第2章 圆与方程 章末检测试卷(二)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦圆与直线位置关系，通过基础计算、综合应用及实际情境题（如海上平台安全预警），适配高中数学圆单元复习，检测数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|弦长计算、切线方程等|如第1题基础弦长公式应用，第6题结合对称求最值，梯度分明| |多项选择题|3/18|圆与直线位置关系判断|如第9题多选项综合分析直线与圆位置及中点轨迹，考查批判性思维| |填空题|3/15|参数范围、最值问题|如第14题利用圆对称性结合基本不等式求最值，渗透数学运算素养| |解答题|5/77|实际应用与代数几何综合|第17题海上安全预警区建模，第19题三点共圆证明，突出数学建模与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

章末检测试卷(二) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意得，圆心为(－1，0)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝， 所以所求的弦长为2＝2. 2.若点P(1，1)为圆A：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　) A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0 答案　D 解析　由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3，0). 因为点P(1，1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN. 又AP的斜率k＝＝－， 所以直线MN的斜率为2， 所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 3.圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3，1)，则直线l的方程为(　　) A.2x－y－5＝0 B.x－2y－1＝0 C.x－y－2＝0 D.x＋y－4＝0 答案　D 解析　由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2，0)，半径为，直线AC的斜率k＝1，则直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0. 4.已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　B 解析　因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心C2(b，2)，半径r2＝2，圆C1与圆C2外切，所以C1C2＝＝|a＋b|＝3，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝≤，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为. 5.已知圆M：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M半径最小时圆M的标准方程为(　　) A.(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝25 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝25 答案　B 解析　圆M化为标准方程即(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1， 则圆心M(a，b)，半径为， 圆N化为标准方程即(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 则圆心N(－1，－1)，半径为2，圆M与圆N的方程作差， 得相交弦AB所在直线的方程为(2＋2a)x＋(2＋2b)y－1－a2＝0. 又A，B两点平分圆N的圆周， 则圆心N(－1，－1)在相交弦AB所在的直线上， 可得－2－2a－2－2b－1－a2＝0， 即b＝－a2－a－＝－(a＋1)2－2≤－2，b2≥4， 当且仅当a＝－1 时取等号，则b2的最小值为4， 此时圆M的半径最小，为，圆心M(－1，－2)， 故圆M半径最小时圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 6.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　) A.5－4 B.－1 C.6－2 D. 答案　A 解析　由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2，3)，C2(3，4)，因为PM≥PC1－1，PN≥PC2－3，所以PM＋PN≥PC1＋PC2－4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以PC1＋PC2＝PC＋PC2≥CC2＝5，即PM＋PN≥PC1＋PC2－4≥5－4. 7.已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为在圆O上总存在不同的两点A，B使得AB垂直平分OP， 由垂径定理得，OP垂直平分AB， 又因为AB垂直平分OP， 所以OP的中点与AB的中点重合， 所以OP的中点在圆O内， 所以<1， 即<4， 又3x0＋2y0－4＝0，所以13－16y0－20<0， 解得－<y0<2. 所以y0的取值范围为. 8.已知圆C：x2＋y2－2x＝0，直线l：x＋y＋1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当PC·AB最小时，直线AB的方程为(　　) A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.2x－2y＋1＝0 D.2x＋2y＋1＝0 答案　A 解析　由圆的知识可知，P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，圆C的圆心C(1，0)，半径r＝1， 所以PC·AB＝4S△PAC＝4××PA·AC＝2PA，而PA＝， 当直线PC⊥l时，PC最小，从而PA最小，此时PC·AB最小， 直线PC的方程为y－0＝x－1，即y＝x－1， 联立解得P(0，－1)，所以PC的中点坐标为，PC＝， 所以以PC为直径的圆的方程为 x2＋y2－x＋y＝0， 又圆C：x2＋y2－2x＝0， 两圆的方程相减可得x＋y＝0， 即直线AB的方程为x＋y＝0. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则(　　) A.直线l与圆C的位置关系无法判定 B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最大距离为＋2 C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0 D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点在某个定圆上 答案　BCD 解析　由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆心C的坐标为(3，4)，半径为2. 由直线l的方程可得y－3＝k(x－4)，则直线l恒过定点(4，3)，易得此点在圆C内部，故直线l与圆C相交，故A错误； 当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C(3，4)到直线l的距离为d，则d＝，所以圆C上的点到直线l的最大距离为＋2，故B正确； 当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C(3，4)到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0，故C正确； 设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P在以AC为直径的圆上，故D正确. 10.已知A(－3，0)，B(0，4)，点C在圆(x－m)2＋y2＝1上运动，若△ABC的面积的最小值为，则实数m的值为(　　) A.－3 B.－ C. D.－ 答案　BD 解析　如图所示， ∵圆(x－m)2＋y2＝1的圆心坐标为(m，0)，半径为1， 过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于C， 此时△ABC的面积最小， 易得直线AB的方程为4x－3y＋12＝0，AB＝5， ∴圆心到直线AB的距离d＝， ∴△ABC的面积的最小值为S＝×5×， 解得m＝－，m＝－， ∴实数m的值为－或－. 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足.设点P的轨迹为C，则(　　) A.轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9 B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得 C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线 D.在C上存在点M，使得MO＝2MA 答案　BC 解析　在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足， 设P(x，y)，则，化简得x2＋y2＋8x＝0， 即(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误； 假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E， 使得， 设D(m，0)，E(n，0)， 则＝2， 化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0， 由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0， 解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，所以B正确； 当A，B，P三点不共线时，， 可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确； 若在C上存在点M，使得MO＝2MA， 可设M(x0，y0)， 则＝2，化简得x0＋＝0， 与＋8x0＝0联立，方程组无解，故C上不存在点M得MO＝2MA，所以D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.过点(1，2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　(3，7) 解析　把圆的方程化为标准方程得 (x＋1)2＋(y－2)2＝7－k， ∴圆心坐标为(－1，2)，半径r＝， 则点(1，2)到圆心的距离d＝2. 由题意，可知点(1，2)在圆外， ∴d>r，即<2，且7－k>0， 解得3<k<7，则实数k的取值范围是(3，7). 13.已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则的最大值为　　　　　.  答案　 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1，2)，半径为1，代数式表示圆上的点(a，b)与定点(－1，1)连线的斜率，设过点(－1，1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝，则的最大值为. 14.若圆(x＋1)2＋(y－1)2＝5上存在两点关于直线2ax－by＋3＝0(a>0，b>2)对称，则的最小值是　　　　.  答案　4 解析　∵圆(x＋1)2＋(y－1)2＝5上存在两点关于直线2ax－by＋3＝0(a>0，b>2)对称， ∴该直线经过圆心(－1，1)， 即2a×(－1)－b×1＋3＝0，即2a＋b＝3， ∴2a＋b－2＝1， ∴(2a＋b－2)＝1＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当，即a＝，b＝时，等号成立，故的最小值为4. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆心在第二象限，半径为4，求圆的一般方程. 解　由题意得，圆心C， 因为圆心在直线x＋y－2＝0上， 所以－－2＝0，即D＋E＝－4. ① 又因为半径r＝＝4， 所以D2＋E2＝40. ② 由①②可得或 又因为圆心在第二象限， 所以－<0，－>0，即D>0，E<0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－6y－6＝0. 16.(15分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8. (1)求证：直线l与圆C恒相交；(7分) (2)当m＝1时，过圆C上的点(0，3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围.(8分) (1)证明　直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，联立解得 故直线l恒过点A(3，2). ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 即点A在圆C内， ∴直线l与圆C恒相交. (2)解　由题意知，直线l1的方程为x＝0. 又当m＝1时，l：x＋y＝5， ∴联立得交点P(0，5)， ∴PC＝2，∴PQ∈[2－2，2＋2]. 17.(15分)为了保证某油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向2 km处设立观测点A，在平台O的正东方向12 km处设立观测点B，规定经过O，A，B三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(4分) (2)某日经观测发现，在该平台O正南10 km的C处，有一艘轮船正以每小时8 km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？(11分) 解　(1)由题意得A(－2，2)，B(12，0)， 所以AB＝＝10(km). (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为该圆经过O，A，B三点， 所以解得 所以该圆的方程为x2＋y2－12x－16y＝0， 即(x－6)2＋(y－8)2＝100. 设轮船航线所在的直线为l，则直线l的方程为y＝x－10. 圆心(6，8)到直线l：x－y－10＝0的距离d＝＝6<r＝10. 所以直线l与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线l截圆所得的弦长为 L＝2＝4(km)， 行驶时长t＝＝0.5(h). 即轮船在安全预警区内行驶时长为半小时. 18.(17分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围；(7分) (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积.(10分) 解　(1)设直线l的方程为y＝kx＋1. 因为直线l与圆C交于两点，所以<1， 解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设得＋8＝12，解得k＝1， 所以直线l的方程为y＝x＋1， 所以圆心C在直线l上，所以MN＝2. 原点O到直线l的距离d＝， 所以△OMN的面积 S＝MN·d＝×2×. 19.(17分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)是否存在实数m，使得AC⊥BC？说明理由；(7分) (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(10分) (1)解　不存在实数m，使得AC⊥BC.理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又点C的坐标为(0，1)，x1≠0，x2≠0， 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－≠－1， 所以不存在实数m，使得AC⊥BC. (2)证明　BC的中点坐标为，可得BC的垂直平分线方程为y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的垂直平分线方程为x＝－. 联立 又＋mx2－2＝0， 可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝. 故该圆在y轴上截得的弦长为2＝3， 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $