第3章 3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦双曲线几何性质的综合应用，系统梳理共渐近线双曲线方程的设法、离心率范围的求法及几何性质的综合运用。以上节课双曲线基本几何性质为基础，通过问题链构建知识递进支架，助力学生深化理解。 资料以“例题解析-反思感悟-跟踪训练”为主线，例2通过锐角三角形条件推导离心率不等式，培养数学思维中的推理能力；例3结合向量运算解决面积问题，强化数学语言表达。课中辅助教师引导学生突破难点，课后课时对点练分层设计，帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2课时　双曲线几何性质的综合问题 学习目标　1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.2.理解双曲线离心率范围的求法.3.掌握双曲线几何性质的综合应用. 导语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关双曲线的综合问题. 一、共渐近线问题 例1　求与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的双曲线方程. 解　方法一　当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为＝1. 由题意，得 解得a2＝，b2＝4， 所以双曲线的方程为＝1. 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为＝1. 由题意，得 解得a2＝－4，b2＝－(舍去)， 综上所得，双曲线的方程为＝1. 方法二　设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 将点(－3，2)代入得λ＝， 所以双曲线方程为，即＝1. 反思感悟　利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性. 跟踪训练1　双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的方程. 解　设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝. 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1. 二、双曲线离心率的取值范围 例2　(1)已知点F是双曲线＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(1，2) C.(2，1＋) D.(1，1＋) 答案　B 解析　若△ABE是锐角三角形，则∠AEF<45°， 在Rt△AEF中，AF＝，EF＝a＋c， 所以<a＋c， 即2a2－c2＋ac>0，所以e2－e－2<0， 解得－1<e<2，又e>1，所以1<e<2. (2)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且右顶点到渐近线的距离与到直线x＝距离的比值大于2，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A. B. C.(1，2) D. 答案　A 解析　易得右顶点到渐近线的距离为，右顶点到直线x＝的距离为a－， 由题设条件有>2，整理得到>2，所以>4，即>4，解得1<e<. 反思感悟　求双曲线离心率范围的方法 (1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解. (2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围. 跟踪训练2　已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使，求双曲线的离心率的取值范围. 解　因为， 则PF1＝PF2，又>1， 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知PF1－PF2＝2a， 即PF2－PF2＝2a， 得PF2＝. 由双曲线的几何性质，知PF2≥c－a， 则≥c－a， 即c2－2ac－a2≤0， 所以e2－2e－1≤0， 解得－＋1≤e≤＋1. 又e>1， 所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1]. 三、双曲线几何性质的综合应用 例3　已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)求·的值； (3)求△F1MF2的面积. 解　(1)因为e＝， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x2－y2＝8. (2)由(1)知F1(－4，0)，F2(4，0)， ＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)， 所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10， 所以·＝12. (3)因为F1F2＝8，又由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 所以·F1F2·|m|＝4. 反思感悟　(1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算. (2)双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合. 跟踪训练3　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)经过点，且其离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，C的一条渐近线上有一点P满足PF2恰好垂直于这条渐近线，求△PF1F2的面积. 解　(1)依题意可得 解得 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)由(1)可知双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)， 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，不妨取其中一条渐近线为y＝2x， 则F2到直线y＝2x的距离d＝PF2＝＝2， 所以OP＝＝1，其中O为坐标原点， 所以×1×2＝1， 又， 所以＝2＝2. 1.知识清单： (1)共渐近线求双曲线的方程. (2)求双曲线离心率的取值范围. (3)双曲线几何性质的综合应用. 2.方法归纳：化归思想、数形结合法. 3.常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全. 1.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　由题意得c＝，， 则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1. 2.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)， 将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以PF＝3. 又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 3.已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2||≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.(1，] B.(1，2] C.[，＋∞) D.[2，＋∞) 答案　D 解析　设O为坐标原点，由2||≤||， 得4||≤2c(2c为双曲线的焦距)， ∴||≤c，又由双曲线的性质可得||≥a， 于是a≤c，∴e≥2. 4.已知椭圆＝1的右焦点F到双曲线E：＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是　　　　　.  答案　(1，2) 解析　椭圆＝1的右焦点F为(2，0)， 不妨取双曲线E：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0， 则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝<， 即有2b<c，∴4b2<3c2， ∴4(c2－a2)<3c2，∴e<2， ∵e>1，∴1<e<2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A.2 B.2 C. D.1 答案　A 解析　∵双曲线＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x， ∴点F到直线x－y＝0的距离为＝2. 2.已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　双曲线的渐近线为y＝±x，焦点在x轴上，设双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)， 即＝1，a2＝λ，b2＝3λ. ∵焦点坐标为(－4，0)，(4，0)， ∴c＝4， c2＝a2＋b2＝4λ＝16⇒λ＝4， ∴双曲线方程为＝1. 3.若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　) A.(，＋∞) B.(，2) C.(1，) D.(1，2) 答案　C 解析　由题意得双曲线的离心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a>1，∴0<<1， ∴1<1＋<2，∴1<e<. 4.(多选)双曲线C1：＝1(a>0，b>0)与C2：＝1(a>0，b>0)的离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是(　　) A.C1的焦点在x轴上，C2的焦点在y轴上 B.C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等 C.e1＋e2的最小值为2 D.e1e2＝4 答案　AC 解析　对于A，根据双曲线的标准方程的形式，可知A正确；对于B，由双曲线的几何性质，可得C1的焦点到其渐近线的距离为b，C2的焦点到其渐近线的距离为a，所以B错误；对于C，e1＋e2＝≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，所以C正确；对于D，e1e2＝·≥＝2(不是定值)，当且仅当a＝b时，等号成立，所以D错误. 5.设F是双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.(1，) B.(1，) C.(，＋∞) D.(，＋∞) 答案　C 解析　双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点， 且与双曲线左、右两支各有一个交点， 则>3，即b2>9a2，c2>10a2，可得e>. 6.(多选)在平面直角坐标系xOy中，双曲线A的焦点F位于x轴上，且双曲线A与双曲线B：－y2＝1有相同渐近线，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线A与双曲线B的离心率相等 B.双曲线A与双曲线B的焦距相等 C.若双曲线A的焦点F到渐近线的距离为2，则双曲线A的标准方程为＝1 D.若双曲线A的焦点F到渐近线的距离为2，则双曲线A的标准方程为＝1 答案　AD 解析　由题意可知双曲线A与双曲线B的离心率e＝，所以选项A正确；由双曲线A与双曲线B：－y2＝1有相同渐近线，则双曲线A的方程可设为－y2＝λ，且λ>0，则c2＝3λ＋λ＝4λ，即c＝2，一条渐近线方程为x－y＝0，若焦点到渐近线的距离为2，则＝2，解得λ＝4，所以双曲线A的方程为－y2＝4，即标准方程为＝1，且双曲线A的焦距为8，而双曲线B的焦距为4，所以选项B，C错误，选项D正确. 7.(5分)如果双曲线＝1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是　　　　　.  答案　(2，＋∞) 解析　如图， 因为OA＝AF，F(c，0)， 所以xA＝， 因为A在右支上且不在顶点处， 所以>a，所以e＝>2. 8.(5分)已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为　　　　　　　　.  答案　y＝±2x 解析　由已知令8kx2－ky2＝0， 得渐近线方程为y＝±2x. 9.(9分)已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－3，4). (1)求双曲线的方程；(4分) (2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求AB的长度.(5分) 解　(1)由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)， 把(－3，4)代入方程，整理得9－＝λ， 解得λ＝1，即双曲线的方程为x2－＝1. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由整理得3x2－12x＋10＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝， 由弦长公式可知， AB＝ ＝. 所以AB的长度为. 10.(10分)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求双曲线的离心率e的最大值. 解　由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝a，PF2＝a， 在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值， 因为cos∠F1PF2≥－1， 所以cos∠F1PF2＝e2≥－1， 解得e≤，即e的最大值为. 11.设椭圆＝1(a>b>0)和双曲线＝1的离心率分别为e1，e2，若e1∈，则e2的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得e1＝，e2＝， 因为e1∈，所以<1－<1，所以0<<，所以1<1＋<， 所以e2的取值范围是. 12.(多选)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为(　　) A.－y2＝1 B.y2－＝1 C.x2－＝1 D.－x2＝1 答案　AB 解析　由题意知c＝，设双曲线C的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)， ∴＝1， ∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5， ∴λ＝4或λ＝－4. 故双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1. 13.(5分)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点M为双曲线上一点，若M到原点的距离MO＝5，则△MF1F2的面积是　　　　　.  答案　16 解析　不妨取点M在双曲线的右支上， 由MO＝5可得点M在圆x2＋y2＝25上， 又易知F1F2＝10， 所以F1F2即为圆x2＋y2＝25的直径， 所以MF1⊥MF2， 利用双曲线定义可得MF1－MF2＝6， 利用勾股定理可得M＋M＝100， 所以(MF1－MF2)2＝M＋M－2MF1·MF2＝36， 可得MF1·MF2＝32， 因此△MF1F2的面积为S＝MF1·MF2＝16. 14.(5分)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且·＝0，则||的值为　　　　.  答案　2 解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为 F1(－，0)，F2(，0). 设点P(x，y)， 则＝(－－x，－y)， ＝(－x，－y). ∵·＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. ∴|| ＝ ＝＝2. 15.(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案　AB 解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 图1　　　　　　图2 所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝， 即或. 又b2＝c2－a2， 所以＝3或，所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝. 同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有或，所以或，亦可得到e＝或e＝2. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 16.(12分)已知点P(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(7分) (2)已知点A(4，0)，求PA的最小值.(5分) (1)证明　由已知可得a＝，b＝1， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x， 因为点P(x0，y0)到直线y＝x， 即直线x－y＝0的距离d1＝， 点P(x0，y0)到直线y＝－x， 即直线x＋y＝0的距离d2＝， 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积 d1d2＝·， 又点P(x0，y0)在双曲线上， 所以＝1， 所以－5＝5， 所以d1d2＝是一个常数. (2)解　因为点P在双曲线上， 则x0≤－或x0≥， 所以PA2＝(x0－4)2＋＝(x0－4)2＋－1 ＝－8x0＋15＝， 当x0＝时，PA2的最小值为， 所以PA的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $