点为F(5，0)，求抛物线的标准方程和准线方程. 解　因为抛物线的焦点为F(5，0)，所以可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 其中＝5，即p＝10，2p＝20. 因此，所求抛物线的标准方程是y2＝20x， 准线方程是x＝－5. (2)(课本例2)求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程. 解　如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形 y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0). 分别将点P的坐标代入方程可以解得p1＝4，p2＝. 因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y. 例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点. 解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p>0). 又＝2， ∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0). 故所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y或y2＝－60x. 反思感悟　(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以简化讨论. (2)求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得焦点坐标与准线方程. 跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　，准线方程为　　　　.  答案　2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)， 所以＝1，解得p＝2，故准线方程为x＝－＝－1. (2)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　.  答案　x2＝10y和x2＝－10y 解析　设抛物线的标准方程为x2＝2py(p≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|p|＝5，得p＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 二、抛物线定义的应用 例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　由＋x0＝x0， 解得x0＝1. (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，当A，P，F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝. 延伸探究1　若将本例(2)中的点A(0，2)改为点A(3，2)，求PA＋PF的最小值. 解　将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 点P为抛物线上一点，设点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则PA＋PF＝PA＋d. 由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为. 即PA＋PF的最小值为. 延伸探究2　若将本例(2)中的点A(0，2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， PA1＋PQ＝PA1＋PF≥. A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1. 即所求最小值为1. 反思感悟　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　) A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝6x D.y2＝8x 答案　D 解析　抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ∴＋2＝4，解得p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)已知抛物线y＝x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为　　　　.  答案　3 解析　抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)，设AM为A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得AB＋BF＋AF＝AB＋BD＋AF≥AM＋AF＝2＋1＝3(当且仅当B，A，M三点共线时取等号)，故△ABF周长的最小值为3. 三、抛物线的实际应用 例3　(课本例3)已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x(如图)，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，－1)，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点，试确定点Q的坐标. 解　因为抛物线y2＝x的焦点为F，所以直线PF的方程为y＝－. 由于Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点， 解方程组 得 或(舍去). 故点Q的坐标为. 例3　某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为　　　　米.  答案　3.84 解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).依题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25. 即抛物线方程为x2＝－25y. ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2，2，6. 由图知，AB是最长的支柱之一. 设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)， ∴AB＝yB－(－4)＝－＋4＝3.84， ∴最长支柱的长为3.84米. 反思感悟　解决抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)设出合适的抛物线方程. (3)通过计算求出抛物线的标准方程. (4)求出需要的量. (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解　如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，代入解得p＝， 得x2＝－y. 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA'，则A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m). 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航. 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程. (3)抛物线的实际应用. 2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 1.准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y 答案　B 解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax， 则(－)2＝a， 解得a＝2， 因此抛物线的标准方程是y2＝2x. 2.抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D.4 答案　C 解析　根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝. 3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.现有一只内壁光滑的青花瓷大碗，碗口直径为20 cm，碗深10 cm.忽略瓷碗的厚度，瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. cm B.5 cm C.10 cm D.20 cm 答案　B 解析　设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由碗口直径为20 cm，碗深10 cm.可知抛物线经过点(10，10)，代入得102＝2p×10，解得p＝5，所以该抛物线的焦点到准线的距离为5 cm. 4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是　　　　.  答案　6 解析　由抛物线的方程得＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离是4＋2＝6. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.到直线l：x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.直线 答案　C 解析　动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等， 所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线. 2.抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2 答案　A 解析　因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1. 3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A.y2＝x B.x2＝8y C.x2＝－8y D.y2＝－8x 答案　AC 解析　若抛物线的焦点在x轴上， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 又因为抛物线经过点P(4，－2)， 所以(－2)2＝2p×4，解得p＝， 所以抛物线的标准方程为y2＝x. 若抛物线的焦点在y轴上， 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 又因为抛物线经过点P(4，－2)， 所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4， 所以抛物线的标准方程为x2＝－8y. 4.已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点(－2，m)到焦点的距离为4，那么抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝4x D.y2＝－4x 答案　B 解析　因为抛物线的焦点在x轴上，且点(－2，m)在抛物线上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，因为点(－2，m)到焦点的距离为4，所以－(－2)＝4，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x. 5.设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3. 6.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　A 解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 7.(5分)在抛物线y2＝－12x上，且到抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　.  答案　(－6，6)，(－6，－6) 解析　由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3，0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x＝9， 解得x＝－6， 代入y2＝－12x，得y＝±6. ∴所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6). 8.(5分)已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1，2)，则PA＋PB的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意知，A为抛物线的焦点，设点P到准线y＝－的距离为d，易得点B在抛物线内部，则PA＋PB＝d＋PB，d＋PB的最小值为B到准线的距离，故最小值为2＋. 9.(10分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程. 解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 10.(10分)抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标. 解　设焦点为F， M点到准线的距离为d， 则d＝MF＝10， 即9＋＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝－4x. 将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6. ∴M点坐标为(－9，6)或(－9，－6). 11.(多选)关于抛物线y2＝10x，下列说法正确的是(　　) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1) 答案　BD 解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误； 设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋≠6，所以C错误； 由于抛物线y2＝10x的焦点为， 由题意知过原点的直线方程为y＝x， 设过焦点的直线的斜率存在， 方程为y＝k，直线过点(2，1)， 则k＝－2，因为×(－2)＝－1，所以D正确. 12.如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，大桥主跨OA长约500米，主塔AB的高约100米.缆悬索OB是以O为顶点并开口向上的抛物线C的一部分，则主塔顶端B点到抛物线C的焦点F的距离为(　　) A.725米 B.625米 C.600米 D.425米 答案　A 解析　以O为坐标原点，过O且与主塔AB平行的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B(500，100)，设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则5002＝2p×100，解得p＝1 250， 所以抛物线C的准线方程为y＝－625，BF＝100＋625＝725. 13.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则QF等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图. ∵＝4， ∴PQ∶PF＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4， ∴QF＝QQ'＝×4＝3. 14.已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为(　　) A.5 B.2－1 C.2 D.3 答案　B 解析　由题意知C(0，3)，半径r＝1，设P(x0，y0)， 则＝4y0， 所以PC＝ ＝ ＝， 故当y0＝1时，PCmin＝2， 所以PQmin＝PCmin－r＝2－1. 15.(5分)已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为　　　　.   答案　3－2 解析　抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2). 所以a2＝22－12＝3， 故双曲线的方程为－x2＝1. 设P(x，y)， 因为点P在x轴上方， 故由双曲线的性质可得y≥，＝(x，y)， ＝(x，y－2)， ·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y ＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1 ＝－1＝. 因为y＝<， 故函数f(y)＝在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.所以·的最小值为3－2. 16.(13分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值. 解　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0). ∵AB是OD的4倍， ∴点B的坐标为. 由点B在抛物线上，得＝－2p·， ∴p＝. ∴抛物线方程为x2＝－ay. 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点， 代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0， ∴y0＝－， ∴点E到拱底AB的距离 h＝－|y0|＝， 令h>3，则>3， 解得a>6＋或a<6－(舍去). ∴a的最小整数值为13. 学科网（北京）股份有限公司 $