第2章 圆与方程暑假单元测试-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

**基本信息** 圆与方程单元复习卷，覆盖圆的方程、直线与圆位置关系等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直径圆方程（第1题）、直线与圆位置关系（第2题）、公共弦方程（第6题）|设置多选（第9题）考查直线相切多解，结合对称性质（第7题）提升推理能力| |填空题|3题/15分|直径端点坐标（第12题）、点到直线距离（第13题）|动态点轨迹（第14题）体现数学眼光，强化空间观念| |解答题|5题/77分|轨迹方程证明（第17题）、面积最值（第19题）|综合题（第18题）融合相切、中点轨迹与面积优化，培养数学语言表达与问题解决能力|

第2章 圆与方程 暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 2．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【解析】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 3．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 4．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 5．已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 6．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 7．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而 . 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 8．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 10．已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【解析】对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD 11．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（     ）    A．关于轴对称 B．上的点到原点的距离最小值为 C．与轴围成的图形的面积等于 D．截直线所得弦长为 【答案】ABD 【解析】由题意可知，三段弧长可表示为： ， ， ， 选项A：由图象可知三段弧长整体关于轴对称，故A正确； 选项B：结合图象可知上的点到原点的距离最小值点为点， 距离为，故B正确； 选项C：与轴围成的图形由半径为2的半圆、两个半径为2的圆及两个边长为2的正方形组成， 故，故C错误； 选项D：与联立得， 解得，结合得，故交点为； 与联立得， 解得，结合得，故交点为， 与无交点， 综上，弦长为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 13．圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【解析】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 14．在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】设上的点，，点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为， 设，且， 所以，整理得，所以， 所以，所以能成立， 所以或，所以； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【解析】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 16．（15分） 已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【解析】（1）证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 18．（17分） 已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【解析】（1）由圆，可得圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，符合题意； 若直线的斜率存在，设切线方程为，则， 故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． （2）①设点，， 由点是的中点和点， 得，所以， 因为在圆上运动，所以， 联立得， 化简得点的轨迹方程是； ②由题可知为的轨迹的圆心，设圆心到直线距离为， ，则， 当即时，的面积最大， 若直线的斜率不存在，则其方程为，此时点到直线的距离，因，故不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，解得． 19．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； （3）设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 第2页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程 暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 2．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 5．已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 8．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 11．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（     ）    A．关于轴对称 B．上的点到原点的距离最小值为 C．与轴围成的图形的面积等于 D．截直线所得弦长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 13．圆上的点到直线的最小距离是______. 14．在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 16．（15分） 已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 18．（17分） 已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 19．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 第4页，共13页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $