3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

3．1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 学业标准 素养目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 1．通过椭圆性质的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养． [教材梳理] 导学　椭圆的简单几何性质 图中椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 　椭圆具有对称性吗？ [提示]　有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形． 　可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？ [提示]　可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a，0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b). 　椭圆方程中x，y的取值范围是什么？ [提示]　x∈[－a，a]，y∈[－b，b]. 　当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？ [提示]　b越小，椭圆越扁． ◎结论形成 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) __＋＝1__(a>b>0) 范围 __－a≤x≤a且－b≤y≤b__ __－b≤x≤b且－a≤y≤a__ 对称性 对称轴为__坐标轴__，对称中心为__原点__ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长B1B2＝__2b__，长轴长A1A2＝__2a__ 焦点 __F1(－c，0)，F2(c，0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 焦距 F1F2＝__2c__ 离心率 定义 焦距与长轴长的比____叫作椭圆的离心率，记为e 性质 离心率e的范围是__(0，1)__．当e越接近于1时，椭圆__越扁__；当e越接近于__0__时，椭圆就越接近于圆 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.(　　) (4)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(　　) 答案　(1)×　 (2) ×　(3)×　(4)√ 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 解析　将椭圆方程化为标准方程为＋＝1， ∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝. 答案　B 3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________． 解析　由题意知，2a＝8，e＝＝，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15. ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 答案　＋＝1或＋＝1 4．(2022·苏州高二课时练习)已知椭圆的焦距为4，离心率为，椭圆的短轴长是________． 解析　因为椭圆的焦距为4，离心率为，则a＝3，c＝2， 所以b＝＝，故椭圆的短轴长为2b＝2. 答案　2 题型一　椭圆简单的几何性质 　(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，关于椭圆C下列叙述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C．椭圆C的离心率等于 D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝ [自主解答]　由已知椭圆标准方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3. 长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3，0)，(－3，0)，B错误；离心率为e＝＝，C正确；将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，解得y＝±，∴PQ＝，D正确． [答案]　ACD [规律方法] 由椭圆标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a，2b，2c. [触类旁通] 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解析　(1)由椭圆C1：＋＝1，可知a＝