2.3 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

2.3 圆与圆的位置关系 新课导入 圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象，如奥运五环、自行车轮、啮合的齿轮等，你知道这些圆有着怎样的位置关系吗？本节课我们一起来探讨吧！ 上图反映了圆与圆的位置关系.本节课我们类比上一节课研究圆与圆的位置关系. 学习目标 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 新知学习 探究 一 两圆的位置关系及其判定 思考．两个半径不同的圆的公共点个数出现几种情况？每种情况对应的圆的位置关系一样吗？ 提示 公共点个数有0个、1个及2个的情况，其中当公共点个数为0时，位置关系有外离和内含；当公共点个数为1时，位置关系有外切和内切；当公共点个数为2时，位置关系为相交. ［知识梳理］ 1．几何法：若两圆的半径分别为,,两圆的圆心距为,则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与,的关系 ①_ _ ②_ _ ③_ _ ④_ _ ⑤_ _ ⑥_ _ 【答案】； =； ； ； =； 2．代数法：设两圆的一般方程为 , , 联立方程组 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 两圆的位置关系 ⑦_ _ ⑧_ _ 或⑨_ _ ⑩_ _ 或⑪_ _ 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 【答案】相交； 外切； 内切； 外离； 内含 ［例1］ （对接教材例1）已知两圆和. （1） 当时，两圆位置关系如何？ （2） 当为何值时，两圆外切、内切？ 【答案】（1） 【解】当 时，圆，圆，圆心,半径，圆心，半径，所以圆心距,，，因为，所以两圆相交. （2） 由， 可得， 即圆心为，半径， 由，可得， 即圆心为，半径， 所以圆心距，若两圆外切， 则， 即， 所以 或. 若两圆内切，则， 即， 所以 或. （1）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①将两圆的一般方程化为标准方程； ②求两圆的圆心坐标和半径，； ③求两圆的圆心距； ④比较与，的大小关系，从而判断两圆的位置关系. （2）代数法判断圆与圆的位置关系的注意点 将两圆的方程联立，消元后化为一元二次方程， ①由得两圆相切，但无法判断内切还是外切； ②由得两圆相离，但无法判断内含还是外离； ③由得两圆相交. ［跟踪训练1］． （1） 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 （2） 若圆和圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题意知，圆 的圆心 与圆 的圆心，所以两圆的圆心距为3， 又圆 的半径为1，圆 的半径为2，且圆心距等于圆 与圆 的半径之和，所以圆 与圆 的位置关系为外切.故选. （2） 圆 的圆心为，半径， 由，得，所以圆心为，半径， 因为圆 和圆 有两个不同的公共点， 所以两圆相交，因为圆 恒过原点， 所以圆 的直径大于2， 所以，解得 或， 所以实数 的取值范围是 . 二 两圆相交问题 ［例2］ 求圆与圆的公共弦的长. 【解】 根据题意，设两圆的交点为 和, 又由圆,圆, 得直线 的方程为， 圆 的圆心为，半径, 圆心 到直线 的距离 ， 则. 即圆 与圆 的公共弦的长为. 母题探究．求经过圆和圆的交点,圆心在直线上的圆的方程. 解：方法一:联立方程组 解得 或 得两圆的交点，. 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线 上，故. 则， 解得，故圆心为，半径为 . 故所求圆的方程为， 即. 方法二：设所求圆的方程为， 其圆心为， 代入， 解得. 故所求圆的方程为. （1）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长； ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. （2）两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法 已知圆和圆， 方程①：，其中 为任意实数.当两圆，相交时， （ⅰ）若，则方程①表示过两圆，的交点的直线； （ⅱ）若，则方程①表示过两圆，的交点的圆系方程（但方程①所表示的圆不包括圆，圆系中的一切圆都和圆，相交）. 常用结论 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在的直线方程为. ［跟踪训练2］．已知圆和圆. （1） 求证：圆和圆相交； （2） 求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 【答案】 （1） 证明：根据题意，圆 的圆心为，半径， 圆， 得， 圆心为，半径， 所以圆心距，因为，所以圆 和圆 相交. （2） 解：将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为，圆心 到 的距离，故公共弦的长为. 三 两圆相切问题 ［例3］ （1） （多选）若两圆和相切，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. （2） 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ACD （2） 【解析】 （1） 根据题意，圆 的圆心坐标为，半径长为2，圆 的圆心坐标为，半径长为5. 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有，解得；当两圆内切时，有，解得. 综上所述，实数 的值为 或. （2） 由题意知圆 的标准方程为，圆心为，半径，所求圆与圆 切于原点，则圆心在直线 上，设圆心为，又圆过点 及原点，所以圆心 在直线 上，即，，所以所求圆的方程为. 处理两圆相切问题的两个步骤 （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切）或两圆半径之和（外切）. ［跟踪训练3］． （1） 若圆与圆外切，则的值是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 （2） 以点为圆心，且与圆相切的圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 或 【解析】 （1） 选.圆，则圆心，半径； 圆，则圆心，半径,则，则，解得. （2） 由圆，可得圆心坐标为，半径为1，设所求圆的半径为，可得 或，解得 或，所求圆的方程为 或. 课堂巩固 自测 1．两圆和的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】选.由 得，圆心为，，由 得，圆心为，， 两圆心的距离为，明显地，，所以，两圆的位置关系是外切.故选. 2．已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】选.由题意，两方程相减得到公共弦所在直线方程为,因为公共弦所在直线方程与 轴垂直，所以，解得. 3．已知圆与圆有4条公切线，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题可得，圆，圆心为，半径为2，圆，圆心为，半径为1. 因为两圆有4条公切线， 所以两圆外离， 故圆心距， 解得. 4．写出一个半径为3且与轴和圆都相切的圆的标准方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】圆 的圆心为，半径为2， 结合图象可知， 圆心为，半径为3的圆， 即，与 轴相切， 与圆 的位置关系是内切. 1.已学习：圆与圆的位置关系. 2.须贯通：（1）几何法、代数法判断两圆的位置关系. （2）求两圆公共弦长的方法. 3.应注意：判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若圆与圆内切，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5 【答案】D 【解析】选.圆 的圆心和半径分别为，，圆 的圆心和半径分别为,,由两圆内切，得，即，解得 或. 2．圆与圆相交于,两点，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.线段 的垂直平分线为圆心连线，由圆的方程可知，，，,所以直线 的方程为，化简为. 3．圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】选.圆 的标准方程为，圆心，半径，圆 的圆心为，半径，因为，所以两圆外切，所以圆 与圆 的公切线有3条. 4．已知圆，圆,两圆上分别有动点,，则的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】选.易知圆，圆心为，半径为3，圆 的圆心为，半径为2，故两圆的圆心距为，故 的最大值为. 5．已知,是圆与圆的公共点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意可知，联立 两方程相减可得直线 的方程为，圆 的标准方程为，得圆心，半径为，所以点 到直线 的距离为，线段 的长度为，所以 的面积为. 6．（多选）圆与圆没有公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.由已知圆 的圆心为，半径为1，圆 的圆心为，半径为4，两圆无公共点，则两圆外离或内含，所以，解得 或，或，解得，综上 或 或，结合选项，，，满足题意. 7．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则，由题意可得圆 的半径， 所以圆 的标准方程为. 8．已知为坐标原点，点在圆上，且，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】圆 可化为，由，可知点 在圆 上，所以问题等价于圆 与圆 有交点，所以，解得 或. 9．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】因为方程 表示圆，所以,即.两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线 的方程为.若圆 平分圆 的周长，则圆 的圆心在直线 上，因为圆 的圆心为，所以，即，所以，所以当,时，取最小值9. 10．（13分）已知圆和圆. （1） 当时，判断圆和圆的位置关系；（6分） （2） 是否存在实数，使得圆和圆内含？（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，圆 的标准方程为，则圆心 为，半径，圆 的标准方程为，则圆心 为，半径，所以两圆的圆心距 ，又,，所以，故圆 和圆 相交. （2） 不存在.理由如下： 圆 的方程可化为，则圆心 为，半径，圆心 为，半径. 假设存在实数，使得圆 和圆 内含，则圆心距，即，此不等式无解. 故不存在实数，使得圆 和圆 内含. B 能力提升 11．已知圆与圆交于，两点，当变化时，的最小值为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心 到直线的距离为，，因为，所以，解得. 12．（多选）已知直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题知，，两圆半径，所以， 故圆，外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当直线 过 的中点，且与 垂直时，因为，所以，所以直线 的方程为，即；当直线 与 平行，且 到 的距离为 时，设直线 的方程为，所以，解得 或，所以直线 的方程为 或. 13．点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，则，整理得到， 设该圆的圆心为，则，半径为2，而，圆 的半径为1，，故圆 与圆 相离，故 的最小值为，当且仅当,,,共线且,在,之间时取最小值. 而 的最小值为，当且仅当,,共线且 在,之间时取最小值，即，的最小值可以同时取得，故 的最小值为. 14．（13分）已知圆与圆. （1） 当时，判断两圆是否相交.并说明理由.如果相交，求公共弦所在直线的方程.（7分） （2） 当两圆外切时， ① 求的值；（3分） ② 某直线分别与圆和圆相切于相异的，两点，求.（3分） 【答案】 （1） 解：由圆 与圆，可知两圆圆心分别为,，半径,，则，当 时，，则，故两圆相交. 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为. （2） ① 若两圆外切，则， 即，解得. ② 因为，所以. C 素养拓展 15．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆及点,. （1） 若直线平行于，与圆相切，求直线的方程；（3分） （2） 在圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由；（5分） （3） 对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点,，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.（7分） 【答案】（1） 解：圆 的标准方程为，所以，半径为2，因为 平行于，，所以设直线 的方程为，则圆心 到直线 的距离，解得，所以直线 的方程为 或. （2） 假设圆上存在点，设， 则， 又， 即， 因为， 则圆 与圆 相交，所以点 的个数为2. （3） 设点，，， 由于点 是线段 的中点， 则,， 又,都在半径为 的圆 上， 所以 即 由于方程组有解，即以 为圆心，为半径的圆与以 为圆心，为半径的圆有公共点，所以，对于 恒成立，又，所以 且，解得，又 在圆 外，所以 恒成立，所以，即，所以圆 的半径 的取值范围为,. 学科网（北京）股份有限公司 $