第2章 2.3 圆与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理代数法（方程组解的个数）和几何法（圆心距与半径关系）的判断方法，延伸至相切（内切、外切）及相交（公共弦、圆系方程）问题，通过类比直线与圆的位置关系构建知识迁移支架，形成解析几何位置关系的完整脉络。 该资料以日食现象引入，引导学生用数学眼光抽象圆的动态位置关系，激发探究兴趣。通过对比代数法与几何法的优劣，培养数学思维中的推理能力，如例1中两种方法的应用对比。结合圆系方程解决相交问题，强化数学语言表达，课中辅助教师引导知识迁移，课后通过分层练习助力学生巩固，有效查漏补缺。

学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、圆与圆的位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： (1)利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. 例1　(课本例1)判断下列两个圆的位置关系： (1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； (2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. 解　(1)根据题意得，两个圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两个圆的圆心距 d＝＝5. 因为d＝r1＋r2，所以两个圆外切. (2)方法一　将两个圆的方程联立方程组 ①－②，得x－y－3＝0. ③ 由③，得y＝x－3. 代入①式，并整理，得x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. 从而y1＝－2，y2＝0，即方程组有两组不同的解，所以两个圆相交. 方法二　将两个圆的方程都化为标准方程，得 (x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2. 那么两个圆的半径分别为r1＝2和r2＝，两个圆的圆心距 d＝. 因为|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两个圆相交. 例1　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 解　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)， 半径r2＝(k<50)， 从而C1C2＝＝5. 当1＋＝5， 即k＝34时，两圆外切. 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切. 当|－1|<5<1＋，即14<k<34时，两圆相交. 当|＋1|<5，即34<k<50时，两圆外离. 反思感悟　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. 跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋， 解得a＝16. (2)若两圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－b)2＋y2＝4有公共点，则b的取值范围是　　　　　　　.  答案　[－5，－3]∪[－1，1] 解析　圆(x＋2)2＋y2＝1的圆心C1(－2，0)，半径r1＝1， 圆(x－b)2＋y2＝4的圆心C2(b，0)，半径r2＝2， 因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交， 则有r2－r1≤C1C2≤r2＋r1， 即1≤|b＋2|≤3，解得－5≤b≤－3或－1≤b≤1. 二、两圆相切问题 问题1　圆与圆相切包含哪几种情况？ 提示　内切和外切两种情况. 问题2　如何判断两圆是否相切？ 提示　(1)几何法.利用圆心距d与两半径r1，r2之间的关系求得，d＝r1＋r2为外切，d＝|r1－r2|为内切. (2)代数法.将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ来判断，当Δ＝0时相切. 知识梳理　处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 例2　(课本例2)求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程. 解　将圆C的方程化为标准方程，得 (x＋5)2＋(y＋5)2＝50， 则圆心为C(－5，－5)，半径为5. 所以经过此圆心和原点的直线的方程为x－y＝0. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意知，O(0，0)，A(0，6)在所求圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有 解得 因此，所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18. 例2　已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0. (1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值. (1)证明　将圆的方程整理成(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0， 令可得 故该圆恒过定点(4，－2). (2)解　圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0的圆心为(2a，－a)，半径为|a－2|， 若两圆外切，则|a|＝2＋|a－2|， 由此解得a＝1＋. 若两圆内切，则|a|＝|2－|a－2||， 由此解得a＝1－或a＝1＋(舍去). 综上所述，当两圆相切时，a＝1－或a＝1＋. 反思感悟　已知两圆相切(内切或外切)求圆的方程问题，根据两圆的位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系(几何法)，由此构造方程，再结合其他条件解方程组即可. 跟踪训练2　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程. 解　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). 由题意，可得 解得或 即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 三、两圆相交问题 问题3　当两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？ 提示　将两个方程化成一般式，然后作差即可求得. 问题4　两圆公共弦长如何求得？ 提示　将公共弦所在直线的方程与其中一个圆的方程联立，利用勾股定理AB＝2求得. 例3　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. 因为A，B两点的坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝， 所以C1到直线AB的距离d＝， 所以AB＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故所求圆的方程为， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 反思感悟　(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 跟踪训练3　若圆C1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆C2：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且AB＝2，则实数a＝　　　　　.  答案　－1或－9 解析　圆C2：x2＋y2－2y－3＝0，圆心C2(0，1)，半径r＝2，∴两圆方程相减得直线AB：2x－2y－3－a＝0， 圆心C2到直线AB的距离d＝，则r2＝d2＋，∴4＝＋2，即9＋10a＋a2＝0，∴a＝－1或a＝－9，经验证均满足题意. 1.知识清单： (1)两圆的位置关系. (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 1.已知圆O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆O2：x2＋y2＋2x＋2y－7＝0，则圆O1和圆O2的位置关系为(　　) A.内切 B.外切 C.相交 D.内含 答案　B 解析　圆O1的圆心O1(2，3)，半径r1＝2；圆O2即(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心O2(－1，－1)，半径r2＝3，则O1O2＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切. 2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 答案　C 解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D. 3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是　　　　　　　　　　　.  答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 4.已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为　　　　　　　　　.  答案　1 解析　圆O的圆心为O(0，0)，圆C的圆心为C(3，0)，两圆半径均为1， ∵OC＝＝3， ∴PQ的最小值为3－1－1＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝1的公切线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　D 解析　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为(0，3)，半径为1. 两圆的圆心距为＝5>1＋3，所以两圆外离，故两圆的公切线的条数为4. 2.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49 答案　BCD 解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为C(－1，2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3. ∵C1C＝∈(r1－r，r1＋r)， ∴两圆相交，不满足条件； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵C2C＝5＝r＋r2， ∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3＝5， ∵C3C＝3＝r3－r， ∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵C4C＝5＝r4－r， ∴两圆内切，满足条件. 3.已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋ (y－1)2＝1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 答案　C 解析　圆M的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，则圆心为(a，0)，半径R＝a，因为直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切， 所以＝a，解得a＝2， 则圆M的圆心为M(2，0)，半径R＝2，圆N的圆心为N(1，1)，半径r＝1，则MN＝， 因为R＋r＝3，R－r＝1，所以R－r<MN<R＋r，即两个圆相交. 4.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A. B.4 C. D. 答案　D 解析　 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，圆O的半径R＝2， 所以直线l被圆O截得的弦长为 2＝2. 5.(多选)已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A.－3 B.3 C.57 D.－57 答案　AC 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1，0)，B(1，6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以CM＝|3±|， 即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3. 6.过点P(2，3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　) A.2x－3y－1＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y－1＝0 D.3x－2y－1＝0 答案　B 解析　因为PC垂直平分AB，故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的公共弦，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为(x－1)2＋－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0. 7.(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0内切，则实数a，b的关系是　　　　　　　　.  答案　4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心为C1(－2a，0)，半径为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1，圆心为C2(0，b)，半径为1. 由于两圆内切， 所以＝2－1＝1， 整理得4a2＋b2＝1. 8.(5分)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　　　　　　　　.  答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)， 则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0， 把圆心代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝， 所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 9.(10分)已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程. 解　圆O1的方程化为(x－4)2＋(y－4)2＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，解得a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16. 10.(10分)已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；(5分) (2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.(5分) 解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3. (2)设过圆C1与圆C2交点的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0. 11.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，又kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，即线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，所以AB＝2，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 12.(多选)已知圆C1：(x＋a)2＋y2＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－2a)2＝2a2，下列说法正确的是(　　) A.若△C1OC2(O为坐标原点)的面积为2，则圆C2的面积为2π B.若a>，则圆C1与圆C2外离 C.若a＝，则y＝x－是圆C1与圆C2的一条公切线 D.若a＝，则圆C1与圆C2上两点间距离的最大值为6 答案　BC 解析　依题意C1(－a，0)，圆C1的半径r1＝1， C2(a，2a)，圆C2的半径r2＝|a|， 对于选项A，|－a|·|2a|＝a2＝2，则a＝±， 所以r2＝|a|＝2， 则圆C2的面积为π＝4π，选项A错误； 对于选项B，C1C2＝＝2|a|，r1＋r2＝1＋|a|， 若圆C1与圆C2外离，则C1C2>r1＋r2， 即2|a|>1＋|a|， 解得a>或a<－，选项B正确； 对于选项C，当a＝时，C1，C2，r1＝r2＝1，C1C2＝2|a|＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2外切，且＝1，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1， 设切线方程为x－y＋b＝0，则＝1， 解得b＝－或b＝， 则一条切线方程为x－y－＝0，即y＝x－，选项C正确； 对于选项D，当a＝时，C1(－，0)，C2(，2)，r1＝1，r2＝2，C1C2＝2|a|＝4，由B知两圆外离，圆C1与圆C2上两点间距离的最大值为4＋r1＋r2＝7，选项D错误. 13.(5分)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有　　　　条.  答案　4 解析　到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距AB＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 14.(5分)已知圆M：x2＋(y－3)2＝1和圆N：(x－4)2＋y2＝16，则圆M与圆N的所有公切线中斜率的最大值为　　　　.  答案　 解析　圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心和半径分别为M(0，3)，r＝1， 圆N：(x－4)2＋y2＝16的圆心和半径分别为N(4，0)，R＝4， 由于MN＝＝5＝R＋r，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如图所示， 由图可知，一条公切线平行于x轴，斜率为0；一条斜率为负； 一条垂直于MN，斜率为正，此斜率最大， 由于kMN＝－，故所有公切线中斜率的最大值为. 15.(5分)“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月(如图阴影部分).已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋1＝0，C2：x2＋y2－3ax＋(4＋)y＋4＋2＝0，其中0<a<3.A，B为圆C1与圆C2的交点，若弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为　　　　　.(请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1) 答案　 解析　圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝a2＋3的圆心为C1(a，－2)，半径r1＝； 圆C2：的圆心为C2，半径r2＝. 将两圆方程相减即可得公共弦AB所在直线方程为ax－y－3－2＝0，由弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧可知∠AC1B＝120°，因此圆心C1(a，－2)到直线ax－y－3－2＝0的距离为r1，即，又0<a<3，解得a＝1，此时C2在弦AB：x－y－3－2＝0上，所以AB为圆C2的直径.易知r1＝2，r2＝，所以AB截得圆C2的弧长为πr2＝π，截得圆C1的弧长为πr1＝，此时组成“晚旁”的两段弧长之比为. 16.(11分)已知圆M与圆N：＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上. (1)判断圆M与圆N的位置关系；(5分) (2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于点G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值.(6分) (1)解　N关于直线y＝x的对称点为M， 所以圆M的半径 r＝MD＝， 所以圆M的方程为. 又MN＝>×2， 故圆M与圆N外离. (2)证明　设P(x0，y0)， 则PA2＝(x0＋1)2＋＝(x0＋1)2＋＝－x0，PB2＝(x0－1)2＋＝(x0－1)2＋＝－x0， 所以，即. 又PG为∠APB的平分线，且交AB于点G，故＝2，为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $