直线、圆、椭圆的方程单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 直线、圆、椭圆的方程单元测试卷 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 3．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知的两个顶点，坐标是，，且，所在直线的斜率之积为，则“”是“点的轨迹为椭圆(去掉点，)的”（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（    ） A． B． C． D． 7．记曲线围成的平面图形的面积为，曲线围成的平面图形的面积为，则（    ） A． B． C．16 D． 8．已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知椭圆：.则下列结论正确的是（    ） A．长轴为6 B．短轴为4 C．焦距为 D．离心率为 10．已知半径为的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 11．设直线，圆，则下列说法正确的有（   ） A．恒过定点 B．被圆截得的弦长最小值为4 C．的倾斜角不可能为 D．时，不经过第一象限 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 13．三角形ABC点，角B、角C的角平分线分别与直线和重合，则BC所在直线方程 ． 14．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线、，且切点为、，当最小时，则直线的方程为 . 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 16．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 17．已知点A是圆上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足，记动点P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：为定值． 18．如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．    (1)求的方程； (2)若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 19．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C A D A ABD CD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】设的中点，则，代入圆的方程化简可得答案. 【详解】设的中点，则， 因为点为圆上的动点，所以， 即. 故选：D. 2．D 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点坐标，列式求出值. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标是， 得椭圆的长轴在轴上，,,,. 又因为在椭圆中，， 所以. 故选：D 3．A 【分析】根据一般方程写出一个方向向量，利用向量平行确定答案. 【详解】直线方程可化为，即直线的一个方向向量为， 各选项中与平行的向量为，即可作为直线的方向向量. 故选：A 4．C 【分析】由椭圆的长轴长是短轴长的3倍得，由得，即可求解离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍， 所以，得，又因为，所以， 可得，因此的离心率. 故选：C. 5．C 【分析】设点，由题求出点的轨迹方程，然后讨论范围确定所对应的轨迹. 【详解】设点，则斜率，斜率. 依题有，则得点的轨迹方程为. 当且时，点的轨迹为去掉点，两点的椭圆； 当时，点的轨迹为去掉点，两点的圆. 所以“”是“点的轨迹为椭圆(去掉点，)的必要不充分条件. 故选：C. 6．A 【分析】根据三角形平分线性质求得，利用定义及比例即可求解. 【详解】因为的角平分线交线段于点， 所以， 所以由正弦定理得，， 又因为，， 所以，即，不妨设，如图： 则，解得， 所以， 由题意，，所以，即. 故选：A 7．D 【分析】依次讨论两曲线中的正负，去掉绝对值得到曲线的图形，再利用数形结合即可得解. 【详解】对于曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 因为，所以，不同时为0， 画出曲线的大致图象，如图， 则曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 则曲线围成的面积为上图虚线围成的边长为的正方形， 故面积为， 所以. 故选：D. 8．A 【分析】先求出曲线C，再应用三角换元，结合点到直线距离公式及三角函数值域得出最大距离. 【详解】因为，曲线上的点构成集合， 设曲线C上的点，则， 所以，所以，即， 所以设， 所以曲线上的点到直线的最大距离为 ， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，曲线上的点到直线的最大距离为. 故选：A. 9．ABD 【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可. 【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为. 所以A、B、D对，C错. 故选：ABD 10．CD 【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 所以； 若动圆与已知圆内切，则， 所以． 故选：CD 11．ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；求出最短弦长判断B；取值说明判断C；求出直线的横纵截距判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，而，圆半径，， 当时，被圆截得的弦长最短为，B正确； 对于C，当时，直线倾斜角为，C错误； 对于D，当时，直线的横纵截距分别为，都小于0，因此不经过第一象限，D正确. 故选：ABD 12．/ 【分析】首先由两直线平行求出参数，然后由平行线之间的距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意直线与直线平行， 所以，解得， 所以两平行线、之间的距离为. 故答案为：. 13． 【分析】分别求得点关于直线和直线的对称点即可. 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 同理求得关于直线的对称点为点， 所以直线BC的斜率为， 所以直线BC的方程为；，即， 故答案为： 14． 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆：可化为， 所以圆心，半径为，    因为，是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故答案为：. 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16．(1)或． (2)（ⅰ）或（ⅱ）． 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令，列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解（ⅰ），换元令，结合基本不等式判断（ⅱ）即可求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴，轴上的截距分别为，， 所以，解得， 所以的面积，    （ⅰ）由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． （ⅱ），令，则，且， 则， 当且仅当，即，时，的面积取最小值， 此时直线的方程为． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，利用相关点法求解动点的轨迹方程； （2）设直线l的方程为，，，与椭圆方程联立，韦达定理，根据两点距离公式代入韦达定理化简即可证明. 【详解】（1）设，，因为B为A在x轴上的射影，所以． 已知，则，可得，即． 又因为在圆上，将代入圆方程得， 即，所以E的方程为． （2）设直线l的方程为，，设，． 将代入得：，化简得． 即， 由韦达定理得，． 根据两点间距离公式，， ． 所以． 把，代入得： ． 所以为定值5． 18．(1) (2)，此时、. 【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程； （2）运用圆外定点到圆上的点的距离最大值为到圆心的距离加半径可得当三点共线，同时三点共线，最大，结合圆的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，，所以， 于是的方程为； （2）， 当三点共线，同时三点共线，有，、 由，，则此时， 故，， 则，同理可得.    19．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $