第2章 2.1 第1课时 圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发，通过坐标法推导方程，明确圆心和半径为确定方程的关键要素，进而学习点与圆的位置关系（距离与半径比较）及实际应用，构建“定义-推导-应用”的完整学习支架。 该资料以中秋圆月诗句导语激发兴趣，培养数学眼光中的几何直观与审美价值，通过问题链引导推导培养数学思维中的推理能力，结合隧道、拱桥等实例渗透数学语言的模型意识。例题涵盖几何法与待定系数法，课时练习分层设计，课中助力教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

第1课时　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题. 导语 人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时好，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识. 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，请推导出该圆的方程. 提示　如图，设圆上任一点 M(x，y)，则MA＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a，b，r. (2)当圆心在原点，即C(0，0)，半径r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1　(课本例1)求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程. 解　因为圆C经过坐标原点，所以圆C的半径是r＝. 因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为　　　　　　　　　　.  答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝25 解析　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为 x＋y－1＝0. 又弦的垂直平分线过圆心， 则由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径r＝＝5. 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 反思感悟　求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的垂直平分线必过圆心”“两条弦的垂直平分线的交点必为圆心”等. (2)待定系数法： 跟踪训练1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为一条直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， AB＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)已知圆C的圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆C的标准方程为　　　　　　　　.  答案　x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 解析　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)， ∴圆C的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，即<r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即>r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. 知识梳理　点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 例2　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解　解方程组得 ∴圆心M的坐标为(0，1)， 半径r＝MP＝＝5. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∵AM＝<r， ∴点A在圆内. ∵BM＝＝5＝r， ∴点B在圆上. ∵CM＝＝2>r， ∴点C在圆外. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.M在C外 B.M在C上 C.M在C内 D.不确定，与a的取值有关 答案　A 解析　由圆心C(1，0)，M(a，a＋1)，可得MC＝≥>1，所以M在C外. (2)若点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为(　　) A.[1，5] B.[2，5] C.[3，5] D.[4，5] 答案　B 解析　因为点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，所以(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，化简得a2－7a＋10≤0，解得2≤a≤5. 三、圆的标准方程的实际应用 例3　(课本例2)已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).将x＝2.7代入，得 y＝<3， 即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度. 因此，货车不能驶入这个隧道. 例3　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 解　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(0，0)，A(6，－2). 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0). 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1米后，可设点A'(x0，－3)(x0>0). 将A'(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝， ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米). 反思感悟　解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 跟踪训练3　一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 答案　B 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h， 则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62， 解得h＝4≈3.5 m. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. (3)圆的标准方程的实际应用. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况. 1.圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为(　　) A.(2，1) B.(2，－1) C.(－2，1) D.(－2，－1) 答案　B 解析　结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为(2，－1). 2.以(2 024，2 024)为圆心，2 025为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x－2 024)2＋(y－2 024)2＝2 0252 B.(x＋2 024)2＋(y＋2 024)2＝2 0252 C.(x－2 024)2＋(y－2 024)2＝2 025 D.(x＋2 024)2＋(y＋2 024)2＝2 025 答案　A 解析　由圆的标准方程知(x－2 024)2＋(y－2 024)2＝2 0252. 3.若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　∪(1，＋∞) 解析　由题意得4a2＋(a－2)2>5，解得a>1或a<－. 4.如图，是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是　　　　米. 答案　 解析　∵OD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝×10＝5(米)， 在Rt△OAD中，设半径OA＝R米， 则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝. ∴此隧道圆的半径是米. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝3的圆心和半径分别为(　　) A.(－1，－1)，3 B.(－1，－1)， C.(1，1)，3 D.(1，1)， 答案　B 解析　(x＋1)2＋(y＋1)2＝3，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝()2，所以其圆心和半径分别为(－1，－1)，. 2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为(　　) A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 答案　B 解析　如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得 OB2＝OD2＋BD2， 即r2＝(r－4)2＋62， 解得r＝， 所以拱桥的直径为13米. 3.已知条件p：m>2，条件q：点P(1，m)在圆： x2＋y2＝5外，则p是q的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　点P(1，m)在圆： x2＋y2＝5外，则1＋m2>5，m>2或m<－2，故条件q：m>2或m<－2，又条件p：m>2，所以p是q的充分且不必要条件. 4.(多选)过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 答案　BC 解析　因为圆过点A(1，－1)与B(－1，1)，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，kAB＝＝－1，设线段AB的垂直平分线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1，又因为A(1，－1)与B(－1，1)的中点坐标为(0，0)，所以直线l为y＝x，设圆心坐标为(m，m)，因为半径为2，所以圆的方程为(x－m)2＋(y－m)2＝4，代入A(1，－1)得(1－m)2＋(－1－m)2＝4，解得m＝±1，综上，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4. 5.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　) A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20 C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20 答案　AD 解析　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)，AB＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20. 6.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y－2)2＝1 答案　B 解析　在圆C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上， 所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1， 即(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 7.(5分)若点(1，2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，则a的取值范围是　　　　　.  答案　(－2，1) 解析　因为点(1，2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<9，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1. 8.(5分)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程为　　　　　　　　. 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5 解析　∵圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1， ∴圆心坐标为(0，0)或(1，－1)， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 9.(10分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(5分) (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.(5分) 解　(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5，6). ∵PN＝， QN＝＝3， ∴PN>QN，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴3<a<，即a的取值范围是(3，). 10.(10分)已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程；(5分) (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.(5分) 解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 即线段AB的中点(0，1)为圆心， 半径r＝AB＝. 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　直线AB的斜率为k＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x， 即x－3y＋3＝0， 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程得圆心坐标是C(3，2). r＝AC＝＝2. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　(待定系数法) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则解得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 11.(多选)设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，下列说法中正确的是(　　) A.该圆的圆心为(a，－b) B.该圆过原点 C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为a2＋b2 答案　ABC 解析　该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为， 因此选项A正确，D不正确； 因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，因此选项B正确； 在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中， 令y＝0，有(x－a)2＋b2＝a2＋b2，即x2－2ax＝0，则x＝2a或x＝0，因为a>0， 所以该圆与x轴相交于两个不同点， 因此选项C正确. 12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 答案　B 解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 则由 解得即P(－1，1). ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴PC＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 13.(5分)曲线y＝－(x≤0)的长度为　　　　.  答案　π 解析　由y＝－得x2＋y2＝4(x≤0，y≤0)，所以曲线y＝－(x≤0)的图形是以原点为圆心，2为半径的圆在第三象限的圆弧， 所以曲线y＝－(x≤0)的长度是×4π＝π. 14.(5分)某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低　　　　m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)  答案　1.22 解析　以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)， ∵圆经过点B(10，0)，C(0，4)， ∴ 解得 ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞. 15.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 解析　设圆心C(x，y)， 则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图所示，所以OC＋1≥OM＝＝5， 所以OC≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号. 16.(12分)如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0，1)在BC边所在直线上. (1)求AD边所在直线的方程；(6分) (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.(6分) 解　(1)因为AB⊥AD，所以kAD＝－＝－＝－3，E(0，1)关于M(3，0)的对称点为(6，－1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)， 即3x＋y－17＝0. (2)联立 解得A(5.8，－0.4)， 则r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8. 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $