第2章 习题课 与圆有关的最值(范围)问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“与圆有关的最值（范围）问题”，系统梳理距离（圆外点到圆上点、圆上点到直线等）、面积（三角形、四边形等）及数学式几何意义（斜率、截距、距离平方）的最值求解，构建从几何性质到代数方法的学习支架。 资料以数形结合为主线，通过“原理-例题-反思-训练”结构培养数学眼光（观察圆的对称性）、数学思维（转化问题为距离或斜率），如例1利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值。课中辅助教师分层教学，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

习题课　与圆有关的最值(范围)问题 学习目标　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 导语 我们知道，圆是数学中最优美的图形之一，具有对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的几何性质，利用数形结合来求解.我们也可以运用代数的方法解决与圆有关的最值问题. 一、与距离有关的最值问题 已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r. 1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. 4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. 例1　(1)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最大值为(　　) A. B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最大值等于圆心(1，1)到直线l的距离加上圆的半径，即＝3. (2)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　) A. B.－1 C.6－2 D.5－4 答案　D 解析　如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3，4)，半径为3. 设M'为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M'，N三点共线时，PM＋PN＝PM'＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2－3－1＝－4＝5－4. 反思感悟　(1)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值. (2)圆上一点到定直线的距离的最值，可以转化为圆心到直线的距离加上或减去半径. 跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　) A.－1 B.1 C.2 D.0 答案　B 解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m，1)，半径为1，当切线长最短时，CP最小，CP＝，即当m＝1时，CP最小，切线长最短. (2)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1经过点A(3，4)，则其圆心到原点O的距离的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1经过点A(3，4)，可得(3－a)2＋(4－b)2＝1， 即(a－3)2＋(b－4)2＝1，故圆心(a，b)的轨迹是以A(3，4)为圆心，1为半径的圆， 又AO＝＝5，所以圆心到原点O的距离的最大值为5＋1＝6. 二、与面积相关的最值问题 例2　(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2， O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离最小时， △OAM的面积最小， 又M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 则△OAM面积的最小值S＝×OA×d＝1. (2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k＝　　　　.  答案　2 解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形PACB面积的值S＝2S△PBC， 又四边形PACB面积的最小值是2，则S△PBC的最小值为1， 即1＝r·PBmin＝PBmin， 则PBmin＝2， 因为PB＝， 所以当PC取最小值时，PB最小. 又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点， 所以当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，PC最小， 所以，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2. 反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　B 解析　设圆心到直线的距离为d(0<d<1)， 则所截得的弦长l＝2， 所以S△OAB＝×2·d＝， 由基本不等式，可得S△OAB＝≤， 当且仅当d＝时，等号成立. 即△OAB面积的最大值为. 三、利用数学式的几何意义求解圆的最值问题 例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值. 解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为P1E＝CE＋2，点P与点E距离的最小值为P2E＝CE－2.又CE＝＝5， 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题. (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ 答案　AB 解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z在y轴上的截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确； 对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确； 对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值为，故C说法错误； 对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误. 1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题. (2)利用数学式的几何意义求解圆的最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、转化法. 3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大. 1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　) A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3] 答案　A 解析　圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)， 半径r＝2， 圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离 d＝＝5， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3， 最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7]. 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则PQ的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4，3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则PQ＝，当PC最小时，PQ最小，又由点P在单位圆上，则PC的最小值为OC－1＝－1＝4，则PQ的最小值为＝2. 3.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　) A.[，＋∞) B.(－∞，－] C.(－∞，－]∪[，＋∞) D.[－，] 答案　C 解析　将看作圆上动点M(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，如图，可得k≥或k≤－. 4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为　　　　 .  答案　 4 解析　将两圆的方程化为标准方程得C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝8，C2：(x－2)2＋y2＝16， 则圆心C1(－2，2)，半径r1＝2，圆心C2(2，0)，半径r2＝4， 所以C1C2＝＝2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分 1.已知过点(1，1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则AB的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　C 解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4， 则圆心为(2，0)，半径r＝2，则圆心(2，0)到定点(1，1)的距离为，故AB的最小值为2＝2. 2.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　B 解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，又点(0，0)在圆内，所以由几何意义可知x2＋y2的最小值为14－＝1. 3.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故PQ的最小值为6－2＝4. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方， 而距离的最小值为， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为. 5.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　) A.－9，1 B.－10，1 C.－9，2 D.－10，2 答案　A 解析　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标为(2，0)，半径r＝. y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示， 当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9. 6.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的最大值为(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 答案　B 解析　根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且AB＝2m.连接OP，因为∠APB＝90°，所以OP＝AB＝m.要求实数m的最大值，即求圆C上的点P与原点O之间距离的最大值.因为OC＝＝5，所以OPmax＝OC＋r＝6，即实数m的最大值为6. 7.(5分)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋y2＝2 解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1，0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝， ∴半径最大为， ∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 8.(5分)已知A，B为圆C：x2＋y2＝4上两动点，且CA⊥CB，则弦AB的中点M到直线x＋y－4＝0距离的最大值为　　　　.  答案　3 解析　依题意CA＝CB＝2，∠ACB＝，所以AB＝2，因为M为AB的中点，所以CM＝AB＝， 如图所示，过点C作直线x＋y－4＝0的垂线，垂足为N，连接MN，则圆心C到直线x＋y－4＝0的距离为CN＝＝2，因为MN≤CN＋CM，当且仅当点M为线段NC的延长线与直线AB的交点时等号成立，所以MN≤2＝3，即MN的最大值为3. 9.(10分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求MQ的最大值和最小值；(5分) (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.(5分) 解　(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 所以圆心C的坐标为(2，7)， 半径r＝2， 又QC＝＝4， 所以MQmax＝4＋2＝6， MQmin＝4－2＝2. (2)由题可知表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 则＝k. 由直线MQ与圆C有交点， 得≤2， 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值为2＋，最小值为2－. 10.(12分)已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程；(5分) (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.(7分) 解　(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， ∴由点到直线的距离公式， 得d＝＝3， 解得a＝2，∴半径为2. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点， ∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF＝2S△PCE， ∵PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4， ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.PCmin即为圆心C到直线l的距离， 由(1)知PCmin＝3， ∴P＝32－4＝5，即PEmin＝， ∴(S△PCE)min＝EC·PEmin＝×2×， ∴四边形PECF面积的最小值为2. 11.已知P，Q分别是直线l：x－y－2＝0和圆C：x2＋y2＝1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，则PA＋PQ的最小值为(　　) A. B.2 C.－1 D.－1 答案　C 解析　如图，圆C：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1. 设点A(1，0)关于l：x－y－2＝0的对称点为B(a，b)， 则 解得即B(2，－1). 连接BO，交直线l：x－y－2＝0于点P，交圆C：x2＋y2＝1于点Q， 此时PA＋PQ取得最小值BO－r＝－1. 12.(5分)已知实数x，y满足方程y＝，则的取值范围是　　　　.  答案　[0，] 解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝，所以的取值范围是[0，]. 13.(5分)若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上， 可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为， 则由点M(a，b)向圆所作的切线长为， 当a＝2时，所求的切线长取得最小值. 14.(5分)已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为　　　　.  答案　 解析　圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离d＝，PQ＝2，所以△CPQ的面积S＝××.当a2＝时，10a2－4a4取得最大值，且最大值为10×－4×，所以△CPQ的面积S的最大值为，此时a＝. 15.点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5，4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由题可知点C2的轨迹方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1， 即得点C2是圆C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的动点， 又由题知点B是圆C2上的动点， 如图可得ABmin＝－1－1－1＝2. 16.(13分)在△ABO中，OB＝3，OA＝4，AB＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值. 解　建立如图所示的平面直角坐标系， 使A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0). 设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为P(x，y)， 则2r＋AB＝OA＋OB，求得r＝1， 又可求得内切圆的圆心为(1，1)， 所以内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又PA2＋PB2＋PO2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.② 将①代入②，得PA2＋PB2＋PO2＝－2x＋22. 因为P(x，y)是内切圆上的点，则0≤x≤2， 所以PA2＋PB2＋PO2的最大值为22，最小值为18. 又三个圆的面积之和为π×＋π×＋π×(PA2＋PB2＋PO2)， 所以分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $