专题08 椭圆中最值范围五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题08 椭圆中最值范围五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段最值……………………………………………………………………1 类型二、面积最值 4 类型三、一元参数范围 8 类型四、二元参数范围 11 类型五、与其他章节融合……………………………………………………………13 压轴能力测评（10题） 18 1.求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 2.求范围及问题常用的两种方法： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、线段最值与范围 例．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 【变式训练1】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少； 类型二、面积最值与范围 例．是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于. (1)求的标准方程； (2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围. 【变式训练1】如图，已知圆的左顶点，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积分别为，求的取值范围. 【变式训练2】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 类型三、一元参数范围 例．已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 【变式训练1】已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围. 【变式训练2】已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围. 类型四、二元参数范围 例．已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，求的最小值. 【变式训练1】已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型五、与其他章节融合 例．已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 . 【变式训练1】已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【变式训练2】已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且. (1)求椭圆的方程； (2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围. 【变式训练3】已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程. 1．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 3．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（    ） A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形 C．直线，的斜率之积为定值 D．的面积最大值为 5．（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 6．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（    ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 8．已知椭圆E：的焦距为，且经过点． (1)求椭圆E的标准方程： (2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 9．如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 10．已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 椭圆中最值范围五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段最值……………………………………………………………………1 类型二、面积最值 4 类型三、一元参数范围 8 类型四、二元参数范围 11 类型五、与其他章节融合……………………………………………………………13 压轴能力测评（10题） 18 1.求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 2.求范围及问题常用的两种方法： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、线段最值与范围 例．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值. 【详解】（1）因为的周长为8， 所以，解得， 焦距为，，所以， 所以椭圆E的方程为． （2）由（1）可知圆， 当直线斜率不存在时，为或， 当时，，则， 当时，同理， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，则， 设， 联立椭圆于直线方程，消元得， 所以， 由，得, , 令， 则， 由，所以当时，， 而时，单调递减，所以，所以. 【变式训练1】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少； 【答案】 【详解】由题意，如图，该椭圆的方程为，，分别为椭圆的2条切线， 切点分别为，设直线的斜率分别为. 设，当时，其中1个不存在，另1个趋于； 当时，设过点P的直线为， ， 所以， 整理，得，① 由是方程①的2个实根，得， 所以 ， 又，所以， 当时，点P在圆的外部，则，此时； 当时，点P在圆的内部，则，此时， 所以.又或， 所以或， 整理，得或. 要求的最小值，只需考虑为钝角的情况， 即且， 得. 令，则且，即， 解得，所以，所以， 当且仅当三点共线时等号成立. 故，得. 综上，的最小值为. 类型二、面积最值与范围 例．是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于. (1)求的标准方程； (2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得出，由椭圆的定义结合三点共线可得出的周长小于，可得出关于的不等式，结合可求得，即可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设，可得出，求出点、的横坐标，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合可求得结果. 【详解】（1）解：因为圆过点与坐标原点，. 设的左焦点为，则的周长 ， 所以，，则，且，故，所以，，. 因此，椭圆的坐标方程为. （2）解：设，其中，其中，且， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 同理可知直线的方程为，又，所以，直线的方程为. 联立直线、的方程，可得，解得， 联立直线、的方程，可得，解得. 所以，. 【变式训练1】如图，已知圆的左顶点，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由顶点坐标得，再由通径长得，从而得椭圆方程； （2）设直线方程为，设，， 直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，求出的范围，解不等式得的范围，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，当直线轴时，是椭圆的通径，所以，， 椭圆方程为； （2）由（1）得，即，由题意直线斜率不可能为0， 设直线方程为，设，由得， ，，， 时，，，时，，记，显然， 则，解得，，综上，， 所以 【变式训练2】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根据三角形的面积及内切圆的半径列出方程组求得得椭圆方程； （2）设直线的方程与椭圆方程联立，，写出直线的方程求出的坐标，并求出， ，将表示为的函数，使用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意知，则， 又， 则， 又， 解得， 所以椭圆的方程为.    （2）设直线的方程为 联立方程组，可得， 则，直线的方程：，所以，同理， ，， ， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4． 类型三、一元参数范围 例．已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 【答案】 【分析】设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，．进而得到，从而求解. 【详解】设，，则． 四边形OAED为平行四边形， ，． 点A，B，E均在椭圆C上， ，，． ，． ． 由消去y，得． 显然． ，． ．， 因为，所以，即， 所以，即， 【变式训练1】已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消元整理，并根据，求解. 【详解】（1）由题可知 解得故椭圆的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，设，，， 由，，得，同理，当,时，得，所以， 当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立 消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q， 所以，即①.设，则②，则，由，得③， ③代入②得，化简整理得④，将④代入①得， 化简得，解得或. 综上，m的取值范围为 【变式训练2】已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) （﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0} 【分析】（Ⅰ）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（Ⅱ）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可. 【详解】（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，， 由题意的面积为， 由已知得，∴，∴， ∴椭圆的标准方程为． （Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即， ∴能使成立． 若，由，得， 因为，，共线，所以，解得．　 设，，由 得， 由已知得，即， 且，， 由，得，即，∴， ∴，即． 当时，不成立，∴， ∵，∴，即， ∴，解得或． 综上所述，的取值范围为． 类型四、二元参数范围 例．已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，求的最小值. 【答案】(1) ; (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义直接求解即可； （2）设直线，，，将椭圆方程与直线方程联立，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）由于椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上，且， 所以根据椭圆定义可知，， 则， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知直线斜率不为0， 设直线，，， 联立可得， 则得，， 所以， 由于点位于轴上方，所以均大于， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 【变式训练1】已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围. 【详解】解法一： 由题意知，，设. 则. 因为，所以，所以， 所以． 解法二： 由题意知，． 设，取线段AF的中点N，则，连接MN. 则. 因为，所以，所以， 所以． 故选：D． 类型五、与其他章节融合 例．已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，求得，利用到角公式可得答案. 【详解】由已知得直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为 所以得， 设， 所以，，， 则，， 由， 当时， ， 当且仅当即等号成立. 当时，，不合题意 故答案为：. 【变式训练1】已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，由求出，结合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得离心率的取值范围. 【详解】 设，其中，右顶点为，由，则，， 又由，有， 又由，有，当且仅当时取等， 整理为，可得，解得． 故答案为：. 【变式训练2】已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且. (1)求椭圆的方程； (2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求； （2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围. 【详解】（1）设点的坐标分别为， 又点的坐标为，且， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则依据得， 整理得， 又，故， 得， 即， 当时，此时，即重合，显然不成立，所以， 所以，即， 又，得， 又，故，且， 故实数的取值范围为. 【变式训练3】已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）设复数，根据题意建立等式求解即可； （2）设直线，根据题意直线与曲线联立方程求解即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 整理得，即C的方程为. （2）由题意知，直线的斜率不为0，设，，， 联立得，， 所以，；① 由平分知，即， 又，则， 整理得， 代入①式得，所以. 所以直线的方程为. 1．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可． 【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上， ∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点， 则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8 ∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|． 当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大， 此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2， 解得b， 故选D． 2．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】B 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A错误； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D错误. 故选：B 3．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解； (2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，，所以，设， 则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设， ，，解得，① ，则， 又为锐角，则，即，，所以 ，解得，②由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为 故选：C 4．（多选）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（    ） A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形 C．直线，的斜率之积为定值 D．的面积最大值为 【答案】ACD 【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断. 【详解】由，可知P，Q关于原点对称. 对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确； 对于B.因为，所以， 则，故椭圆上不存在点，使得， 又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确. 对于C.由题意得，设，则， 所以.故C正确； 对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【详解】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 6．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（    ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 【答案】AC 【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对． ，B错． ∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则 解得或，，，，C对． 令 消x可得， 时， 时，∴，D错． 故选：AC. 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 【答案】3 【详解】由椭圆的左，右焦点分别为，， 设，因为，可得， 整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点点坐标为. 设P点坐标为，则可得Q点坐标为， 由， 当时，取最大值，最大值为. 故答案为：3 8．已知椭圆E：的焦距为，且经过点． (1)求椭圆E的标准方程： (2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值. 【详解】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为； （2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：， 由，得．，，. 不妨设在x轴上方，则在x轴下方． 椭圆在x轴上方对应方程为，，则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.同理可得B处的切线方程为． 由得， 代入①得，所以． 因为，所以 设，则，则， 当且仅当，即时，的最大值是2． 另解：当直线l的斜率存在时，设l：， 由得， 所以，，， 椭圆在x轴上方的部分方程为，， 则过的切线方程为， 即， 同理可得过的切线方程为. 由得 设，则， 所以直线l的方程为，所以. ， 令，则，所以， 当时，即时，取得最大值，为2． 9．如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设动圆与两个已知圆的切点分别为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，求出可得答案； （2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，由得的范围，利用韦达定理得四边形的面积可得答案； 【详解】（1）如图，设动圆与两个已知圆的切点分别为，由，， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，所以， 所以点的轨迹方程为：；   （2）设，，直线的方程为，代入中， 整理得，，解得，，，      四边形的面积， 当时，，所以四边形面积的最大值为； 10．已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 【答案】(1)4，.(2);(3) 【分析】（1）由椭圆方程可求出得解； （2）点B落在以线段为直径的圆的外部，即，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系代入运算得解； （3）设，，由，可得，即，同理可得，，由得，同理得，可得的表达式，结合（2）代入运算得解. 【详解】（1），，，，即， 所以椭圆的焦距为4，离心率为. （2）设，，直线，又， 联立方程，消去整理得， ，即或， ，， 点B落在以线段为直径的圆的外部，即， 则，又，， 可得， 代入，运算整理得，，解得或，又或， 所以的取值范围为. （3）设，，，， 由，可得，即， 同理可得，， 又即，解得， 同理可得， 又由（2）知，，，，， ， 又，. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$