第1章 1.5.2 第1课时 点到直线的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“点到直线的距离”核心知识点，从实际问题（仓库到铁路的最短距离）引入，通过坐标法、向量法推导距离公式，结合例题（求点到直线距离、三角形面积）和跟踪训练巩固应用，构建“问题引入—公式推导—应用拓展”的学习支架。 本资料以真实情境激发探究欲，通过多种推导方法培养逻辑推理与运算能力，体现“用数学思维思考现实世界”。例题设计联系生活（“相关直线”“切割型直线”），培养模型意识与应用意识，符合“用数学语言表达现实世界”。课中问题链引导主动探究，课后分层练习帮助查漏补缺，提升教学效果与学习效率。

1.5.2　点到直线的距离 第1课时　点到直线的距离 学习目标　1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 导语 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 一、点到直线的距离公式 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为， ∴l'的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q， ∴PQ＝ 问题2　上述推导过程思路自然，但运算量较大.你还能通过其他途径求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的距离吗？ 提示　向量法可使运算简化. 可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量. (1)由平面向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B). (2)在直线l上任取一点M(x，y)，可得向量＝(x－x0，y－y0). (3)PQ＝||＝|·n|＝ 知识梳理 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 例1　(课本例4)分别求点P(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2. 解　(1)根据点到直线的距离公式，得 d＝＝2. (2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以 d＝. 例1　(1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为(　　) A B.3 C.2 D.1 答案　B 解析　联立解得即A(1，3)，所以点A到l3的距离d＝＝3. (2)在△ABC中，已知A(1，3)，B(3，1)，C(－1，－1)，则△ABC的面积为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由题意可知，kAB＝＝－1，AB＝＝2，可知直线AB：y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，可得点C(－1，－1)到直线AB的距离d＝＝3，所以△ABC的面积S△ABC＝d·AB＝×3×2＝6. 反思感悟　两点到直线的距离相等，可以用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法. 跟踪训练1　(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 答案　BC 解析　选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”； 选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”； 选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”； 选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”. 二、点到直线的距离公式的简单应用 例2　求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程. 解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意. 过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意. 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 反思感悟　(1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离. 跟踪训练2　(1)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A B.2－ C－1 D＋1 答案　C 解析　由点到直线的距离公式得＝1，即|a＋1|＝ ∵a>0，∴a＝－1. (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于　　　　　　.  答案　－6或 解析　依题意得， ∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，∴m＝－6或m＝ 三、点到直线距离公式的综合应用 例3　(1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为(　　) A B.1 C D.2 答案　A 解析　OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝ (2)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是　　　　.  答案　－1 解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2，1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. 跟踪训练3　(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标； (2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线， 则kOP＝1， 即OP所在的直线方程为y＝x. 由解得 即点P的坐标为(2，2). (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2， ∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式的推导过程. (2)点到直线的距离公式d＝ (3)公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在. 1.点(2，5)到直线y＝2x的距离为(　　) A B C D 答案　A 解析　直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B C.3 D.2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或 3.已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是(　　) A B C D.3 答案　B 解析　因为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为 4.已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为　　　　　　　　　 .  答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上，直线l的方程为 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1.若原点到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为(　　) A.c2＝a2＋b2 B.a2＝b2＋c2 C.b2＝a2＋c2 D.c＝a＋b 答案　A 解析　原点O(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为1， 则＝1，整理得c2＝a2＋b2. 2.已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1，2)到直线l1的距离为(　　) A.1 B.2 C D.2 答案　C 解析　由已知得，＝－a，＝1，∵l1⊥l2， ∴－a×1＝－1， 解得a＝1. 此时直线l1的方程为x＋y－1＝0， ∴点(1，2)到直线l1的距离d＝ 3.点P(2，3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 答案　A 解析　直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2，0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3. 4.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A.－ B.－ C D 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 ， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或－ 5.(多选)直线l过点B(3，3)，若A(1，2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　) A.3x＋4y－21＝0 B.4x＋3y－21＝0 C.x＝3 D.y＝3 答案　AC 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0. 6.(多选)已知平面上一点M(2，1)，若直线上存在点P使PM＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x B.y＝ C.y＝x＋1 D.y＝2x＋1 答案　AB 解析　直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离小于或等于1，否则不是“切割型直线”. 对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为＝1，A正确； 对于B，点M到直线y＝的距离为<1，B正确； 对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为>1，C错误； 对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为>1，D错误. 7.(5分)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线斜率为tan 60°＝， 所以可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5， 得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10. 所以直线方程为 x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 8.(5分)已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为　　　　　　.  答案　 解析　因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，所以所以0<a<2， 又a∈Z，所以a＝1，所以直线l的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0， 所以点A(1，－3)到直线l的距离为 9.(10分)已知△ABC三个顶点的坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S. 解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ，即x－2y＋3＝0. 设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 则d＝ 由两点间距离公式得BC＝＝2，所以S＝BC·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 10.(10分)已知直线l经过点P(－2，1)，且与直线x＋y＝0垂直. (1)求直线l的方程；(4分) (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.(6分) 解　(1)由题意知直线l的斜率为1，则所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，由点到直线的距离公式得，即|c－3|＝2， 解得c＝1或c＝5. 所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 11.(多选)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为(　　) A.(－1，0) B C.(1，6) D 答案　AB 解析　由AB＝＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(m，n)，又线段AB所在直线的方程为，即3x＋4y－17＝0， 所以解得或 故点C的坐标为(－1，0)或 12.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋2－2k上存在一点P，使得|OP|＝，则k的取值范围为(　　) A.[－2，＋2] B.(－∞，2－]∪[2＋，＋∞) C.[2－，2＋] D.(－∞，－2]∪[＋2，＋∞) 答案　C 解析　点O(0，0)到直线l：y＝kx＋2－2k的距离为d＝， 由题意得坐标原点到直线l的距离d≤|OP|＝， 即≤，解得2－≤k≤2＋， 所以k的取值范围为[2－，2＋]. 13.(5分)已知x＋y－3＝0，则的最小值为　　　　.  答案　 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝PA. PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝ 14.(5分)已知实数a>0，b<0，则的取值范围是　　　　　.  答案　(1，2] 解析　设直线l：ax＋by＝0，设点A(1，－)，则点A(1，－)到直线l：ax＋by＝0的距离为d＝， 因为a>0，b<0，所以d＝，则直线l的斜率为k＝－>0，所以d>1，当OA⊥l时，dmax＝OA＝＝2，所以1<d≤2. 15.(5分)在△ABC中，A(m，2)，B(－3，－1)，C(5，1)，若BC的中点M到AB的距离大于M到AC的距离，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  答案　 解析　由B(－3，－1)，C(5，1)得中点M(1，0)， 当直线AB，AC的斜率都存在时， 由A(m，2)，B(－3，－1)得kAB＝，m≠－3， ∴直线AB的方程为y＋1＝(x＋3)， 即3x－(m＋3)y－m＋6＝0， 由A(m，2)，C(5，1)得kAC＝，m≠5， ∴直线AC的方程为y－1＝(x－5)， 即x－(m－5)y＋m－10＝0， 由M到AB的距离大于M到AC的距离，得>，解得m<且m≠－3. 当直线AB的斜率不存在时，m＝－3，直线AB的方程为x＝－3， 直线AC的方程为x＋8y－13＝0， 则M到AC的距离为， 又M到AB的距离为4，满足题意. 同理可得，当直线AC的斜率不存在时，m＝5，不满足题意， 故实数m的取值范围为 16.(11分)已知点A(0，1)，B(1，1)，设过点P(0，－1)的直线l与△AOB的边AB交于点M(其中点M异于A，B两点)，与边OB交于点N(其中点N异于O，B两点)，若设直线l的斜率为k. (1)试用k来表示点M和N的坐标；(3分) (2)求△OMN的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；(4分) (3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值.(4分) 解　(1)如图所示， 由题意可得直线l：y＝kx－1，k≠0， 又直线l与线段AB，OB均相交，且交点异于点B， 则k>kBP＝＝2， 直线AB的方程为y＝1，直线OB的方程为y＝x， 联立解得即M， 联立解得即N (2)ON＝，又k>2，则ON＝， 点M到直线ON，即点M到直线OB：y＝x的距离d＝， 所以△OMN的面积S＝·ON·d＝··，k>2. (3)由(2)得S＝，k>2， 设t＝k－2，则t>0，即k＝t＋2， 则S＝···，t>0， 又t＋≥2，当且仅当t＝时等号成立， 即S≤·，当且仅当k＝2＋时等号成立， 即当k＝2＋时，S取最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $