第2章 2.2 直线与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的判定（代数法、几何法），以及切线方程、弦长问题的求解，构建从概念引入到应用拓展的学习支架。 资料以海上日出情境导入，用数学眼光观察现实，通过对比几何法与代数法培养数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学语言应用。课中助力教师高效授课，课后知识清单与对点练帮助学生查漏补缺。

学习目标　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 导语 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆位置关系的判定 问题1　直线与圆有哪几种位置关系？ 提示　相离、相切、相交. 问题2　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，或转化为圆心到直线的距离与半径大小的关系. 知识梳理 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法 设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 注意点： 直线与圆的位置关系常用几何方法判断. 例1　(课本例1)求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 解　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(10，0)，. 因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交. 例1　已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 解　方法一　由 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0， 判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2) ＝－4(b＋2)(b－2). 当－2<b<2时，Δ>0，直线与圆有两个公共点. 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点. 当b<－2或b>2时，Δ<0，直线与圆没有公共点. 方法二　圆的半径r＝，圆心O(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝. 当d<r，|b|<2，即－2<b<2时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点. 当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点. 当d>r，|b|>2，即b<－2或b>2时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点. 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断该定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但此方法有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3，0)代入圆的方程， 得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离为 d＝>， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 二、直线与圆相切的有关问题 例2　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　) A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 答案　B 解析　由题意知x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，且点P在圆上， ∴kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. (2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　y＝4或3x＋4y－13＝0 解析　因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1， 所以点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意. 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2，3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为 y＝4或3x＋4y－13＝0. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上. ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程. ②若斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外. ①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程. ②过圆外一点的切线有两条.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. 跟踪训练2　(1)经过点(5，15)，可作圆x2＋y2＝r2的两条切线，已知其中一条切线的方程为x＝5，则另一条切线的一般式方程为　　　　　　　　　.  答案　4x－3y＋25＝0 解析　由题意得圆x2＋y2＝r2的圆心为(0，0)，r＝5， 设另一条切线的方程为y－15＝k(x－5)， 即kx－y－5k＋15＝0， 所以＝5， 解得k＝， 所以另一条切线的方程为x－y－＋15＝0，即4x－3y＋25＝0. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案　C 解析　圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值为l＝. 三、直线截圆所得弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有＋d2＝r2， 即AB＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB＝ ＝|x1－x2|，或AB＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 注意点： (1)弦长公式的前提是判别式大于零. (2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|. 例3　(1)(课本例3)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长. 解　方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点的坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2). 从而知直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二　 如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，所以 OM＝， 从而AB＝2AM＝2＝2＝2. 例3　(1)已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 解　方法一　联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1， 所以直线l与圆C相交，有两个公共点. 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3. 所以直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3). 因此AB＝. 方法二　圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离 d＝<， 所以直线l与圆C相交，有两个公共点. 如图，由垂径定理， 得AB＝2. (2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程. 解　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离 d＝＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式， 得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. 反思感悟　(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法. (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 跟踪训练3　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程. 解　根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 方法一　联立方程组 消去y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得k>0. 又x1＋x2＝－， x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2). 则AB＝ ＝ ＝ ＝ ＝4.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意. 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 方法二　如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半. 在Rt△AHO中，OA＝5， AH＝AB＝×4＝2， 则OH＝. ∴， 解得k＝或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)圆的切线方程. (3)弦长公式. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案　B 解析　圆心到直线的距离 d＝<1. 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0). ∴直线与圆相交但不过圆心. 2.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A.－2 B.－12 C.2 D.12 答案　CD 解析　圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12. 3.直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为　　　　.  答案　4 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 4.若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是　　　　.  答案　m<－2或m>2 解析　因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以>，解得m<－2或m>2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案　B 解析　∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2>1. ∴圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r， 则直线与圆O的位置关系是相交. 2.已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1，2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 答案　D 解析　设圆心为C，则C(2，0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2＝2＝4，所以6＋4＝10. 3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.－1 B.3 C.0 D.4 答案　CD 解析　设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，则l＝2， 由弦长为2，可得d＝， 即，解得a＝0或a＝4. 4.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　) A.x2＋y2－2y－2＝0 B.x2＋y2＋2y－2＝0 C.x2＋y2－2y－1＝0 D.x2＋y2＋2y－1＝0 答案　D 解析　因为直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)， 且直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 则圆C的半径r＝. 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y－1＝0. 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　) A.100 B.100 C.150 D.150 答案　A 解析　以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45， 解得k＝1(负值舍去)，此时求得小路长度为100 m. 6.一条光线从点(－2，3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　C 解析　点(－2，3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3，2)， 半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 所以圆心(3，2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝. 7.(5分)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为　　　　　　.  答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的方程可得，圆心为P(－1，2)， 所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1， 所以直线方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 8.(5分)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为　　　　.  答案　 解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝， 则有AB＝2＝2. 9.(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(5分) (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.(5分) 解　(1)圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10.(11分)一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝，而半径r＝3， 因为d>r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响. 11.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　A 解析　方法一　显然直线的斜率存在， 设l：y＝kx＋b，则＝2， 即b2＝4(k2＋1)， ① 又直线l与圆相切， 所以＝7， ② 联立①②得，k＝－，b＝－， 所以直线l的方程为y＝－x－. 故满足条件的直线l只有一条. 方法二　如图，设圆心为P(3，4)， 则OP＝5，又O到直线l的距离为2， 且半径为7， P到l的距离为7， 即当OP⊥l时符合题意， 且只有这种情况符合题意， 故满足条件的直线l只有一条. 12.若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k(x－3)的距离为，则k的取值范围是(　　) A.[－，0)∪(0，] B.[－，] C.(－∞，－]∪[，＋∞) D.(－∞，－)∪(，＋∞) 答案　C 解析　圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52， 圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意， 由圆的几何性质得圆心M(3，－4)到直线l：y－1＝k(x－3)的距离不超过，则≤， 解得k2≥3，即k≥或k≤－. 13.(多选)已知点M(0，－2)，N(1，－1)，且点P在圆C：x2－4x＋y2＝0上，C为圆心，则下列结论正确的是(　　) A.直线MN被圆C截得的弦长为4 B.PM－PN的最大值为 C.△PMN的面积的最大值为2 D.当∠PMN最大时，△PMN的面积为1 答案　ABD 解析　圆C：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以圆C是以C(2，0)为圆心，2为半径的圆.对于A，直线MN的方程为，即x－y－2＝0，过圆心C，所以直线MN被圆C截得的弦长为直径4，故A项正确；对于B，PM－PN≤MN＝，当点P为线段MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；对于C，设点P到直线MN的距离为d，则S△PMN＝MN×d＝d，因为直线MN过圆心，所以当d＝r＝2时，S△PMN最大，为×2＝，故C项错误；对于D，当MP与圆C相切时，∠PMN最大，不妨设P(0，0)，此时S△PMN＝×2×1＝1，故D项正确. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是　　　　.   答案　0 解析　直线与圆心为C的圆相交于A，B两点， 且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)， 半径r＝， 所以圆心到直线ax＋y－2＝0的距离d＝，解得a＝0. 15.方程＝k(x－3)＋4有两个不同的解时，实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　y＝，即x2＋y2＝9(y≥0)表示圆心为(0，0)，半径r＝3的上半圆；y＝k(x－3)＋4表示过定点A(3，4)，且斜率为k的直线. 若要满足方程＝k(x－3)＋4有两个不同的解，则直线与半圆有两个交点，如图所示. 数形结合可知，满足题意的k∈(k1，k2]， 当k＝k1时，直线与圆相切，则＝3，解得k1＝； 当k＝k2时，直线过点(－3，0)，此时k2＝； 故实数k的取值范围为. 16.(12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程；(5分) (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.(7分) 解　(1)设圆心C(a，0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去). ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线， ∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)， 则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $