专项突破02 与圆有关的综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

点为(0.-1)，因此，直线恒过的定点为(0，-1).故选C 9.A解析：由于x+my-m=0经过的定点为(0， 1 1),所以A(0,1),直线m-y-m+3=0变形 为m(x-1)-y+3=0,所以经过定点(1,3)，故 B(1,3).因为1·m+m·(-1)=0.所以两直线 垂直，如图，因此△ABP为直角三角形，所以 0=子A1=-o(-- 2 故选A 10,30°≤x<135°解析：直线：x+my+W3=0过定点A(-√3,0)，射线 x+y-1=0(x≤0)端点为B(0,1),倾斜角为135°，当直线1与射线 交点为点B时，此时直线1斜率为如一气颜斜角为30，当直线1 与射线平行时，直线1倾斜角为135"，此时没有交点，可知当30°≤ a<135时.直线与射线相交.故答案为30°≤a<135° 专项突破02与圆有关的综合问题 1.A解析：由题意，两圆半径相等，所以√5-a=2.解得=1.故选A 2.C解析：由题意可得，圆C,:(x-4)2+(4)2=25的圆心为(4,4)， 半径为5.因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+√3y+1=0对 称，又G:2+y2-4*m网+3=0的闋心为(2，-2所以2+3× 气2+1=0，解得m=25,所以圆C:(-2)2+(g+5)2=4圆 心为(2.-5)，半径为2，则两圆圆心距1C,C21= √/(4-2)2+(4+3)，因为5-2<1C1G21<√4+36<7=2+5.所以圆 C1与圆G:的位置关系是相交故选C. 3.D解析：园C:(x+2)2+(y-3)2=1的圆心为(-2,3)，半径为r=1, 因为直线11.2关于直线y=2x-1对称.11,2也关于直线CP对称， 则直线CP与直线y=2x-1垂直，所以直线CP的方程为y-3= 6 2（x*2),即x+2-4=0,由{任t2-40…解得 y=2x-1, 了所以点P 7 y=5 的坐标为(？？）放选n 4.D 解析：点A(x,片)，B(,归)的“对称距离” √(x12)+(,)户.相当于点B关于直线1：y=-x的对称点B (-乃，)与点A的距离，所以当点A,B在圆C上时，点B'在圆C 关于1的对称圆C上，又侧心C到直线1的距离4：4+0-25，所 2 以圆C与1相离，从而圆C与圆C外离，所以A,B的“对称距离”的 最小值，即为两圆上的点A.B的距离的最小值.也即点A到（的距 离的最小值的两倍.其中点A到1的距离最小值为圆心C到直线1 的距离诚去半径，即22-2，所以所求最小值为2×(22-2)=42 4.故选D. 5.3x+y-3=0解析：若A,B关于直线x+y-3=0对称，则直线经过 圆心C(0,1),将坐标代入可得a=3 若圆上存在A,B两点关于点P(1,2)对称，则CP⊥AB,且P为AB的 中点 如合1，故w-1直线的方程为y一2-(-，即 x+y-3=0.故答案为3，x+y-3=0. 6.BCD解析：由圆0：x2+y2=4,则圆心0(0.0).半径r=2.由于 10M川=√1+2=√3<2.所以点M在圆0内部.当0M⊥AB时. 1AB1m=2√P-0M产=2√4-3=2，故A错误：此时同0上的点到 直线AB的距离最小为0.圆)上的点到直线AB的距离最大为 1OM川+r=2+√/3，故CD正确：当直线AB的斜率不存在时.直线AB 的方程为x=1.此时A(1.3).B(1,-3).则|AB1=23. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-√2=k(x-1), 参考答案 即红-+2=0，则圆心0(0,0)到直线B的距离为-+2 R+1 32+22k+2 所以1AB1=2√个-=2 /1-k+w21 4 =2 k2+1 当14B1=3时，即2 3k2+22k+2 =3,整理得32+82k-1=0,由于 2+1 4=(82)2-4×3×(-1)=140>0.则方程32+82k-1=0有两个不 相等的实数根， 则满足1AB1=3的弦有且只有2条，故B正确， 故选BCD. 7.D解析：x2+y2-2x-4y=0可化为(x-1)2+(y-2)2=5,故圆N的圆 心为(1,2).半径为5， 由题意可知，AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所 以IAB1≤2且IAB1≤25.故IAB1≤2. 当M的坐标为(1,0)时，1AB1=2,在△NAB中，cs∠ANB= INAI2+INBI2-1AB12 10-1ABI23 2INAI·INBI 10≥3 又∠AB∈(0，T],y=sx在x∈[0，T]上单调递减，故∠ANB为锐 角，且当mLB=号时，∠AB最大。 又y=mx在xe(受，受)上单调递增，所以当∠AB最大时。 m∠AB取得最大值，且最大值为子，故选D &.D解析：由题意，1PNI-PM的值最大时，1PV1最大，IPM1最小， 设圆E:2+)2=子，可得圆心(0，，半径1=2 4 设圆：(-2)22=号，可得圆心2.0)，半径2号 则PWI的最大值为IPF1+ 1PW的最小值为E子所以 1 1 1 (IPNI-IPM)=F+2-IPEI-2)=IPFI-IPEI+1. 因为P(1,)在直线y=x上，E(0.1)关于y=x的对称点为E(1,0): 直线E'F与y=x交点为O(0,0),所以IPFI-1PE1=PF-|PE1≤ 1EF1=1,P,E',F共线时等号成立，所以1PV1-1PW1的最大值为1+ 1=2.故选D. 9.49解析：由x2+y2-6r-8r+21=0,得(x-3)2+(y4)2=4.则方程 x2+y2-6x-8y+21=0表示以C(3,4)为圆心，以r=2为半径的圆。 x+y2表示圆上的点(x,y)与原点0之间距离的平方 设点(xy)与原点0之间距离为d,则dm=0C1+r=√3+4+2= 7.所以x2+2的最大值为49.故客案为49. 10.V26解析：由题意，设21PA1=1PE1,P(x,y),E(m,n),所以 4]=2+0.则48 3 m2+n2-4 3 (8+2m=0. 由于P(x,y)是圆C:x2+y2=4上的点.所以{2n=0. 解得 m2+n2-4=12. {m=4即E(-4,0),所以21P+1PB1=PE1+PB1≥BE1= (a=0. 黑白题121 √26，如图，所以21PAI+1PB1的最小值为26.故答案为√26. 11.(1)解：由(-2)2+(2)=6，得点(-2.2)在圆0上，则过点(-2， 的圆0半径所作直线斜率为冬因比所求切线解率为后，方 程为y-2=√2(x+2).即y=2x+3W2 (2)①解：显然直线AB的斜率存在且不为0，设方程为y=(x-6) 而圆0半径为6，则△0BC的面积S△ac=210B110C1· sin∠BOC=3sin∠BOC≤3，当且仅当∠B0C=90时取等号，此时圆 心0到直线B的距离4：经6=尽，此6 =3,解 C+1 得←=t√IΠ直线AB:y=±(x-6》.即在√-6=0，所以 △OC的面积最大值为3，此时直线AB的方程为x±√11y-6=0 ②证明：设直线BC方程为y=红+m,B(x,山)，C(x2,9),由 {消去y得+1)2+2m+m2-6=0,则年+=-20 lx2+2=6. 2+1 m2-6 y,体，+m x1为= +直线B的斜率为w6-6 直线AC的斜 率ke三 Ex:+m ,依题意，kn+林C= 6-60,整理得2+ 保，+m2+m （m-6)(1t5)-12m=0.即有2m2-6）2m（m-6）-12m0.化 2+1 2+1 简得m=-1.经验证(2+1)x2+2mx+m2-6=0的1>0.因此直线 BC:y=1(x一1)恒过定点(1,0)，所以直线BC经过定点. 12.(1)解：根掘题意，4(4,0)，B(0.4).设Q(xy),P(x1).则Ad (x4,).Q币=(x1xyy）,由于A0=20币，所以(x-4,y)=2(x1 3 422 xy),得 3 将其代人x2+y2=16,得x2+28x-16 33 2 0.故点Q的镜达方君为2-号卢=0 (2)解：根据垂径定理可得d=√4-7=3 ①当斜率不存在时，直线m的方程为x=3,直线m截圆0轨迹所 得弦长为1=2√-■27，符合题意： ②当斜率存在时，设直线m:y4=k(x一3)，圆心到直线m的距离为 d14-3w1 √+1 3,解得水=子综合①@可知直线加的方程为7： -24y+75=0或x=3 (3)证明：设P(x),则+=16，直线P方程是y- -4y 4),令x=0.得y= 直线BP方程是y= -4 +4.令y=0.得x 1-4 所以1AN1·1BM1= -41 4·4 4、 1-4 16 (1-4)2 =16 x+7+2x11-81-8y1+16 (1-4)(y1-4) xy-4t1-4y,+16 16+2x11-81-81+16 =32,即为定值 x11-41-4y1+16 13.解：(1)由知，直线0P方程为y=3,则由 【解得 y=3 选择性必修第一册，SJ号 3 P(专)）点P为线段的中点 0- 2 =-1.a=-2 +2 (2)由a=-2,则圆心C(-2.0)C到直线y=-x-1的距离为d= 方w=2() 12 =2.又0到直线y=-x-1的 12 五头2，，盟上海与，之，S△三之× 2 2=2 (3)如图，由圆C与x轴交于A.B两 点，得A(-3.0).B(-1.0),不妨设直 线Q川的方程为y=(x+3),其中k 0.在直线QA的方程中，令x=-4,可得 B R(-4,-k),Q4⊥QB,则直线QB的 方程为y=本(+)，在直线QB的方 程中，令-4.可得y=2即点(4 .则线段s的中点为 r) ,圆的半径平方为 2+3 2k …以线段S为直径的 圆的方程为(x+4)2+(2站】 3-k2 k+3 2k ,即(x+4)2+y2- 3-2 1(x+4)2-3=0 3=0,由y=0. 解得4W3因此当点Q变化 -3<x<-1, (y=0, 时，以S为直径的圆恒过圆C内的定点(-4+3,0). 14. 解：(1)设P(x.y),则有1PA1=√+(4)，1PB1= +(3-1),又因为1PA1=21PB1,即有√F+(y-4)= 2+(y-1)了，整理得x2+y2=4.所以曲线E的方程为x2+y2=4 (2)因为∠C0D=120°，10D1=10C1=2, 如图①，取CD的中点E,连接OE,则OE⊥CD且OE平分CD. 又因为∠DCD=30°，所以1DE1=1,脚园心0到直线1的距离为1， 由点到直线的距离公式可得14 二=1.解得k=±15.所以直线1 1+ 的斜率为±√15 (3)因为k=1,所以直线：y=x-4,设Q(m,m-4),由题意可知 Q,M,0.N四点在以OQ为直径的园上，所以此圆的方程为 (受八(）“g博rr-m 4 0,由（m40可得m+(m-4)y=4,即m(x+y）- 44=0,即直线HN的方程为m(x+y)-4y-4=0,所以直线N过 定点S(1,-1),点T在圆F:(x-4)2+(y-3)2=1上如图②，所以当 T为SF的延长线与圆F的交点时，点T到直线MN的距离有最大 值.此时I7S1=1SF1+1.又因为1SF1=√(4-1)2+(3+1)2=5.所以 1TS1=6即点T到直线MN距离的最大值为6 2 23456x 专项突破03与圆有关的轨迹问题 1.C解析：设C(x,y）,由题意知，14B1=(3-4)2+(5-2)=√10， 白题122©专项突破02 与圆有关的综合问 题组。圆的对称问题 1.(2025·陕西安康高二期中)若存在点P, 使得圆C,:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+ 2y+a=0关于点P对称，则a=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·河南南阳高二月考)已知圆C,的 标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2: x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+W3y+1=0对 称，则圆C,与圆C,的位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 3.(2025·浙江温州高二期中)过直线y=2x- 1上的点P作圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的 两条切线11，l2,当直线L1,l,关于直线y= 2x-1对称时，则点P的坐标为( A.(1,1) () B. c ( n.(g) 4.(2025·山西晋城高二期中)已知点A(x1, y1),B(x2,y2),定义√（x1+y2)2+(x2+y1) 为A,B的“对称距离”.若点A,B在圆C: (x-4)2+y2=4上，则A,B的“对称距离”的 最小值为 () A.2 B.2√2 C.√2+1 D.42-4 5.(2025·江苏无锡高二月考)已知A,B两点 是圆C:x2+(y-1)2=4上的两点，若A,B关 于直线x+ay-3=0对称，则实数 a= :若点A,B关于点(1,2)对称， 则直线AB的方程为 02黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 题 题组已圆的最值问题 6.(多选)(2025·辽宁省实验中学高二期 中)已知点M(1,√2)，过点M的直线交圆 0:x2+y2=4于A,B两点，则下列说法正确 的是 () A.IAB1的最小值为1 B.满足IAB引=3的弦有且只有2条 C.当1AB1最小时，圆0O上的点到直线AB 的距离最小值为0 D.当IABI最小时，圆O上的点到直线AB 的距离最大值为2+√3 7.(2025·江苏扬州中学高二月考)若圆M: (x-cos0)2+(y-sin0)2=1(0≤0<2π)与圆 N:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点，则 tan∠AWNB的最大值为 () 3 A. B. 5 4 5 4 c. 4 D. 8.(2025·江苏徐州高二月考)已知点P(t, t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=子上的动 点，点N是圆(-2)2+=上的动点，则 IPNI-IPMI的最大值是 () A.√2-1 B.√3-1 C.1 D.2 9.(2025·浙江宁波高二期中)已知实数x,y 满足x2+y2-6x-8y+21=0,则x2+y2的最大 值为 10.(2025·广东汕头高二月考)现已知定点 A(-1,0),B(1,1),点P是圆C:x2+y2=4 上的动点，则2IPAI+IPBI的最小 值为 题组目圆的定点、定值问题 11.(2025·江苏南通启东中学高二月考)已 知圆0：x2+y2=6 (1)求过点(-2，√2)且与圆0相切的直 线的方程： (2)若点A(6,0),B,C是圆0上两点， ①若A,B,C共线，求△OBC的面积最 大值及此时直线AB的方程： ②若直线BC斜率存在，且直线AB与 AC斜率互为相反数，证明：直线BC 经过定点 2.(2025·江苏镇江高二月考)已知圆0： x2+y2=16分别与x,y轴正半轴交于A,B 两点，P为圆O上的动点 (1)若线段AP上有一点Q,满足AQ= 2QP,求点Q的轨迹方程； (2)过点(3,4)的直线m截圆0所得弦长 为27，求直线m的方程； (3)若P为圆O上异于A,B的动点，直线 AP与y轴交于点M,直线BP与x轴 交于点N,求证：IANI·IBMI为定值 进阶突破·专项练03 13.(2025·江苏南京高二月考)已知圆C: (x-a)2+y2=1与直线y=-x-1交于M,N 两点，点P为线段MN的中点，O为坐标 原点，直线0P的斜率为-3 (1)求a的值； (2)求△MON的面积； (3)若圆C与x轴交于A,B两点（点A在 点B左边)，点Q是圆C上异于A,B 的任意一点，直线QA,QB分别交I: x=-4于R,S两点.当点Q变化时，以 RS为直径的圆是否过圆C内的一定 点？若过定点，请求出定点；若不过定 点，请说明理由。 04黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 4.已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P 满足IPA|=2IPB1,设动点P的轨迹为曲 线E,直线l:y=kx-4. (1)求曲线E的方程； (2)若l与曲线E交于不同的两点C,D, 且∠C0D=120°(0为坐标原点)，求 直线I的斜率： (3)若k=1,Q是直线1上的动点，过Q作 曲线E的两条切线QM,QN,切点为 M,N,设点T在圆F:(x-4)2+(y-3)2= 1上，求点T到直线MW距离的最 大值